ВЕСТНИК ЮЖНОГО НАУЧНОГО ЦЕНТРА РАН, том 2, № 1,2006, стр. 10-15
МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
УДК 539.3
КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ДИНАМИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ ДЛЯ УПРУГИХ РЕШЕТОК МИКРО- И НАНОКРИСТАЛЛОВ ИЗ ОКСИДА ЦИНКА
© 2006 г. В.А. Еремеев1, Е.М. Кайдашев2, А.Н. Соловьев3
Представлены результаты конечно-элементного моделирования процессов деформирования решетки нано- и микрокристаллов из оксида цинка. В рамках плоской теории электроупругости рассмотрены свободные и вынужденные колебания, а также нестационарные задачи для решетки микро- или нанокристаллов из оксида цинка, расположенных на подложке сапфира. Определены собственные частоты для системы решетка кристаллов - подложка, показано, что по найденному спектру большой системы (решетка - подложка) и спектру подложки можно определить первые собственные частоты одного нанокристалла. Это позволяет по экспериментальным данным для больших систем определить собственные частоты нанообъекта, которые непосредственно трудно определить другим способом. Знание собственных частот позволяет, в частности, судить о механических свойствах нанокристалла. Обсуждается возможность использования решеток нанокристаллов в качестве элементов наносенсоров.
Актуальным направлением наномеханики является исследование свойств новых наноматериа-лов и разработка микро- и наноэлектромехани-ческих устройств (MEMS и NEMS) на их основе [1, 2]. К числу таких материалов относятся полупроводниковые нанокристаллы, в частности из оксида цинка (ZnO). Сочетание высоких оптических, механических и пьезоэлектрических свойств оксида цинка определяет перспективность данного материала при разработке новых устройств нанофотоники и наномеханики. Гибридные структуры на основе тонких пленок и регулярных решеток ZnO нанокристаллов необходимы для создания УФ-нанолазеров систем оптической записи информации, оптических элементов молекулярной электроники, УФ-фотодетек-торов, эмиттеров электронов плоских дисплеев, солнечных элементов с наноструктурированны-ми электродами, сенсоров химических и биологических веществ и других устройств, в том числе на поверхностных акустических волнах.
Монокристаллические ZnO нанокристаллы изготавливаются различными методами: термиче-
1 Южный научный центр Российской академии наук, Ростов-на-Дону.
2 Научно-исследовательский институт механики и прикладной математики Ростовского государственного универститета, Ростов-на-Дону.
3 Донской государственный технический университет, Ростов-на-Дону.
ским испарением [3-5], химическим осаждением из газовой фазы при атмосферном давлении [6], эпитаксией из металлорганических соединений при пониженном давлении [7]. Селективный рост решеток ZnO микро- и нанокристаллов на сапфире методом импульсного лазерного напыления при высоком давлении аргона впервые исследовался в [8-13], карботермическим синтезом на воздухе и в атмосфере аргона [14, 15]. Примеры решетки нанокристаллов, полученных разными методами, приведены на рис. 1. Высота получаемых нанокристаллов составляет 1,5-3,0 мкм, а диаметр 30-100 нм, микрокристаллы имеют высоту 20-100 мкм и диаметр 1,0-3,0 мкм.
ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ЭЛЕКТРОУПРУГОСТИ
С точки зрения механики сплошной среды решетка нанокристаллов на подложке представляет собой составное пьезоэлектрическое тело. Основные уравнения электроупругости в приближении электростатики при отсутствии массовых сил имеют вид [16-18]
ри = У-а, УБ = 0; (1)
а = С • • е Е, Ь = е • а + э Е; (2)
е = 1(Уц + Уиг), Е = Щ (3)
Рис. 1. а - Решетки нанокристаллов 2пО на (1120) сапфире, полученные методом импульсного лазерного напыления [8-13], б - изображение поверхности во вторичных электронах решетки ¿пО нанокристаллов высокой плотности на подложке (1120), полученных карботермическим методом, в - и один кристалл [14, 15]
где и - вектор перемещений, Е - вектор напряженности электрического поля, выраженный через потенциал <р, <г - тензор напряжений, О - вектор электрической индукции, е - тензор деформаций, V - оператор градиента, р - плотность, С, е и э - матрица жесткости, пьезоэлектрические и диэлектрические постоянные соответственно.
К уравнениям (1)-(3) следует добавить краевые условия. Пусть поверхность тела Г состоит
из двух частей Г = Г1иГ2, причем Г,пГ2 = 0.
Пусть на части границы Г, заданы перемещения и0, а части Г2 - нагрузки Г В этом случае краевые условия задаются формулами
и|г, = и0, п • ст |Г2 = £ (4)
Для пьезоэлектрики механические краевые условия (4) нужно дополнить краевыми условиями электрической природы. Пусть
Г = Г3иГ4 (Г3пГ4= 0), причем на Г3 задан электрический потенциал <р0, а на Г4 - поверхностный заряд д. Тогда имеем
Ф1Г3 = ФО> = (5)
Для анализа нестационарных процессов краевая задача (1)-(5) должна быть также дополнена начальными условиями для поля перемещений.
Далее ограничимся рассмотрением случая плоской задачи.
КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТЙЫЕ ФОРМУЛИРОВКИ
Решение краевой задачи в связи со сложной геометрией области возможно численно. Далее использован конечно-элементный пакет АСЕЬАЫ [19-21]. Рассмотрим конечно-элементные аппроксимации, принятые в пакете АСЕЬАЫ, включающие в себя полевые уравнения (1), определяющие соотношения (2) и различные типы граничных условий (4), (5).
Слабая постановка задач акустоэлектроупру-гости и конечно-элементная аппроксимация приводит к системе обыкновенных дифференциальных уравнений [19]
М • а + К • а = Е, (б)
'Мии (Г , к = к„„ Ku(f> N
, 0 0,
F = (¥U,FV)T, а = (Х1,Ф)Г,
u(x,0 = NBr U(0, ф(х,0 = ^-Ф(г),
где а - вектор узловых степеней свободы, М и К - матрицы масс и жесткости, N„ и N,, - функции формы. Матрица М1Ш отражает инерционные свойства среды, матрицы Кш, Киф и Kw отражают упругие, пьезоэлектрические и диэлектрические свойства. Векторы F„ и Кф формируются в результате учета механических и электрических воздействий на границе области.
ЗАДАЧИ НА СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Модальный анализ краевой задачи (1)-(5) для решетки ZnO кристаллов на подложке сапфира в рамках пакета ACELAN после подстановки а = = \еш в уравнение (6) сводится к обобщенной задаче на собственные значения [19]
-0)2М • А + К • А = 0.
В численном эксперименте найдены собственные частоты консольно закрепленного на-нокристалла ZnO высотой 1 мкм (отношение высоты к диаметру hid = 10). Свойства монокристаллов оксида цинка и сапфира взяты из
12
В А. ЕРЕМЕЕВ и др.
Таблица 1. Собственные частоты и соответствующие формы колебаний одного нанокристалла
№
Собственные частоты одного нанокристаЛла, ГГц
Форма колебаний
0,10797 0,67763 1,92039 3,48340
3,83993
1-я изгибная мода
2-я изгибная мода
3-я изгибная мода 1-я продольная мода (растяжение-сжатие)
4-я изгибная мода
Таблица 2. Собственные частоты (в ГГц) для подложки и большой системы нанокристалла
Собственные частоты большой системы Собственные частоты подложки Собственные частоты большой системы Собственные частоты подложки
0,036494 0,036594 0,611800 0,614194
0,103909 0,636879
0,103971 0,650301
0,104039 0,650491
0,104106 0,650885
0,104226 0,651087
0,104322 0,651771
0,104467 0,652115
0,104612 0,653619
0,134652 0,134973 0,673730 0,675596
0,136246 0,136017 0,693176 0,689642
0,280004 0,280137 0,714337 0,713020
0,350831 0,352308 0,715752 0,715594
0,399614 0,400228 0,752689 0,750820
0,458963 0,461709 0,796596 0,797104
0,468378 0,469073 0,825551 0,828275
0,510692 0,512042 0,833135 0,833899
0,533656 0,535745 0,895234 0,905771
0,554328 0,560235 0,927530 0,927179
0,581777 0,586277 0,938998 0,940679
[22], где представлены данные о физических свойствах макрообъектов. Следует заметить, что механические свойства нанообъекта, как правило, могут существенно отличаться от аналогичного макрообъекта и поэтому определение механических и физических свойств нано-размерных объектов представляет собой одну из основных задач наномеханики. Определение динамических характеристик нанообъектов как раз и служит решению этой задачи, поскольку сравнение результатов вычислительного и натурного экспериментов позволяет оценить свойства нанокристаллов.
Результаты расчетов представлены в табл. 1.
При создании геометрической модели решетки нанокристаллов на подложке возникает
необходимость построения адаптивной сетки, содержащей большое количество конечных элементов. Впрочем эта особенность свойственна задачам конечно-элементного моделирования систем, содержащим элементы, размеры которых различаются в несколько раз. В качестве модели подложки рассматривался микрокристалл сапфира прямоугольной формы (10 х 20 мкм), закрепленный по большей стороне. Результаты модального анализа этого кристалла представлены в табл. 2 (колонки 2 и 4). Большая система моделировалась описанным микрокристаллом сапфира с набором 8 одинаковых нанокристаллов, расположенных на большей свободной стороне подложки. Результаты модального анализа большой системы представлены также в табл. 2 (колонки 1 и 3). Некоторые собственные формы колебаний представлены на рис. 2. Форма колебаний, соответствующая первой изгибной моде, изображена на рис. 2а. Кинематический анализ форм, соответствующих следующим восьми собственным частотам, показывает, что движения большой системы локализованы в нано-кристаллической щетке (рис. 26), при этом форма колебаний нанокристаллов соответствует первой собственной частоте, представленной в табл. 1. Частоты колебания пакета нанокристаллов отличаются от частоты одного нанокристалла менее чем на 4%. Аналогичное динамическое поведение большой системы проявляется в окрестности второй собственной частоты единичного нанокристалла (табл. 2), что иллюстрируется рис. 3, на котором каждое плато на изображенной кривой соответствует собственным частотам единичного нанокристалла. Здесь треугольниками обозначены частоты, соответствующие частоте одного нанокристалла, а ромбиками - частотам подложки.
Таким образом, расчеты показали, что спектр большой системы приближенно может быть представлен как объединение собственных частот подложки и частот, порожденных частотами одного нанокристалла. Это позволяет с высокой точностью экспериментально определить первые собственные часто
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.