Автоматика и телемеханика, № 2, 2014
© 2014 г. А.Г. АЛЕКСАНДРОВ, д-р физ.-мат. наук (Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, Москва), Ю.Ф. ОРЛОВ, д-р физ.-мат. наук
(ЭПИ МИСиС, Электросталь), М.В. ПАЛЕНОВ, канд. техн. наук (Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, Москва)
КОНЕЧНО-ЧАСТОТНАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ ОБЪЕКТОВ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ1
Предлагается метод конечно-частотной идентификации для устойчивых объектов с запаздыванием в присутствии неизвестного внешнего возмущения и помех измерения. Этот метод использует испытательный сигнал, представляющий из себя сумму гармоник, количество которых не превышает числа коэффициентов объекта. Для однозначного определения величины запаздывания предложен подход, использующий испытательный сигнал, представляющий собой произведение синусоидальной и экспоненциальной функций. На основе этого подхода составлены два алгоритма идентификации: первый - для раздельной идентификации коэффициентов и величины запаздывания, второй - для совместной их идентификации.
1. Введение
В настоящее время теория управления располагает многими методами для идентификации объектов, описываемых дифференциальными уравнениями. Условно эти методы можно разделить на две категории в зависимости от предположений о помехах измерения и внешних возмущениях, действующих на объект.
Методы первой категории имеют дело с объектами, подверженными стохастическим возмущениям (например, белый шум с известными статистическими характеристиками). Это различные вариации метода наименьших квадратов и методы стохастической аппроксимации [1].
Вторая категория включает в себя методы, ориентированные на неизвестные ограниченные внешние возмущения (чьи статистические характеристики неизвестны); это рандомизированные алгоритмы [2] и конечно-частотная идентификация [3, 4].
Процесс идентификации может быть пассивным или активным. В пассивной идентификации измеряемый вход объекта имеет смысл управляющего воздействия, которое зависит от целей управления и не связано с идентификацией объекта. При таком входе идентификация может быть невозможна.
1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 09-08-00338-а).
В этих случаях применяют активную идентификацию, использующую сигнал, добавляемый к входному воздействию. Такой сигнал называется испытательным сигналом.
Метод конечно-частотной идентификации разработан для активной идентификации. Испытательный сигнал представляет собой сумму гармоник, число которых не превышает величину вектора состояния объекта. Амплитуды и частоты этого сигнала в значительной мере влияют на точность идентификации. В связи с этим их необходимо правильно выбирать. В [5] анализируется влияние частот и амплитуд испытательного сигнала на точность идентификации и предлагаются алгоритмы настройки этих частот и амплитуд. Эти алгоритмы обеспечивают малое влияние испытательного сигнала на выход объекта по сравнению с влиянием возмущений и помех.
Преимущество метода конечно-частотной идентификации по сравнению с другими существующими методами в том, что он сходится несмотря на неизвестный тип и интенсивность внешнего возмущения, если оно не содержит составляющих с частотами испытательного сигнала. В случае, когда внешнее возмущение или помехи измерения все же содержат компоненты с частотами испытательного сигнала, может быть применен алгоритм с последовательными парами [6], где идентификация проводится в две стадии. На первой стадии на объект подается полигармонический испытательный сигнал, а на второй -на объект подается тот же испытательный сигнал, но с обратный знаком. Затем результаты идентификации складываются. Таким образом компенсируется влияние внешнего возмущения.
Наряду с этим рассматриваются задачи идентификации объектов с запаздыванием. Обзор методов идентификации таких объектов, в основном при случайных внешних возмущениях и помехах, приводится в [7], где также даются рекомендации по выбору подходящего метода идентификации. Адаптивный наблюдатель, способный оценивать коэффициенты объекта и величину запаздывания, предлагается в [8, 9]. В [10] предлагается двухстадий-ная идентификация. На первой стадии используется испытательный сигнал, представляющий собой одну гармонику или сумму нескольких гармоник. На второй стадии используется идентификация со ступенчатым испытательным воздействием.
В данной работе метод конечно-частотной идентификации развивается для объектов с запаздыванием. В отличие от [11] в данной работе предложен подход для однозначного определения запаздывания, на основе которого построены соответствующие алгоритмы идентификации. Настройка частот и амплитуд испытательного сигнала во многом аналогична [5], ив предлагаемой работе она не рассматривается.
Статья организована следующим образом. Во втором разделе приводится постановка задачи. Частотные уравнения идентификации, с помощью которых определяются оценки коэффициентов объекта, приводятся в третьем разделе. В четвертом разделе описывается подход для однозначного определения запаздывания. Условия сходимости идентификации даны в пятом разделе. В шестом и седьмом разделах приведены алгоритмы идентификации. Пример описан в восьмом разделе.
2. Постановка задачи
Рассмотрим полностью управляемый асимптотически устойчивый объект с запаздыванием, описываемый уравнением
(1) dny(n)(t) + ... + diy(t) + y(t) = kmu(m) (t — T) + ••• + kou(t — T) + f (t),
где y(t) - выход объекта, u(t) - вход для управления, т - запаздывание (т > 0); кусочно-непрерывная функция f (t) - неизвестное ограниченное возмущение:
\f(t)\ < f*,
где f * - некоторое неизвестное положительное число.
Коэффициенты dv, kß (v = 1 ,п, ¿t = 0, m) и запаздывание т неизвестны.
Корни полинома k(s) = kmsm+km-1sm-1 +-----+ k1s+ko имеют отрицательные
вещественные части. Здесь и далее s - символ преобразования Лапласа. Измеряемый выход объекта имеет вид
(2) y(t)= y(t) + n(t),
где n(t) - помехи измерения, являющиеся неизвестной кусочно-непрерывной ограниченной функцией.
Испытательный сигнал представляет собой сумму гармоник
i
(3) u(t) = £ pi sin Wit,
i=1
где число гармоник равно I = n+m+1; амплитуды pi и частоты - заданные положительные числа ф ф к, г = 1,1, к = 1,1).
Часто коэффициенты объекта (1) являются кусочно-постоянными функциями. Если длительность их постоянства превышает время идентификации, то изложенное ниже относится и к таким объектам.
Цель идентификации - определить оценки k запаздывания и dv, (v — = 1,11, /л = 0,m) коэффициентов объекта (1) такие, чтобы выполнились требования
(4) { — dV\ ^ \dV\, если dv = 0, либо \dv\ ^ , если dv = 0,
\kß — kß\ ^ ekß\kß\, если kß = 0, либо \fß\ ^ ек, если kß = 0,
к относительной точности идентификации, в которых и ekt (и = 1 ,п, /л = 0, m) - заданные положительные числа.
3. Идентификация коэффициентов объекта
Для определения коэффициентов объекта можно получить не зависимые от запаздывания уравнения. Для этого запишем передаточную функцию объекта (1) в виде
(5) wT(s) = w(s)e~TS = ще~Т8, где d(s) = dnsn + dn-isn-1 +-----+ dis + 1.
Введем числа
(6) ац = Яеи>т{зщ) и pi = 1тгог(М), г = 1,
называемые частотными параметрами объекта управления (1).
Оценки частотных параметров объекта определяются экспериментально с помощью фильтра Фурье [3, 12]:
гр+Т
2
2 Г
ài = cti(t) = —= / y(t) sin ujitdt и Pit J
tF
(7)
tF+t
pi = Pi{t) = —= / y(i) cos Wit dt, i = 1,1,
Pit
tF
где if - время начала фильтрации и t - ее длительность.
Условия сходимости выходов фильтров к истинным частотным параметрам объекта (6) приводятся в разделе 5.
Уравнения связи частотных параметров объекта ai и pi (i = 1,1) с коэффициентами объекта к^ (/л = 1 ,т) и dv (и = 1 ,п) имеют вид
(8) HjUiM-jUi) - (of + $)[d(jui)d(-jui) - 1] = of + р2г, г = ~l, где
m n
(9) k(ju)k(-ju) = £(-1)"и d(ju)d(-ju) - 1 = £(-1Г^dv
"=0 v=1
- полиномы четных степеней.
Эти уравнения легко получить. Для этого запишем (5) в виде
k(juji) = wT{ju3i)é>WiTd{ju3i), i = 1,1,
затем умножим левую и правую части на соответствующие комплексно-сопряженные множители
k(juji)k(-juji) = wT(juJi)wT(-juJi)d(juJi)d(-juJi), i = 1,1.
Используя определение (6), получим (8).
Подставляя (9) в (8), получаем частотные уравнения идентификации
(10) - (of + A2) ^(-1)<424 = of + Pl i = i,1.
"=0 v=1
m
n
Единственным решением [13] уравнений (10) являются коэффициенты <1Р полиномов
п п
¿(в2) = ^*» +1 = сЦвщ-в) = <п П (в-(«-,
и=1 и=1
) т т
к(в2) = £ к^ = к(в)к(-в) = к2тц (в - в^-) (в - ,
где и (и = 1,?г) - корни полинома ¿(в2) с отрицательной и положительной вещественными частями соответственно. Аналогично обозначены корни и (/л = 1 ,т) у полинома к(з2).
Так как корни полиномов <(в) и к(в) имеют отрицательные вещественные
части по определению, их значениями будут 8\, и з}/ (г/ = 1 ,п, ¡л = 1 ,т) соответственно, и тогда
(12) <(в)= (в - и к(в) = ктЦ
и=1 1^=1
в - ву
Таким образом можно построить следующий алгоритм определения искомых коэффициентов объекта Алгоритм 1.
1. Сформировать полиномы четных степеней
¿(в2) = (1пв2п + ¿п-1в2п~2 + ••• + (к в2 + 1, к(в2) = ктв2т + кт-1в2т-2 + ••• + кв + ко,
решая уравнения (10), где частотные параметры заменены их оценками.
2. Определить корни в1^ (ь> = 1,?г) и (/л = 1 ,т) полиномов ¿(в2) и к(з2) соответственно и, взяв лишь те, что имеют отрицательные вещественные
части: вц = 1,") и {¡л = 1 , т), сформировать искомые полиномы (12).
4. Идентификация запаздывания
Введем числа
(13) фг = КеП1^Шг) И фг = 1ти1^Шг), 1 = 1,1,
где ) = к(№)/«(№).
Из выражения (5) следует
(14) е— -
п
т
Используя определения (6) и (13), получаем
агфг+рг-фг . Щ'фг - ффг . —
(15) СОвШгТ = -¡5--5— И 8111^7" = -х-—> г = 1, £,
а2г + Р2 а2г + в2
отсюда следует выражение для определения запаздывания
, г = 1Л, г = 0, ±1, ±2,
(16) т(г) = —
Ui
ai^i - фPi
arctan ( —--—— ) + 7гг
aiфi + Pi Щ
которое дает бесконечное число решений.
Для нахождения единственного значения запаздывания приложим к объекту испытательный сигнал
(17) u\(t) = рхext sin wxt,
где рх и их - заданные положительные
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.