КОНФИГУРАЦИЯ СИНГУЛЯРНЫХ ОПТИЧЕСКИХ КОНУСОВ в ГИРОТРОПНЫХ КРИСТАЛЛАХ ПРИ НАЛИЧИИ ДИХРОИЗМА
В. С. Меркулов*
Научно-практический центр Национальной академии наук Беларуси по лттериаловедению
220072, Минск, Беларусь
Поступила в редакцию 3 апреля 2014 г.
Рассмотрены оптические конические сингулярности в кристаллах при наличии линейного дихроизма и естественной оптической активности в точке пересечения кривых дисперсии главных показателей преломления. Показана возможность существования особенностей типа узловой точки, точки касания, тройной точки и точек возврата первого и второго рода. Установлены 49 различных типов неприводимых сингулярных оптических конусов четвертого порядка, которые получаются путем последовательных бифуркаций восьми основных сингулярных конусов. В основу классификации положены понятия грубости систем, зависящих от параметров.
Б01: 10.7868/80044451015020029 1. ВВЕДЕНИЕ
В работе [1] показано, что в гиротропных кристаллах в условиях изотропии симметричной части диэлектрического тензора возникают замкнутые линии пересечения поверхностей рефракции, отвечающие конусам и, в частности, плоскостям оптических осей. Эти конусы исчезают при малых анизотропных изменениях действительной части диэлектрического тензора, и на их месте остаются только некоторые поляризационные аномалии. Однако в кристаллах, в которых на определенной длине волны наблюдается пересечение кривых дисперсии главных показателей преломления, совсем не обязательно совпадение мнимых частей показателей. Другими словами, мнимая симметричная часть диэлектрического тензора, приводящая к линейному дихроизму, не обязательно изотропна. Этому способствует тот факт, что длина волны так называемой «изотропной» точки, как правило, очень близка к зоне поглощения кристалла [2 4], что обусловливает сильную дисперсию показателей преломления и приводит к пересечению кривых дисперсии. Кристалл, оставаясь прозрачным (аХ -С 1), тем не менее имеет значительный коэффициент поглощения о. ~ 1 10 см-1.
E-mail: merkulö'physics.by
Поэтому разность мнимых частей показателей преломления отлична от нуля и даже может быть сравнимой с гиротропным вкладом. В такой ситуации конусы (плоскости) оптических осей (в обычном их понимании) не могут существовать вообще. В работе [5] показано, что даже незначительный дихроизм приводит к расщеплению конусов оптических осей на конусы сингулярных оптических осей, между которыми образуется «щель» с равными скоростями собственных волн. Сингулярный конус разделяет области равных скоростей и равных поглощений собственных волн. Заметим, что в негиротропных кристаллах могут иметь место только линии равных скоростей и равных поглощений [6]. Для кристаллов средних сингоний возможны различные сочетания сингулярных конусов второго порядка и сингулярных плоскостей [5]. По аналогии с работой [1] представляет интерес рассмотрение сингулярных конусов и для кристаллов низших сингоний. При учете дихроизма в этом случае следует ожидать большего разнообразия конфигураций сингулярных конусов, чем в магнитооптике [7]. В настоящей работе с целыо развития соображений, выказанных в работе [5], установлены различные типы неприводимых сингулярных оптических конусов для кристаллов произвольной сингонии при условии изотропии вещественной симметричной части диэлектрического тензора.
2. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Рассматриваемой задаче соответствует специальный случай, когда анизотропная симметричная часть обратного диэлектрического тензора кристалла является антиэрмитовой, а антисимметричная часть эрмитовой:
Vij = >li)<\
id,
ij + ijHlui'h
(1)
где тензор дихроизма <iy и тензор гирации .gy являются действительными и симметричными, ¿>у символ Кронекера, еуд. антисимметричный тензор третьего порядка, щ единичный вектор, параллельный волновому. В дальнейшем будем полагать
Re'//о > Im //,). Ifjjj I, |íly|.
Согласно [8,9] уравнение для определения направлений, в которых совпадают показатели преломления для собственных волн (не важно, представляют они изолированные оптические оси или конусы осей), можно записать в следующем виде:
(n, dn) - [(n, dn) - d,.r}2 /4 + (n, gn)2 = 0, (2)
где d тензор, дуальный тензору d, di,. след тензора. Левая часть уравнения (2) представляет собой Ai/' квадрат полуразности собственных значений V± = 'lo ± Ai¡ тензора //у. Для показателей преломления имеем п± = iВидно, что в уравиеиие (2) входит только анизотропная часть тензора г) и решение не зависит от выбора r¡о, поэтому примем для удобства щ = (;/„. +'ПУУ)/2, тогда dxx = -dyy,
di r — (^ - - ■
В малой окрестности исследуемой оптической оси, изначально направленной вдоль оси г, удобно выразить координаты вектора п через координаты (.г,?/) соответствующей точки в плоскости г = 1:
п
•г
(3)
После подстановки выражения (3) в (2) получим уравиеиие четвертой степени с действительными коэффициентами
1аЬ.Гау" = 0, (4)
где подразумевается суммирование по и и Ь от 0 до 4 (и + Ь < 4). Значения коэффициентов, которые понадобятся в дальнейшем, даны в Приложении.
Таким образом, возможные конические поверхности (в частных случаях оси или плоскости) отображаются в вещественные алгебраические кривые четвертой степени на плоскости х-у. Отдельные оси естественно отображаются в изолированные точки на этой плоскости.
Положение оптики анизотропных сред о том, что распространение плоских однородных волн вдоль выбранного направления определяется двумерной матрицей г/, составленной из компонент обратного диэлектрического тензора в плоскости фронта [10], остается в силе при произвольном (в общем случае комплексном и неэрмитовом) тензоре. Если волновой вектор направлен вдоль оси г, то
Г] =
J-/0 + i'l.r id.,.
id
■ху
W--
(5)
*ху i ig-.-. Vo — idxx
В качестве собственных векторов электрической индукции можно взять следующие:
D± =
^^J <}.' .....^...... í^blj
iL
д--
или равносильные им d
D± =
■ху д--
'jj .....1...... Ь ^^ ^
■ const.
const
(6)
на тот случай, если какой-нибудь из векторов окажется нулевым.
При распространении через кристалл вектор В результирующей волны изменяется с расстоянием следующим образом:
D = ехр ( //.•:// 1/2^
Dn =
с dxx . , dxt, . ,
COS Ó---—Sill Ó д.,——i- Sill Ö
Ai¡ ' Ai¡
d
iL
q-- + —— sin 6 cos ¿>+ —— sin 6 J- A- Ali
(7)
Ат/
где ¡р ± 6 = п±кг набеги фаз собственных волн. Последнее равенство в (7) записано при условии А// ф 0.
Поляризация волны изменяется с расстоянием таким образом, что нормированный вектор Стокса
_ (г) РдЩ
^ Б, Б*
(<?aß матрицы Паули) описывает определенные траектории на сфере Пуанкаре + + Сз = 1-Азимут большей оси эллипса поляризации р = = arctg(^i/^3)/2, эллиптичность поляризации в = = ai'csin(^2)/2.
3. СИНГУЛЯРНАЯ ЛИНЕИНАЯ ОСЬ И СИНГУЛЯРНЫЙ КОНУС
Рассмотрим сингулярную ось, расположенную в начале координат, т.е. /оо = 0, при д.. =
2 ЖЭТФ, выи. 2
209
6 = -1 \
Рис. 1. Траектории, описываемые концом нормированного вектора Стокса на сфере Пуанкаре при распространении волны через кристалл: а — случай сингулярной линейной оси при угг = —(1Хц. состояния поляризации изображены рядом с соответствующими точками сферы Пуанкаре, центральной точке соответствует £з = 1; б— случай равных поглощений собственных волн; о— случай равных скоростей собственных волн; к— общий случай при сдвиге длины
волны от «изотропной» точки
= (1ХХ + (1ху ф 0. Собственные значения и собственные векторы матрицы ц одинаковые. Единственная собственная волна линейно поляризована и tg 2р = —(1хх/(1Гу. Имеет место сингулярная линейная ось по аналогии с сингулярной круговой осыо [10]. В кристалле может распространяться сингулярная волна с амплитудой, линейно изменяющейся с расстоянием. Из выражения (7) при Ат/ —¥ 0 полу-
Б =
1
(8)
При распространении через кристалл поляризация волны описывает траектории на сфере Пуанкаре, как показано на рис. 1« при д.. = —<1ху. Естественно рассматривать распространение волн на
расстояниях х < а-1; тогда отношение амплитуды сингулярной волны к амплитуде обычной меньше единицы. Поэтому физический смысл имеют только малые отрезки дуг, показанных на рис. 1а, причем они не могут достигать точки, соответствующей собственной поляризации. Если поляризация входного излучения Бо совпадает с поляризацией собственной волны (центральная точка на рис. 1«), то второй член в формуле (8) обращается в нуль и сингулярная волна вообще не возбуждается. Этот момент необходимо учитывать при интерпретации результатов измерений оптического вращения в кристаллах при наличии линейного дихроизма.
Суть возникновения сингулярной линейной оси заключается в том, что действие естественной опти-
Ao
A3
AÍ
A3 A4 D
Рис.2. Точки общего положения и особые точки
ческой активности приводит к повороту линейной поляризации волны всегда в одном направлении, а линейный дихроизм стремится повернуть поляризацию к оси меньшего поглощения. Когда эти факторы равны и противоположны по знаку, возникает сингулярная ось, соответствующая нулевому повороту поляризации. Существенно, что положение точки нулевого вращения сохраняется при малых сдвигах длины волны от «изотропной» точки. Траектории могут принимать вид, представленный на рис. 1г, но траектория, проходящая через центр рисунка, обязательно имеет вертикальную касательную, что является «следом» сингулярной оси.
Теперь рассмотрим малую окрестность сингулярной оси. Если коэффициенты первого порядка /ю и/или /01 не равны нулю, то поворотом системы координат можно обратить в нуль коэффициент /ю и сделать /01 больше нуля. Тогда в первом приближении вдоль оси х имеем Л// « 0, т. с. рассматриваемая сингулярная ось занимает общее положение на сингулярном конусе (рис. 2, кривая Ао). В направлении оси у имеем корневую зависимость Л// « \ZfoiiJ- Если у > 0, то в первом приближении азимуты поляризации собственных воли совпадают, а их эллиптичности одинаковы по модулю, но противоположны по знаку. Коэффициенты поглощения собственных волн практически совпадают в связи с действительностью величины А// и условием Ие т/о ^ 1ш т/о. На рис. За изображены зависимости действительных и мнимых частей т/± от у, а так
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.