ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2011, том 37, № 3, с. 233-240
УДК 523.11
КОНФИГУРАЦИИ ДИНАМО-ВОЛН В ДВУХСЛОЙНОЙ СРЕДЕ И 11-ЛЕТНИЙ ЦИКЛ СОЛНЕЧНОЙ АКТИВНОСТИ
©2011г. Е.П.Попова*
Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова Поступила в редакцию 25.04.2010 г.
Исследовано поведение динамо-волн в двухслойной среде в рамках модели динамо Паркера. Показано, что длительность солнечного цикла зависит от соотношения коэффициентов турбулентной диффузии в слоях. В систему Паркера вписана меридиональная циркуляция. Показано, что рост интенсивности меридиональных потоков вещества замедляет распространение динамо-волн. Минимум магнитной активности Солнца может возникнуть не только в случае большой интенсивности меридиональной циркуляции в обоих слоях, но и когда между слоями возникает разница в физических характеристиках, а меридиональные потоки умеренные.
Ключевые слова: Солнце, динамо-волны, динамо Паркера, коэффициент турбулентной диффузии, меридиональная циркуляция.
ВВЕДЕНИЕ
Генерацию магнитного поля и цикличность солнечной активности принято связывать с действием механизма динамо. Схема работы динамо была предложена в работе Паркера (1955). В этой модели тороидальное магнитное поле получается из полоидального под действием дифференциального вращения внутри конвективной зоны Солнца. Обратный процесс превращения тороидального магнитного поля в полоидальное осуществляется в результате нарушения зеркальной симметрии конвекции во вращающемся теле. В работе Паркера (1955) предполагалось, что генерация динамо происходит в одном сферическом слое, где совместно действуют альфа-эффект и дифференциальное вращение. Для такой модели оказалось возможным представить решение системы Паркера в виде бегущих к экватору динамо-волн (Кузанян, Соколов, 1995). Анализ данной модели показал, что теоретическая длительность цикла на порядок меньше наблюдаемой.
Однако дифференциальное вращение и альфа-эффект могут иметь различную степень влияния на разной глубине конвективной зоны Солнца. Паркер (1993) построил модель динамо для конвективной зоны Солнца в случае, когда действие альфа-эффекта преобладает в одном сферическом слое, а действие дифференциального вращения — в другом. В этом случае, для того чтобы генерация
Электронный адрес: popovaelp@mail.ru
магнитного поля была возможна, поле должно про-диффундировать из одного слоя в другой. Следовательно, для процесса генерации магнитного поля потребуется больше времени, и цикл, предсказанный моделью, станет длиннее. С другой стороны, в разных слоях могут быть разные коэффициенты турбулентной диффузии, что может влиять на скорость распространения динамо-волн. Отметим, что данная модель построена для области средних широт.
Кроме того, в конвективной зоне могут присутствовать меридиональные потоки вещества. Исследования модели динамо Паркера для однослойной среды (Попова и др., 2008; Попова, Соколов, 2008; Попова, 2009) показали, что меридиональные потоки вещества, направленные против распространения динамо-волн, способны существенно увеличить длительность цикла активности.
Однако рассмотрение однослойной среды описывает односторонний поток вещества и не позволяет описать его возвращение. Двухслойная модель позволяет преодолеть такую трудность, если рассматривать слои, имеющие противоположно направленное движение вещества и разные коэффициенты турбулентной диффузии.
В работе проводится исследование модели динамо для двухслойной среды в области средних широт с помощью асимптотических методов. Сначала рассматривается более простой случай, когда меридиональная циркуляция отсутствует. Далее полученный метод исследования такой задачи распространяется на случай наличия меридиональной
циркуляции и дается сравнительным анализ влияния меридиональных потоков на цикл солнечной активности.
УРАВНЕНИЯ ПАРКЕРА ДЛЯ ДВУХСЛОЙНОЙ СРЕДЫ В ОТСУТСТВИЕ МЕРИДИОНАЛЬНЫХ ПОТОКОВ
Уравнения Паркера для двухслойной среды в сферических координатах имеют вид
дВ 71АВ, ^ = аВ + ^АА, (1)
dt
n
dt
db ^ .da — = Dcos 9— + Ab,
= aB + —АД n
da « = Aa-
Граничные условия при r = 0 следующие:
^ db n dB da dA
b = B, а = A, — = -L — , тГ = 7-. 2
dr n dr dr dr
Здесь B — тороидальное магнитное поле, поле A пропорционально тороидальной компоненте векторного потенциала, которая определяет полои-дальное магнитное поле, д — широта, которая от-считывается от экватора, n и n — коэффициенты турбулентной диффузии в слое, где доминирует альфа-эффект, и в слое, где доминирует дифференциальное вращение, соответственно. Множитель cos д отвечает уменьшению длины параллели вблизи полюса (Кузанян, Соколов, 1995). Уравнения выписаны в безразмерных переменных, так что амплитуды альфа-эффекта, градиента угловой скорости и коэффициент турбулентной диффузии объединены в безразмерное динамо-число D ^ ^ 1. В диффузионных членах опущены эффекты кривизны, и, следовательно, при такой постановке задачи нельзя сказать, какой слой внешний, а какой внутренний. Отметим, что лапласианы в уравнениях (1) содержат вторые производные и по широте, и по радиусу. Считается, что радиальный градиент угловой скорости не меняется с изменением д. По соображениям симметрии (а(-д) = -а(д)) уравнения (1) можно рассматривать лишь для одного (северного) полушария с условиями антисимметрии (дипольная симметрия) или симметрии (квадрупольная симметрия) на экваторе. В данной работе мы ограничиваемся рассмотрением дипольной симметрии с простейшим видом альфа-эффекта sin д. В дальнейшем будем обозначать величину n/n как ß.
Для того чтобы исследовать модель Паркера, можно развить методы, разработанные Кузаняном, Соколовым (1995) для однослойной среды. Они основываются на получении для системы Паркера так называемого уравнения Гамильтона—Якоби и его дальнейшем анализе. Не очевидно, что можно вывести одномерное уравнение Гамильтона—Якоби
для системы (1). Однако сам вывод уравнения Гамильтона—Якоби не решает полностью проблему исследования поведения динамо-волны. Полученное уравнение имеет более высокий порядок, чем аналогичное уравнение для однослойной среды, и для его анализа необходимо модифицировать подход, предложенный Кузаняном, Соколовым (1995).
В модели Паркера предполагается, что динамо-волна распространяется от полюсов к экватору в обоих слоях. При этом само вещество остается неподвижным, толщина и плотность одного слоя могут отличаться от толщины и плотности другого. Решение системы уравнений Паркера (1) предста-вимо в виде
В = /е1°1/3 !^е+102/3г-гП1/3т1г (3)
А ={и + и1г)ег°1/3Зв+1В2131-гВ113т1Т,
a = (e
,D1/3Se+YD2/4+iD1/3 m2r
Ь = (X + Х1г)егп1/3зв+1п2/н+гп1/3т2г,
где 7, V, VI, $, х, XI, т1, т2 — произвольные константы, а Б = / кйО.
Данный подход подобен известному методу ВКБ в квантовой механике (Маслов, Федорюк, 1976), так что Б — аналог действия, его производная к = = Б' соответствует импульсу, или волновому вектору, который в данном случае является комплексным. Комплексное число 7 определяет собственное значение, его действительная часть дает скорость роста амплитуды магнитного поля, а мнимая часть обратно пропорциональна длительности цикла активности.
Множители \0\2/3 в комплексной скорости роста и \^\1/3 в действии выбраны так, чтобы дифференциальное вращение, альфа-эффект, собственное значение и диссипация оказались одного порядка и вошли в старший член асимптотического разложения.
Учитывая граничные условия и подставляя решения (3) в систему уравнений Паркера, получаем алгебраическую систему относительно неизвестных констант 7, V, VI, $, х, Хь ть т2. Условием существования решения для такой системы является равенство нулю ее определителя, т.е. уравнения Гамильтона—Якоби, в котором, в отличие от однослойной задачи, появляются радикалы:
(ßV-l/ß - к2 + V-1 - X
х (y-4/ß - к2 + л/-7 - = _ 4 ák
ißV-7 - fcV-7//3 - fc2 '
Это уравнение получено для D < 0. В случае D > 0 знак перед а = sin в cos в сменится на противоположный.
В отличие от уравнения Гамильтона—Якоби, полученного для однослойной среды (Кузанян, Соколов, 1995), в уравнении (4) присутствуют радикалы. Такое уравнение при в = 1 сводится к уравнению без радикалов и соответствует случаю однослойной среды, совпадая с уравнением Гамильтона—Якоби в работе Кузаняна, Соколова (1995). Несмотря на усложнение вида уравнения Гамильтона— Якоби, для его исследования можно применить метод, аналогичный используемому в работе Кузаняна, Соколова (1995), где аналогичное уравнение Гамильтона—Якоби имеет вид полинома четвертого порядка относительно k и не содержит радикалов. Кратко напомним метод исследования такого уравнения (Кузанян, Соколов, 1995).
Так как уравнение Гамильтона—Якоби в случае однослойной среды не содержит радикалов, то можно определить количество ветвей k. Так как уравнение имеет вид полинома четвертого порядка, при заданных а и y решения могут быть представлены как четыре точки на комплексной плоскости импульса k. При изменении параметра а эти точки образуют четыре ветви на плоскости k. При этом не существует одной ветви k(a), гладко соединяющей точки, отвечающие полюсу и экватору. Напомним, что гладкое соединение точек, отвечающих полюсу и экватору, является условием существования динамо-волны, распространяющейся от полюса к экватору. Поэтому нужно подобрать y так, чтобы гладкое решение сшилось из каких-нибудь двух ветвей, — это и есть условие для определения y. При этом мы считаем, что сшивка происходит в точке в = в*, где а становится максимальным. Условие, что две ветви k(a) имеют общую точку, состоит в том, что обращается в нуль производная по k левой части уравнения Гамильтона—Якоби, т.е. для нахождения y необходимо решить систему
dH(k, y)
H (k,Y)=0,
dk
0.
(5)
Физическому смыслу задачи удовлетворяют комплексные Y с положительной вещественной частью, которая соответствует положительной скорости роста. В случае однослойной задачи такому условию соответствует одна пара комплексно-сопряженных Y.
В случае двухслойной среды в уравнении Гамильтона—Якоби присутствуют радикалы. От них можно избавиться, возведя в квадрат уравне-ние(4). В результате уравнение Гамильтона—Я
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.