АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2007, том 53, № 1, с. 80-85
АКУСТИКА ОКЕАНА, ^^^^^^^^^^^^^^ ГИДРОАКУСТИКА
УДК 534.222
КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ЗВУКА В ОКЕАНЕ С ФРАКТАЛЬНЫМИ НЕОДНОРОДНОСТЯМИ
© 2007 г. В. С. Гостев, Е. А. Копыл, Ю. П. Лысанов, Р. Ф. Швачко
Акустический институт им. Н.Н. Андреева РАН 117036 Москва, ул. Шверника 4
E-mail: bvp@akin.ru Поступила в редакцию 22.12.05 г.
Для верификации модифицированной версии волновой программы, основанной на широкоугловом параболическом уравнении и адаптированной к решению задачи рассеяния звука в среде с анизотропными неоднородностями фрактального типа, проведен численный модельный эксперимент по определению угловой зависимости интенсивности рассеянного звукового поля для разных коэффициентов анизотропии неоднородностей скорости звука. Сравнение результатов компьютерных расчетов с аналитическими зависимостями показало их достаточно хорошее совпадение и подтвердило возможность применения программы для расчетов распространения звука в океане с тонкоструктурной стратификацией, обладающей фрактальными свойствами.
PACS: 43.30.Re
Согласно современным представлениям многие природные неупорядоченные (случайные) структуры, в том числе объемные неоднородности скорости звука водной толщи (флуктуации показателя преломления), неровности океанского дна и взволнованной поверхности океана в определенном диапазоне масштабов обладают фрактальными свойствами. Это выражается, в частности, в том, что неоднородности фрактального типа на таких масштабах обладают локальной масштабной инвариантностью (скейлингом), а их энергетические спектры описываются степенными функциями с дробным показателем. В настоящее время во многих областях физики интенсивно исследуются эффекты, связанные с фрактальными свойствами различных сред.
Неоднородности тонкой структуры скорости звука можно представить в виде объемных резко-анизотропных неоднородностей с радиусом корреляции по горизонтали, значительно превышающим радиус корреляции этих неоднородностей по вертикали. Коэффициент анизотропии таких неоднородностей а, равный отношению горизонтального радиуса корреляции к вертикальному, по данным экспериментальных оценок находится в интервале 102-104 [1], а их вертикальные энергетические спектры описываются степенными функциями с показателем степени р, находящимся в диапазоне 2 < р < 3. Так, в работе [2] при анализе многократных вертикальных зондирований тонкоструктурных неоднородностей температуры, обладающих фрактальными свойствами, получено значение р = 2.8. В работе [3] из сов-
местного анализа результатов численного моделирования и акустического эксперимента по проникновению звука взрывного источника в зону тени получена оценка р = 2.28.
Анализ многочисленных экспериментальных данных, характеризующих особенности звукового поля в зонах тени на частотах килогерцового диапазона и ниже, позволяет сделать вывод о преобладающем влиянии неоднородностей тонкой структуры в рассеянии звука в подводном звуковом канале. Для интерпретации экспериментальных данных по засветке зоны тени в основном использовалась плоскослоистая модель среды [4]. Тем не менее, в экспериментальных данных, приведенных в работе [5], отмечено уширение углового спектра рассеяния звука, проникающего в зону тени, которое связано с конечным горизонтальным радиусом корреляции объемных неоднородностей скорости звука. В связи с этим представляет интерес исследование возможностей численного моделирования процессов рассеяния звука на объемных неоднородностях с конечным горизонтальным радиусом корреляции при помощи разработанной к настоящему времени волновой программы, основанной на широкоугловом приближении параболического уравнения [6]. Сравнение прямых численных расчетов углового расширения рассеянного звукового поля при уменьшении горизонтального радиуса корреляции неоднородностей с аналогичными аналитическими зависимостями является исследованием как возможностей самой программы, так и возможностей интерпретации с ее помощью экспериментальных данных по рассеянию звука в океане.
Приведем теперь формулы, описывающие рассеяние на случайных объемных неоднородности океана. В работах [7, 8] была предложена спектральная модель случайных объемных неод-нородностей океана и проведены оценки коэффициента рассеяния звука на неоднородностях с различной степенью пространственной анизотропии. Показано, что при определенных значениях параметров модели описываемые ею неоднородности обладают фрактальными свойствами. В этих работах корреляционная функция флукту-аций показателя преломления задавалась в фак-торизованном виде:
ад = (ц2)^®/^),
(1)
где (ц2) - средний квадрат флуктуаций показателя преломления, А^(Х) и Ъ2(п) - коэффициенты корреляции в горизонтальной плоскости и по глубине, X = {£х, £у} - разнесение точек наблюдения по горизонтальным осям х и у, а п - по глубине г. Энергетический спектр, соответствующий соотношению (1), имеет вид
£(К±, Кх) = (Ц^К^К,),
(2)
где С1(к±) горизонтальный и G2(кz) вертикальный спектры флуктуаций показателя преломления с горизонтальным волновым вектором к± = {кх, ку} и вертикальным волновым числом кг. Коэффициент горизонтальной корреляции задавался в виде
ЪХ) = — ХВД), 2 Г(у)
(3)
^2(п) =
1
>?-1
п^ к;(пП
(4)
где п0 - радиус вертикальной корреляции неодно-родностей, а £ - порядок соответствующей функции Макдональда.
Корреляционные функции вида (3, 4) с успехом использовались в теории турбулентности [9], а также при трактовке рассеяния звука слоистым дном океана [10]. Такие корреляционные функции, часто называемые функциями Кармана, обладают рядом полезных свойств, значительно облегчающих аналитические выкладки. Они принадлежат к классу непрерывных корреляционных функций и при определенных значениях V являются решениями стохастических уравнений, описывающих марковский и авторегрессионный процес-
сы [11]. В нашей модели подбор значений параметров V и £ позволяет хорошо аппроксимировать корреляционные зависимости, полученные в натурных экспериментах.
Соответствующие формулам (3) и (4) энергетические спектры флуктуаций показателя преломления имеют вид:
а1(к±) =
Чо х £
0 у
п( 1
-2 2
ох
К х
:2 2 э0 у Ку )
(5)
^(К) =
По Г(С +1/2)
Л ГЮ (1 +
2 2Ч £ +1/2' По К)
(6)
Учтем, что случайные объемные неоднородности океана являются "слабыми": значения среднего квадрата (ц2) флуктуаций показателя преломления, измеренные в различных районах Мирового океана, не превышают 10-7, поэтому для расчета коэффициента объемного рассеяния тг можно воспользоваться первым приближением метода малых возмущений [12]:
тг = 2як^(ц).
(7)
С учетом формул (2), (5) и (6) такой коэффициент рассеяния дается выражением:
тт
где К(Х - функция Макдональда порядка V, Г(у) -гамма-функция, X = [(^0х)2 + (£у/£оу)2]1/2 - безразмерный аргумент, а £0х и £0у - радиусы корреляции по горизонтальным осям. Примем аналогичный вид и для коэффициента вертикальной корреляции
х -
2 V , 2\
- = -р(Ц )х
хуПок
(8)
2 2
(1 + хЧ.
учУУ+1(1
2 2Ч £ +1/2' ПоЧг )
где ц = к - к0, к0 и к - волновые векторы падающей и рассеянной волн соответственно, к = |к|, чх, Чу и чг - компоненты вектора ц в горизонтальной плоскости и по глубине.
Используемая в численном моделировании программа [6], основанная на широкоугловом приближении параболического уравнения, пред-логает цилиндрическую симметрию задачи (модель является фактически двумерной). Поэтому при численном моделировании океанской среды нельзя непосредственно использовать энергетические спектры неоднородностей, если последние являются трехмерными. Из энергетических соображений вместо того, чтобы воспользоваться сечением спектра (5) вертикальной плоскостью, проходящей через трассу распространения, по-видимому, более обоснованно проинтегрировать горизонтальный спектр по поперечному волновому числу и полученный "одномерный" спектр (в сочетании с вертикальным спектром) приме-
и
N(n)
1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2
G (Kx) =
% о x r(v + 1/2)
1
п
r(v)
( 1+ % 0 x K
2 )v
-1/2'
(9)
N(%x) =
1
>v-1
r(v)V% о x
Г M * Г à
'(%0x) .
(10)
m v
2 r(v
п
r(v)
1/2)(.2)
% 0 x Л 0 k
2 2 v + 1/2
( 1 + % 0 x9x )
(11)
другой - зеркальному направлению относительно горизонтали.
Моделируемая двумерная (в вертикальной плоскости) случайная составляющая поля скорости звука 8с(х, 2), обладающего фрактальными свойствами, согласно [14, 15] представлялась суммой ряда:
8c(x, z) = ^Ai cos(Kxx + Kzz + ф;),
(12)
П, м
Рис. 1. Смоделированная (жирная линия) и заданная (тонкая линия) корреляционные функции для К1 = = 0.3 м-1, к2 = 180 м-1, ¿к = 0.02 м-1, По = 2.5 м и V = = 0.33 (локально изотропная турбулентность Колмогорова-Обухова).
нить для моделирования реализации неоднородностей. Результат такого интегрирования имеет вид:
По форме выражение (9) совпадает с вертикальным спектром (6), но в нем следует использовать значение параметра V, которое определяется сравнением формулы (5) с данными натурных измерений или, например, "законом 3/2" для спадания интенсивности акустического поля (V = 0.25) [13]. Соответствующий спектру (9) коэффициент корреляции имеет вид:
где Kx; = k; cos Xi, Kz; = k; sinx - проекции волнового вектора на оси x и z соответственно, а угол x -угол между направлением вектора к и осью x. Модуль вектора к задается регулярным массивом через интервал dK в диапазоне от к1 до к2. Если моделируется изотропное случайное поле, то задаются случайные последовательности x; и ф с размерностью, равной размерности массива к, и равномерным распределением в интервале [0, 2п]. Амплитуда Аг определяется по формуле Аг = = (Gx(K;)dK)1/2, где Gx(K) - спектральная плотность флуктуаций скорости звука.
С помощью приведенного выше способа моделирования случайного поля можно добиться хорошего соответствия корреляционной функции, вычисленной по реализации смоделированного случайного поля, и корреляционной функции, заданной по формуле (4). Пример такого соответствия представлен на рис. 1 для корреляционной функции смоделированного изотропного поля турбулентных неоднородностей скорости звука.
Для того чтобы смоделиров
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.