МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА <1 • 2008
УДК 533.6.011.8
© 2008 г. В. Ю. АЛЕКСАНДРОВ, А. И. ЕРОФЕЕВ, М. Н. КОГАН, О. Г. ФРИДЛЕНДЕР
КОНДЕНСАЦИОННОЕ СИЛОВОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ АЭРОЗОЛЬНЫХ ЧАСТИЦ
Рассмотрено силовое взаимодействие аэрозольных частиц, вызванное процессами конденсации или испарения на них. При этом предполагалось, что процесс массообмена может происходить в свободномолекулярном, переходном или континуальном режимах. Использованы асимптотические методы исследования и методы численного моделирования (метод прямого статистического моделирования Монте-Карло решения системы нелинейных кинетических уравнений Больцмана и вероятностный метод пробной молекулы решения линейного уравнения Больцма-на). Изучены характеристики сил взаимодействия двух аэрозольных частиц. Определены зависимости этих сил от режима обтекания (от числа Кнудсена), от расстояния между частицами, от их формы, концентрации конденсирующегося пара, коэффициента конденсации. Построены аппроксимации этих зависимостей.
Ключевые слова: аэрозольные частицы, силовое взаимодействие, переходный режим, конденсирующие частицы.
Одно из важных свойств течений газа с твердыми и жидкими частицами - возможность коагуляции этих частиц. Физические причины коагуляции подробно изложены в [1]. Математические модели коагуляции можно найти во многих работах, причём большинство из них базируется на предположении о парном силовом взаимодействии частиц. В гидродинамике достаточно подробно исследовано взаимодействие частиц в стоксовом режиме течения [2]. Дальнейшие исследования и следствия такого рассмотрения для движения частиц в жидкости можно найти в сборнике статей [3]. Обзор процессов, происходящих в газах при взаимодействии частиц, дан в [4], а свойства частиц в атмосфере - в [5]. Одно из важных приложений исследования взаимодействия частиц в газах - изучение турбулентных многофазных течений в соплах и струях двигателей [6-9]. В этих работах можно найти достаточно полный обзор сведений, необходимых при изучении причин, приводящих к столкновениям частиц, и процессов, сопровождающих эти столкновения. Однако без достаточного внимания осталась одна из причин столкновения частиц - конденсация пара на частицах. Массообмен одиночной частицы и простейших коллективов частиц изложен в [10].
По-видимому, первой работой, в которой было рассмотрено силовое взаимодействие двух частиц, на которых происходит конденсация пара в свободномолекулярном режиме, была [11], в которой определена сила взаимодействия сферических частиц при произвольных расстояниях между частицами. Для значительных расстояний между частицами результат был получен асимптотическим методом, а для умеренных расстояний -численно. Влияние вдува газа (или испарения) с поверхности сферической частицы на её сопротивление при континуальном режиме течения изучалось достаточно подробно (см. библиографию в [12]). В стоксовом режиме течения величина силы взаимодействия двух сферических частиц, на поверхности которых задана скорость вдува, была определена в [13]. В нелинейной нестационарной постановке в континуальном режиме течения взаимодействие двух испаряющихся жидких сферических частиц было изучено численно в [14]. Число Рейнольдса обтекания частиц, расположенных вдоль потока, одна за
Фиг. 1. Схемы силового взаимодействия двух сферических конденсирующих частиц и двух выпуклых конденсирующих частиц в свободномолекулярном режиме
другой, изменялось в диапазоне 50-200. При таких значениях числа Рейнольдса сила взаимодействия испаряющихся частиц была силой притяжения. Этот результат - следствие разного действия потока газа на переднюю и заднюю частицы.
Следует подчеркнуть, что исследования процесса конденсационного взаимодействия частиц имеет прикладной интерес как для режима сплошной среды, так и для переходного и свободномолекулярного режимов. Например, из данных по эмиссии частиц двигателем самолета [15] следует, что размеры частиц, вылетающих из двигателя, малы (могут лежать в диапазоне от 10-9 до 10 м). Это обстоятельство требует пересмотра обычно используемых континуальных математических моделей процесса конденсации и изучения влияния эффектов разреженности газа на силовое взаимодействие аэрозольных частиц.
1. Постановка задачи. Исследуется силовое взаимодействие двух аэрозольных частиц, находящихся в однородном двухкомпонентном газе с давлением ри температурой Тх, на поверхности которых конденсируется один компонент смеси газов при коэффициенте конденсации а (фиг. 1, а). При математическом моделировании силового взаимодействия конденсирующих частиц сделаны следующие предположения, выполняющиеся, в частности, для условий в следе самолета для значительной доли аэрозольных частиц: все процессы происходят в квазистационарном режиме; скоростями частиц по отношению к газу можно пренебречь; электризацией рассматриваемых частиц можно пренебречь; изменением температуры частиц вследствие конденсации пара на них пренебре-гается.
Действительно, оценки процессов, происходящих в следе, показывают, что (последовательно для указанных предположений) выполняются следующие соотношения.
При движении частиц в ближнем следе самолета существуют три характерных времени: время установления стационарного режима конденсации ts, время сближения частиц под действием конденсационных сил tc и время движения в ближнем следе т При упомянутых размерах частиц установление квазистационарной конденсации происходит быстрее всего. Сближение частиц (с расстояния в 20 диаметров частиц) под действием конденсационных сил, величина которых оценена ниже, происходит за время, меньшее времени их движения в ближнем следе или ts < tc < т
Скорость движения частиц по отношению к газу при конденсационном силовом воздействии много меньше характерных значений скоростей в газе для соответствующих режимов конденсации: средней тепловой скорости молекул газа в свободномолекулярном и переходном режимах и скорости диффузии в континуальном режиме.
При электризации частиц в двигателе преобладает однократная электризация [16]. Сравнение электростатического (при однократной ионизации) и конденсационного силовых воздействий показывает, что для значительного диапазона размеров частиц преобладает последнее.
Последнее из четырех предположений обосновывается только необходимостью выявления основных особенностей силового взаимодействия частиц. Влияние изменения
температуры частиц при конденсации/испарении на силовое взаимодействие частиц будет исследовано отдельно.
Температуры поверхности частиц полагаются однородными и равными температуре газа вдали от частиц: Т^ = Тте. Предполагается, что размеры частиц могут быть сравнимы с длиной свободного пробега молекул. Изменением внутренней энергии молекул пренебрегается. Потенциал взаимодействия молекул предполагается сферически симметричным. Адекватной математической моделью конденсации пара в этих условиях является система двух стационарных нелинейных кинетических уравнений Больцмана, моделирующих конденсирующийся компонент (пар) и фоновый газ. Функции распределения по скоростям молекул пара (О) и неконденсируемого, фонового газа (Р) удовлетворяют уравнениям
дР = 5(Р, Р) + 5(Р, О), дО = 5(О, О) + 5(О, Р) (1.1)
Члены в правой части уравнений означают интегралы столкновений [17]. Граничными условиями вдали от частиц принимаются равновесные условия
О(х мО, Р(х 1- е)пМР п= пРх = пОх,
г Л Л3/2 „2 т ; пО (1.2)
M(T, m¡) = Mt. = ^n'j exp(-h^2), hi.
2 kT„
Здесь е - относительная числовая плотность молекул пара, а пм - полная числовая плотность газа. Для молекул фонового газа принята диффузная модель отражения молекул от поверхности частицы с температурой поверхности Тк
> 0) = м^ТПЛ" | 1^1 п|Р(Х1)^ (1.3)
¡1п < 0
Здесь ¡п - проекция скорости молекулы на нормаль к поверхности частицы. Предположение, что молекулы пара на поверхности частиц не только конденсируются, но и испаряются с вероятностью а, а отлетающие от поверхности молекулы распределены с равновесной функцией распределения, формулируется так:
G{\п > 0) = M,
о апа„ + (1-а)2^ | (¡^О^(1.4)
$1п < 0
Здесь пОк - числовая плотность насыщенного пара при температуре поверхности.
Сила, действующая на частицу, определяется столкновениями с поверхностью молекул пара и молекул фонового газа Р = РО + В случае малой концентрации пара (е ^ 1) постановка задачи упрощается. В линейном по малому параметру приближении для функции распределения молекул пара справедливо линейное уравнение Больцмана, а для молекул фонового газа - линеаризованное уравнение Больцмана с неоднородным членом. Действительно, справедливо представление, в котором нулевое приближение для функции распределения фонового газа соответствует равновесной функции распределения. Тогда
Р = п Ом + е ^ + ..., О = е О1 + ...
, дО,
= 5(^, (1.5)
, д Р
¡■¿х = 5(Р1, пмМм) + 5(пмМм, + 5(пмМм, О1)
Постановка задачи о конденсационном взаимодействии крупных частиц, т.е. задачи о взаимодействии в континуальном приближении (при малых значениях числа Кнудсена), может быть получена при асимптотическом решении систем уравнений (1.1) или (1.5). В обоих случаях рассматриваются медленные движения газа. Вывод системы уравнений для медленных течений смеси газов в континуальном режиме в нелинейной и линейной постановке получен при асимптотическом решении систем уравнений (1.1) и (1.5) и представлен в обзоре [18]. При исследовании конденсационных сил взаимодействия будет использовано линейное приближение по концентрации пара в смеси. Достаточность линейного приближения будет ясна из сравнения с численными результатами при произвольной концентрации (разд. 5).
В линейном приближении концентрация пара должна удовлетворять уравнению Лапласа, а скорость смеси газов - системе уравнений Навье - Стокса в стоксовом приближении [18]:
A nG = 0, div u = 0, - Vp + цДи = 0 (1.6)
Если коэффициент конденсации а ~ 1, то концентрация пара на поверхности частиц обычно полагается равной концентрации насыщенного пара при температуре поверхности. При этом погрешность результата при вычислении сил имеет порядок рмЖп3. Поскольку ниже величина силы определ
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.