КОНДЕНСАЦИЯ ВОДЯНОГО ПАРА В ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ
В. Г. Горшков, А. М. Макарьева, А. В. Нефёдов*
Петербургский ■институт ядерной физики им. Б. П. Константинова 188300, Гатчина, Ленинградская обл., Россия.
Поступила в редакцию 10 февраля 2012 г.
Рассмотрены теоретические особенности конденсации водяного пара в условиях гидростатического равновесия. Оценена мощность стационарных динамических потоков газа и вертикальное распределение температуры, обусловливаемые конденсацией на больших горизонтальных масштабах.
1. ВВЕДЕНИЕ
Насыщенный пар конденсируется при понижении температуры, что приводит к уменьшению давления газа и вызывает динамический поток газа из области высокой температуры в область низкой. Это явление широко используется в технических приложениях, таких, например, как тепловые трубки [1, 2]. В большинстве лабораторных и теоретических исследований этого явления конденсация происходит на жесткой поверхности области, ограничивающей поток, а температура поверхности конденсации задается внешними условиями [3 5]. Характерные линейные масштабы таких задач в эксперименте не превышают нескольких метров.
Связанные с конденсацией динамические потоки газа, возникающие на больших масштабах в гравитационном поле Земли, имеют ряд существенных особенностей. Уменьшение температуры, вызывающее конденсацию, происходит при вертикальном подъеме объема газа как следствие увеличения его потенциальной энергии за счет уменьшения внутренней. Поэтому для возникновения конденсации не требуется искусственно поддерживать градиент температуры, лимитируемый мощностью отвода тепла во внешнюю среду. При этом конденсация происходит внутри движущегося объема газа, а не на макроскопической жесткой поверхности, ограничивающей динамический поток.
Воздух удерживается у земной поверхности гравитационным полем Земли и распределен по вертикали в соответствии с условием гидростатического
E-mail: anef® thd.pnpi.spb.ru
равновесия. Конденсация водяного пара нарушает гидростатическое распределение воздуха и приводит к направленным вверх силам градиента давления, не скомпенсированным гравитационным полем. Вертикальный поток газа останавливается гравитационным полем, стремящимся восстановить гидростатическое равновесие. В результате в открытом пространстве при конденсации возникает горизонтальный воздушный поток и горизонтальная сила градиента давления, направленные в область конденсации. В настоящей работе рассмотрены особенности конденсации водяного пара воздуха в условиях гидростатического равновесия, имеющие ряд приложений [6,7].
2. УРАВНЕНИЕ НЕПРЕРЫВНОСТИ С УЧЕТОМ КОНДЕНСАЦИИ
В стационарном случае уравнение непрерывности для воздуха имеет вид
сИу(Дгу) =5, V = и + , (1)
(-Иу(Дч,у) = сИУ(Л^У) = 0, N = N¿ + N4, (2)
где Лг, N4, АТг, [моль/'м3] молярные плотности соответственно влажного воздуха, сухого воздуха и насыщенного водяного пара, 5 [моль/'м3 • с] плотность скорости конденсации, и и ж скорости потока воздуха соответственно в горизонтальном и вертикальном направлениях. Выберем ось х вдоль горизонтальной скорости и, а ось г вдоль вертикальной скорости VV. Насыщенная плотность водяного пара ЛГу зависит в соответствии с уравнением
13 ЖЭТФ, выи. 4 (10)
817
Клапейрона Клаузиуса только от абсолютной температуры Т. Предполагая горизонтальную изотер-мичность при любых г, имеем
^7 = ^ = 0, М„=М„(Т), I Г(:). (3)
ОТ дх
Введем безразмерные переменные 7 и согласно определениям:
К лг„
У
7
Хй
7
1л
1л
7
1-7
(4)
В земной атмосфере величины 7 и 7^ малы и не превосходят 0.1. Умножая второе уравнение (2), содержащее N4, на и вычитая из него первое уравнение (2), содержащее Уг,, получим, что уравнения непрерывности (2) принимают вид
ал' пх„ .„ с. 1
и—— = и—- = (Ьг1 — о) -.
7ё
дх дх {дХ,
IV
\ дс
эха _ д14
(5)
Введем также величину 5' заменой N4 на У в выражении для 5'^:
5-
и>
{дх„ _ дх\ Л ас;
V д: 5
7-
и<Х
1
•7
№ - 5') -
7ё
д"ч
дг'
5.
(6)
После определения 5' выписаны легко проверяемые тождества.
Используя уравнение состояния идеального газа
р = ХИТ. />,/ = Х,/1!Т. />,- = Л",///". (7)
где Д = 8.31 Дж/'моль-К универсальная молярная газовая постоянная, р, р^ и рг, давления соответственно влажного воздуха, сухой компоненты воздуха и водяного пара, можно переписать соотношения (5) в виде
др дрл и— = и— = (.ч г1 дх дх
-А
1<1
5ВТ,
(8)
8Л = IV
дрг,
IV
дру
дг
дрл\ др
шра-
и>р
д"ч
'дг
О)
Производные дТ/дг в силу универсальности газовой постоянной в (7) сокращаются и не переходят в
уравнение (8). Уравнения непрерывности (1) и (2), записанные в формах (5) и (8), не содержат вследствие (7) массовых плотностей р, = М;ДГ; и молярных масс М, (г = <'л1).
Величины «г, 84 и л' [Вт/'м3] имеют смысл плотностей динамических мощностей конденсации. Согласно (8), при любом значении <т, отличающемся от 84 на малую величину порядка 7^, возникает горизонтальный градиент давления. В частности, при <т = й (9) имеем идр/дх = 8. Пренебрежение членами порядка в численных моделях циркуляции влажного воздуха (см., например, [8,9]) является ошибочным. Горизонтальный градиент давления исчезает только при точном равенстве <т =
3. ФИЗИКА УСЛОВИЯ ГИДРОСТАТИЧЕСКОГО РАВНОВЕСИЯ
Рассмотрим более детально условие гидростатического равновесия и его физический смысл. Уравнения состояния (7) могут быть переписаны в виде
р=рфа, Р4 = Рад1г4, Рк = ркяК, р р,1 — />,-•
ВТ ,
Ш
ВТ
ВТ
Жд'
Млд М = Мл{ 1 - 7) -
7М„
Р = Рй + Рг, рА = М,,Х,,.
р = МХ, Рг, = М.„ Хг,
(Ю)
(Н)
(12)
где 7 определена в (4), р, рг[. рг, массовые плотности газа; Мг, = 18 г/моль, М^ = 29 г/моль молярные массы газа; 1гд, Нд и 1гг, высоты равномерно плотных атмосфер газов соответственно для влажного воздуха, его сухой компоненты и водяного пара. В форме записи (10) непосредственно видно, что давления газов представляют собой плотности потенциальной энергии в гравитационном поле Земли. Условия гидростатического равновесия имеют вид
Р
др
'Тг=р9 = Тя'
дру
дг
дрл _ р<1
~ м =
Рк
(13)
= р«д =
п„
В неподвижном воздухе в отсутствие конденсации выполняются все три равенства (13). При подъеме влажного воздуха все газовые компоненты движутся с одной и той же скоростью и>. Поэтому без
конденсации (при движении ненасыщенного водяного пара) гидростатическое равновесие устанавливается так, что на всех высотах средняя молярная масса воздуха равна значению у поверхности, т.е. Нд не зависит от г. При возникновении конденсации последнее равенство (13) для рг, нарушается распределение водяного пара по высоте сжимается [10] (см. также ниже разд. 5, формулы (25), (32)):
Эру
' дг
=Ь /ic</v
(14)
Возникает направленная вверх сила /с, действующая на оставшийся влажный воздух. Соответствующая ей мощность и.'/с равна (см. (9))
г I Pi' Pv 1
= —W
дру
дг
Pv_ dp р дг
I>, <hg. (15)
В открытом пространстве нарушенное гидростатическое равновесие восстанавливается за счет горизонтального притока воздуха в область конденсации, т.е. возникают горизонтальный градиент давления и горизонтальная сила, а вертикальная сила исчезает. Из закона сохранения энергии следует, что мощность циркуляции, определяемая в гидростатическом равновесии только горизонтальным градиентом давления и горизонтальной скоростью — идр/дх, равна мощности <е/с, что соответствует (8) при а = я:
"'/с =
др
-и— = -S. ох
(16)
Поэтому в открытом пространстве в присутствии конденсации выполнение условия гидростатического равновесия для всего влажного воздуха соответствует равенствам
дг hg' дг hg h, ' дг h, '
В горизонтально ограниченном пространстве, где др/дх = 0, компенсация вызываемого конденсацией отклонения от гидростатического равновесия и исчезновение вертикальной силы /с невозможны при 7 < 1 (см. ниже (41) в разд. 5).
В момент конденсации водяного пара суммарная плотность газовой рг, и конденсированной р/ фаз остается без изменения: рг, + pi = const. Однако в уравнение (7) входит полное число частиц газа (или в принятых единицах измерения число молей) в единице объема, независимо от их массы и размеров.
При образовании жидкой или твердой фазы и образовании капель число первоначальных частиц пара уменьшается в миллионы и более раз. Во столько же раз уменьшается парциальное давление образующихся броуновских частиц конденсированной фазы. Поэтому в первое уравнение (17) входит только число частиц в газовой фазе (с относительной точностью порядка Ю-6) независимо от того, сохраняются ли частицы конденсированной фазы в единице объема или выпадают из него под действием сил гравитации. Поэтому в (17)
р = Pd + Pv Ф Pd + Pv
Pi-
Использование последнего равенства, содержащего Р1, встречающееся в численных моделях [11], является ошибочным [12].
Сила торможения восходящего потока воздуха каплями дождя, падающими с постоянной скоростью, соответствующей закону Стокса [13], определяется объемной плотностью числа капель и их размером, т. е. подчиняется независимым физическим закономерностям. Поэтому эта сила не может в общем случае определять наличие или отсутствие гидростатического равновесия, которое в крупномасштабных циркуляциях с учетом падения капель выполняется с большой точностью [14, 15]. В то же время сила дождевого торможения, наряду с силой трения о земную поверхность, пропорциональной весу атмосферного столба, является силой, предотвращающей горизонтальное ускорение воздушных потоков в крупномасштабных циркуляциях [14, 15].
4. ПОТОКИ КОНДЕНСАЦИИ В ОТКРЫТОМ
ПРОСТРАНСТВЕ В ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ ЗЕМЛИ
В открытом пространстве стационарность процесса конденсации на всех высотах в отсутствие горизонтального градиента температуры может обеспечиваться постоянным испарением с жидкой поверхности Земли, компенсирующим конденсацию на всех высотах. Испарение с мощностью, меньшей мощности конденсации во всем атмосферном столбе, обеспечивает постоянство не зависящей от х высоты г, где относительная влажность достигает единицы. В случае, когда мощность конденсации намного превосходит мощность испарения, стационарность этой величины поддерживается только при передвижении ветровой структуры в области
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.