ИЗВЕСТИЯ РАИ. ТЕОРИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ, 2007, № 1, с. 143-155
= СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ДВИЖУЩИМИСЯ ОБЪЕКТАМИ
УДК 519.9
КОМПЬЮТЕРНЫЙ ВЫВОД И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ УРАВНЕНИЙ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ДВИЖЕНИЯ БОЛЬШОЙ КОСМИЧЕСКОЙ КОНСТРУКЦИИ В ПРОЦЕССЕ ЕЕ СБОРКИ*
© 2007 г. С. Д. Земляков, В. Ю. Рутковский, В. М. Суханов
Москва, ИПУ РАН Поступила в редакцию 10.04.06 г.
Рассматривается механическая система вида большой космической конструкции в процессе ее сборки на орбите. Исследуется задача оперативного компьютерного вывода текущей математической модели пространственного движения механической системы, структура которой изменяется при подсоединении или отсоединении дополнительных тел или наложения дополнительных связей. Задача решается на основе уравнений Лагранжа второго рода. В постановке задачи требуется, чтобы вычислительная система осуществляла линеаризацию полученной нелинейной лагранжевой математической модели, ее преобразование путем приведения к главным (нормальным) координатам и, далее, производила переход к более конструктивной, с точки зрения синтеза законов управления, модально-физической форме представления. Предлагается математическое обеспечение решения перечисленных задач. Доказывается ряд необходимых утверждений. На примерах показана конструктивность предлагаемых методов и относительно простая программная реализуемость на основе вычислительной системы Maple.
Введение. В [1, 2] утверждается, что важнейшим направлением развития современной наблюдательной астрономии является разработка и развертывание на околоземной орбите больших радиотелескопов. Чувствительность таких инструментов пропорциональна площади главного зеркала, поэтому в составе космических телескопов желательно иметь рефлекторы больших размеров. Габаритные ограничения носителей не позволяют выводить подобные зеркала на орбиту в рабочем состоянии, поэтому исследуются различные методы их сборки и развертывания в космосе. Большие твердотельные зеркала должны быть образованы из высокоточных отражающих панелей, сборка которых на орбите остается трудной проблемой.
Монтируемый на орбите радиотелескоп представляет собою большую космическую конструкцию (БКК) наращиваемой структуры [3]. Движение такой конструкции должно быть управляемым как в процессе сборки, так и при ее функционировании. Считается, что БКК как механическая система имеет несущее тело с органами управления движением, к которому дискретно (в некоторые моменты времени) могут подсоединяться (или отсоединяться) другие тела. Процесс управления движением БКК затрудняется тем, что при каждом присоединении очередного тела математическая модель (ММ) БКК как механической системы с большим числом степеней сво-
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект < 05-08-18175) и Программы фундаментальных исследований < 16 Отделения ЭММПУ РАН.
боды изменяется и по числу обобщенных координат, и по связям, накладываемым на нее. Если при этом учесть, что ММ, описывающая движение БКК, в общем случае является нелинейной, многосвязной и нестационарной, то отыскание рациональных алгоритмов управления движением БКК с изменяющейся структурой - задача не простая, при ее решении целесообразно использовать вычислительную систему. Для решения задачи управления необходимо знать текущую ММ движения БКК. Настоящая работа посвящена оперативному компьютерному выводу и преобразованиям уравнений движения БКК на каждом шаге наращивания ее структуры.
Рассматривается космическая конструкция относительно простого вида, которую в первом приближении можно представить в качестве БКК с дискретно развиваемой структурой "зонтичного" типа [3]. В подобной БКК к активному несущему телу последовательно присоединяются пассивные тела - стержневые элементы, образующие, в конечном счете, каркасную поверхность требуемой формы. Стержневые элементы предполагаются абсолютно жесткими телами, однако в узлах крепления стержней учитывается упругость связи. В результате БКК, в целом, представляет собою многочастотную колебательную систему. В статье разрабатывается математическое обеспечение оперативного компьютерного вывода текущей ММ полного пространственного движения БКК зонтичного типа. Исходная ММ
получается в виде уравнений Лагранжа второго рода.
Методика компьютерного вывода уравнений движения механической системы с большим числом степеней свободы, изменяющимся в процессе функционирования за счет наложения дополнительных связей, изложена в [4]. В настоящей работе эта методика принимается за основу, однако частный случай кинематической схемы БКК зонтичного типа как механической системы имеет характерные особенности. В качестве таких особенностей укажем наиболее существенные. Первая заключается в том, что в [4] исследуется механическая система, не обладающая потенциальной энергией. Здесь потенциальная энергия упругих деформаций конструкции играет принципиальную роль. Вторая особенность в том, что в [4] к несущему телу крепятся манипуляторы с активными звеньями, т.е. каждое звено имеет свои органы управления движением. В данном случае стержни - пассивные тела, их степени свободы определяются упругостью в точке подсоединения. Следующая особенность следует из того, что к несущему телу подсоединяется большое число цепей, каждая из которых состоит из относительно большого числа стержней. Все эти факторы требуют доопределения математического обеспечения решения поставленной задачи по сравнению с методом, предложенным в [4]. Тем не менее, в математическом обеспечении решения задачи компьютерного вывода уравнений движения механических систем столь различного вида оказывается много общего, что и будет использовано в работе. Например, в [4] существенное внимание было уделено отысканию функциональных зависимостей, описывающих правую часть ММ движения механической системы. На основе утверждений, доказанных в [4], и на базе более простой (регулярной) структуры механической системы, рассматриваемой в настоящей работе, решение этой задачи выписывается сразу.
В процессе проектирования БКК, ее сборки на орбите или в режиме функционирования может возникнуть задача получения ММ движения для случая, когда некоторые из обобщенных координат принимают постоянные значения (замораживаются) и переходят в параметры ММ движения БКК. Например, в силу тех или иных причин часть подключенных стержней теряют свою степень свободы. Другим примером может служить распространенный метод проектирования системы управления космическим аппаратом на основе его ММ "плоского" движения [5]. Компьютерный метод вывода ММ движения БКК должен учесть и эту возможность.
Частный случай механической системы в виде БКК зонтичного типа позволяет ставить вопрос о возможной линеаризации нелинейных по приро-
де уравнений движения такой системы. Действительно, движение БКК и в процессе сборки, и в смонтированном положении близко к движению спутника по орбите. Здесь вполне правомерно говорить об относительно малых угловых скоростях движения и небольших отклонениях углов ориентации от требуемых, поддерживаемых с помощью автоматических систем управления.
Линеаризованная ММ более удобна для синтеза алгоритмов управления движением объекта. Однако в данном случае линеаризованная ММ, в силу своего высокого порядка и многосвязности, остается сложной. Для конструктивного решения задач синтеза алгоритмов управления движением БКК полную линеаризованную ММ целесообразно декомпозировать на более простые подсистемы [6]. С этой целью следует обратить внимание на то, что получаемая линеаризованная ММ по определению, принятому в [7], аналогична позиционной линейной системе. Как известно [7, 8], при приведении позиционной линейной системы к главным (нормальным) координатам исходная система уравнений декомпозируется на п осцилляторов (п - число степеней свободы механической системы). В нашем случае линеаризованная ММ отличается от позиционной линейной системы наличием правой части, которая, при переходе к главным координатам, не позволяет провести подобную декомпозицию. Тем не менее, ниже будет показано, что переход к главным координатам делает возможным выделение из полной линеаризованной математической модели более простых ММ парциальных движений. Такие ММ более удобны с точки зрения выбора конструктивных параметров, анализа и синтеза системы управления движением БКК.
Задача, которая решается при подобном переходе, принципиально имеет решение [7, 8]. Однако для математического обеспечения ее решения необходимо явно выписать алгоритм преобразований, который будет удобен для реализации с помощью вычислительной системы. Найден соответствующий алгоритм для рассматриваемого вида БКК и показана его вычислительная конструктивность. Далее доказывается, что на основе полной линеаризованной ММ движения БКК относительно главных координат можно выделить более простые ММ парциальных движений. Эти ММ описывают движение по одной из шести координат, определяющих положение БКК в инерциальном пространстве.
ММ парциальных движений по-прежнему записываются относительно главных координат. Однако, с точки зрения решения задач управления движением БКК, от главных можно перейти к другим более удобным координатам, являющимися их линейными комбинациями. Впервые прием замены главных координат более конструк-
КОМПЬЮТЕРНЫЙ ВЫВОД И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ УРАВНЕНИЙ
145
тивными был предложен в [9], а получающаяся в результате математическая модель была названа модально-физической (МФМ).
В работе все перечисленные выше шаги по преобразованию нелинейной многосвязной ММ пространственного движения БКК в форме уравнений Лагранжа второго рода, получаемой компьютером, также возлагаются на вычислительную систему: ММ линеаризуется, приводится в систему уравнений относительно главных координат, выделяются парциальные ММ движения, каждая из которых преобразуется в форму МФМ.
1. Постановка задачи. Рассмотрим механическую систему в виде дискретно развивающейся структуры зонтичного типа [3]: к несущему телу для образования формируемой поверхности БКК подсоединяются стержни (носимые тела), с возможностью дальнейшего их наращивания одним или несколь
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.