ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 78. Вып. 4, 2014
УДК 533.6.011.5
© 2014 г. С. А. Таковицкий
КОНИЧЕСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ТРЕУГОЛЬНОГО КРЫЛА СО ЗВУКОВЫМИ ПЕРЕДНИМИ КРОМКАМИ
В линейной постановке задачи определена оптимальная коническая деформация треугольного крыла со звуковыми передними кромками. В качестве целевой функции принято сопротивление крыла, обусловленное созданием подъемной силы. Установлено, что минимальному сопротивлению соответствует суперэллиптическое распределение местного угла атаки по размаху крыла. Для направляющей крыла в поперечном сечении найдено представление в виде гипергеометрической функции. Проведено сопоставление полученных результатов с результатами численного исследования в рамках модели Эйлера.
В рамках уравнений Эйлера и Навье—Стокса известны примеры решения сложных задач по выбору оптимальных аэродинамических форм, причем элементы летательного аппарата рассматриваются как в изолированном состоянии, так и в условиях аэродинамической интерференции [1—4]. Ограниченность подобных исследований проявляется в нацеленности на заданные условия полета и конкретные геометрические формы. Это затрудняет установление общих закономерностей, использование полученных результатов для решения аналогичных задач.
Надежной основой для выявления характерных особенностей оптимальных форм остаются упрощенные модели течения и, в частности, линейная теория. Например, для треугольных крыльев в линейной постановке получены обобщенные характеристики несущих свойств в зависимости от условий обтекания передних кромок.
С практической точки зрения значительный интерес представляют крылья со звуковыми передними кромками, позволяющие уменьшить связанное с подъемной силой сопротивление при ограничении по удлинению крыла. Проведены обширные исследования по оптимизации треугольных крыльев [5—11]. В качестве приоритетного направления выделено исследование крыльев с конической деформацией поверхности. Такие крылья характеризуются постоянством значений газодинамических функций вдоль лучей, выходящих из вершины крыла. Соответственно, для описания геометрии конического крыла достаточно задать направляющую в одном из поперечных сечений. Подробно исследовалась простейшая коническая крутка крыла, обеспечивающая нулевую нагрузку на передней кромке при заданном коэффициенте подъемной силы [9, 11].
Для того чтобы уменьшить число варьируемых параметров, крыло представляется ограниченным набором базовых поверхностей. Альтернативное направление — представление крыла набором треугольных элементов, стыкующихся вдоль лучей из вершины крыла [12]. Последовательное измельчение элементов позволяет исследовать характер изменения аэродинамического сопротивления, установить простейшие деформации. Согласно допущениям линейной теории на поверхности крыла возникают бесконечные значения давления, что осложняет применимость и снижает точность численных методов исследования. Более надежным представляется использование аналитических подходов с точным учетом особенностей.
1. Постановка задачи и геометрическое представление крыла. Требуется минимизировать связанное с созданием подъемной силы аэродинамическое сопротивление крыла треугольной формы в плане и нулевой толщины со звуковыми передними кромками. Сопротивление, обусловленное действием сил поверхностного трения, и волновое сопротивление, связанное с внутренним объемом, исключены из рассмотрения.
Исследуется коническая деформация поверхности крыла. Начало системы координат совмещено с вершиной крыла. Ось Х направлена вдоль скорости набегающего потока V, ось У лежит в плоскости симметрии, ось 2 направлена в сторону левой при виде сзади половины крыла (фиг. 1). Угол стреловидности % по передней кромке крыла
связан с числом Маха М набегающего потока соотношением tg% = -1. Поверхность крыла представляется набором плоских треугольных элементов, две стороны которых определяются лучами, выходящими из вершины крыла, а третья сторона принадлежит задней кромке крыла. Таким образом, все элементы имеют общую точку — вершину крыла. Соседние элементы стыкуются между собой вдоль лучей. Этот подход, примененный ранее [12, 13], позволяет исследовать изменение сопротивления по мере усложнения формы крыла и осуществить предельный переход при увеличении числа элементов.
Учитывая симметричность течения относительно вертикальной плоскости Z = 0, будем рассматривать левую половину крыла. Нумерация элементов, образующих поверхность консоли, начинается с элемента, примыкающего к центральной хорде крыла, элемент с наибольшим номером находится у передней кромки. В поперечной плоскости (X = const > 0) крыло представляется направляющей Y(Z), состоящей из набора отрезков. При равномерном разбиении поверхности крыла внешний конец отрезка, соответствующего i-му плоскому элементу, удален от плоскости симметрии на расстояние
Zt = X/( ntgx)
где n — число элементов, образующих половину крыла. При этом проекции элементов на базовую плоскость (Y = 0) имеют одинаковую площадь. В общем случае корректность разбиения требует выполнения следующих условий:
Zt< Z + 1 при г < n, Z > 0 и Z„ = X/tgx
Для всех элементов крыла местный угол атаки а, определяющий наклон поверхности относительно вектора скорости набегающего потока, предполагается малым. Для плоского крыла, установленного под углом атаки а0, коэффициенты подъемной силы
и лобового сопротивления согласно теории Аккерета равны еу = 4а0/Vm2 -1 и
сХ0 = 4ао/VM2 - 1, соответственно. За характерную площадь принята площадь проекции крыла на базовую плоскость.
В качестве независимых переменных Да1, Да2, ..., Аап выбираем разности углов атаки соседних треугольных элементов крыла. Угол Даг = аг — аг +1 определяет уменьшение угла атаки при переходе от i-го элемента к элементу с большим номером (при условии i < n). Для n-го элемента угол Дап = ап равен местному углу атаки. Таким образом, задача сводится к поиску минимума функции многих переменных с дополнительным условием типа равенства
cx (Даъ Дао,..., Да„)/ сХо = min cy (Да1, Да2,..., Дап))сУ0 -1 = 0
Плоскому крылу соответствуют следующие значения независимых переменных:
Да1 = Да2 = ... = Дап _1 = 0, Дап = а0
2. Методы оптимизации и расчета аэродинамических характеристик. Оптимизационная задача решается в рамках линейной теории. Для определения параметров течения и аэродинамических характеристик крыла используется принцип суперпозиции решений. Потенциал скорости возмущения удовлетворяет линейному уравнению в частных производных, и течение около крыла формируется наложением элементарных течений. Как установлено для метода источников, интенсивность источника в каждой точке поверхности крыла определяется углом наклона касательной плоскости относительно продольной оси. В случае треугольного крыла известны аналитические представления потенциала скорости возмущения, описывающие течения около плоского крыла нулевой толщины со звуковыми передними кромками, установленного под углом атаки к набегающему потоку, и около крыла с дозвуковыми передними кромками и с симметричным профилем, установленного под нулевым углом атаки [5, 14].
Потенциал скорости возмущения ф для исследуемого крыла, составленного из плоских треугольных элементов, равен сумме потенциалов:
Ф = X Ф i (2.1)
Здесь и всюду далее суммирование по , или у ведется от 1 до п. Потенциал ф, (,' < п) определяет обтекание крыла, центральная часть (2 < Z¡) которого расположена под углом Да^ к набегающему потоку, а консольная часть (2,- < 2 < X/tg%) параллельна невозмущенной скорости. Потенциал скорости возмущения фп описывает течение около плоского крыла при угле атаки, равном Дап. Представленный подход был использован [15] при рассмотрении крыла с одним коническим изломом (п = 2).
Частная производная потенциала скорости возмущения по продольной координате определяет значение коэффициента давления
с =- 21 ^ р V дХ
При этом коэффициенты давления на верхней и нижней поверхности совпадают по абсолютной величине и различаются знаками. Соответственно, коэффициенты подъемной силы и лобового сопротивления представляются интегралами, вычисленными по размаху половины крыла:
Су =- 4 ^ ^; Сх =- 4 г = 2 ^ (2.2)
у V ]дХ V ]дХ X
о о
Здесь z — безразмерная боковая координата, начальное и конечное значения которой определяют точки, принадлежащие центральной хорде и передней кромке, соответственно. В качестве нормирующей длины принят размах половины крыла в данном сечении. Местный угол атаки зависит от положения по размаху и определяется суммированием независимых переменных:
а (г) = XА«А; 5, ={1' г ^ ^ , г, = 2 ^ (2.3)
Для потенциалов выбранных элементарных течений известны точные решения. При , < п справедливо соотношение
5ф(- _ 2VАа1 ГагеЦ (г, 11), 0 < < 1
дХ п/М2 -1^1/г2 -11агеЬП (z, г,), 1 < г/г, < Vг,
(2.4)
£ ( г,)_
1 * - №2>' п (г, г,) _ ¡Ш-1 - )2 -1
Для плоского крыла со звуковыми передними кромками производная потенциала возмущенной скорости вычисляется следующим образом:
дф« = _ 2VАа« (2 5)
дХ п!М2 _ ьД _ г2
Задача (1.1) поиска минимума с дополнительным ограничением типа равенства решается методом множителей Лагранжа. Целевая функция представляется в виде
сх (Даь Да2,..., Да«) (Су (Да:, Да2,..., Да„) ь =--+ к -
■-1
= шт (2.6)
где X — множитель Лагранжа.
Преобразования соотношения (2.6) с привлечением соотношений (2.1), (2.2) и (2.3) позволяют представить целевую функцию в удобной для анализа форме с выделением независимых переменных
1
* = - £ IV % V Д-А*
Х0 0
(
^ V ^ а1 -1
Ус
у0 0
дХ
ъ 1А«,- П И> -1
(
Усх
дХ
Ус
рк ' дХ
= А X ЬаХ Ла А
а0 I
\
-X Ла1гш - 1
У Да .
дХ
(2.7)
Интегралы 1у не зависят от углов Да1, Да2, ..., Да„.
Экстремальные значения геометрических параметров определяются из условия равенства нулю частных производных целевой функции Ь по независимым переменным и множителю Лагранжа:
= 4 X ¿а ц (I. + . + — 1т = 0, , = 1,
дЬ дДа , а0
дЬ = -1 X Да,1п, -1 = 0 дХ а0 .
X
., п
а0
(2.8)
Видно, что решение задачи является общим для разных наборов определяющих параметров — числа Маха и коэффициента подъемной силы. Оптима
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.