научная статья по теме КОНСТРУКТИВНАЯ ФАКТОРИЗАЦИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ Математика

Текст научной статьи на тему «КОНСТРУКТИВНАЯ ФАКТОРИЗАЦИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ»

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА Том 145, № 2 ноябрь, 2005

вго обобщенные функ-юм) точно дает Шредингера, а при решения уравнения

■рю при переходе к не-

рак Д. П. Желобенко

c-r^z м.: Наука, 1958. взжзп-из. 1958. З^зматгиз, 1961. Ei.-sa. 1965.

22.XI.2004 г., 28.11.2005 г.

2005 г.

Р. Биле*, Е. А. Карташова

t

R

КОНСТРУКТИВНАЯ ФАКТОРИЗАЦИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

Исследуются условия, при которых линейный дифференциальный оператор в частных производных двух переменных или обыкновенный линейный дифференциальный оператор произвольного порядка п допускает факторизацию с множителем первого по-рядка слева. Процедура факторизации заключается в рекуррентном решении систем ^ линейных уравнений с учетом некоторых дифференциальных условий совместности. В случае дифференциальных операторов в частных производных общего положения нет необходимости решать дифференциальное уравнение. В частных вырожденных случаях , таких как обыкновенный дифференциальный оператор, задача сводится в конечном 1 счете к решению некоторого уравнения (некоторых уравнений) Риккати. Условия факторизации даны в явном виде для случаев второго и третьего порядков, а для случаев более высокого порядка дана схема их построения.

Ключевые слова: дифференциальный оператор, факторизация дифференциальных операторов, алгебраическая факторизация.

1. ВВЕДЕНИЕ

Факторизация линейных дифференциальных операторов (ЛДО) представляет собой очень хорошо изученную задачу, в которой доказано много строгих теорем существования (см., например, [1]). Случай линейных обыкновенных дифференциальных операторов (ЛОДО) изучен более подробно; известны разные алгоритмы факторизации для Л ОД О над различными дифференциальными полями (см., например, работы [2]). Вероятно, первый алгоритм для случая простейшего возможного дифференциального поля (поля рациональных функций) описан в работе [3]. Известно, что в этом случае разложение на простые множители единственно [4], и задача сводится в конечном счете к решению уравнения Риккати.

Гораздо меньше известно относительно задачи факторизации ЛДО в частных производных, которая представляется значительно более сложной, чем задача для ЛОДО. В случае нескольких переменных наивное определение факторизации как представления данного оператора n-го порядка в виде произведения операторов более низкого по-

* Yale University, New Haven, CT, USA. E-mail: richard.beals@yale.edu

^ J. Kepler University, Linz, Austria. E-mail: lena@risc.uni-linz.ac.at

рядка не обеспечивает требующего более тонкого рассмотрения свойства единственности. Сказанное иллюстрируется примером Е. Ландау [5] (сформулированным для левого произведения):

(дх + 1)(дх + 1)(дх + хду) = [д1 + хдхду + дх + (2 + х)ду] (дх + 1).

Тем не менее в этом направлении также были получены некоторые интересные результаты; недавно Григорьев и Шварц [6] дали алгоритм для факторизации Л ДО в частных производных с сепарабильным символом. Некоторые обобщенные определения факторизации дали начало другим алгоритмам факторизации для разложения на множители ЛДО в частных производных [7] и систем линейных дифференциальных уравнений в частных производных с рациональными функциями в качестве коэффициентов [8].

По-видимому, общее мнение заключается в том, что наивная факторизация - даже для дифференциальных операторов двух переменных второго и третьего порядков - требует "решения уравнения Риккати в частных производных, что, в свою очередь, требует решения обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) первого порядка общего вида и, возможно, обыкновенного уравнения Риккати. Узким местом при разработке алгоритмов факторизации для ЛДО в частных производных является ОДУ первого порядка общего вида, которое делает задачу в целом труднорешаемой, поскольку в настоящее время, вообще говоря, не существует алгоритмов решения такого уравнения" [6].

Мы считаем возможным построение явного алгоритма, который может использоваться для абсолютного разложения на линейные множители ЛДО в частных производных двух переменных произвольного порядка п. Слово "абсолютный" означает, что мы не фиксируем с самого начала поле коэффициентов, и наше единственное требование на коэффициенты состоит в том, что они должны быть гладкими, т.е. принадлежать некоторому подходящему дифференциальному полю. Предлагаемая здесь процедура заключается в нахождении (когда это возможно) левых множителей первого порядка, в отличие от использования правой факторизации, получившей распространение в работах нескольких последних десятилетий. Конечно, существование некоторого правого множителя для ЛДО в частных производных эквивалентно существованию соответствующего левого множителя для соответствующего транспонированного оператора, так что в принципе при рассмотрении левой факторизации мы ничего не теряем. Более того, операция транспонирования алгебраически тривиальна, так что мы ничего не теряем и с точки зрения вычислительного алгоритма.

Использование левой факторизации сильно упрощает все необходимые алгебраические вычисления, а также дает явные условия на коэффициенты оператора, необходимые и достаточные для существования множителя разложения. Простой вид этих условий позволяет увидеть принципиальное различие между факторизацией ЛДО в частных производных и ЛОДО: в первом случае задача факторизации может быть решена с помощью чисто алгебраических методов в общем случае, а ЛОДО дает один из примеров различных вырожденных случаев, когда для факторизации в пространстве двух переменных необходимо решать уравнение Риккати.

В разделе 2 представлена общая концепция факторизации (в общем случае) посредством чисто алгебраических методов и выписаны явные условия факторизации для ЛДО

в частных производных второго порядка. Также показано, каким образом возможность чисто алгебраической факторизации ЛДО в частных производных не вступает в противоречие с необходимостью решать уравнение Риккати для факторизации ЛОДО. Аналогичные результаты для ЛДО в частных производных и ЛОДО третьего порядка представлены в разделе 3, а в разделе 4 представлена общая процедура факторизации для ЛДО в частных производных произвольного порядка п. В разделе 5 построен ряд интересных примеров, а раздел 6 содержит краткое заключительное обсуждение.

2. ЛДО В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ л

ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Рассмотрим оператор J

А2 = ajkdidy = а20д\ + а^дхду + а02д2у + ai0dx + aoidy + а0о (1)

j+k^2 л

с гладкими коэффициентами и будем искать факторизацию в виде 4

А2 = (р\дх + р2ду + pz){pidx + рьду + р6)-

Выпишем явно уравнения для величин рг, имея в виду правило левой композиции, т.е. дх{осду) — дх{а)ду + адху. Тогда во всех случаях

«20 =PiP4,

Oll = P2P4 +Р1Р5,

ао2-Р2Р5, ^

«10 = £(Р4) +РЗР4 +Р1Р6, «01 = £(рь) + РЗР5 + Р2Р6,

аоо = £(Рб) +РЗР6, *

т

где мы используем обозначение С = р\дх + р2ду.

Начнем с некоторых предварительных замечаний. Задача факторизации должна рассматриваться как в некотором роде локальная задача; например, если некоторый коэффициент не обращается в нуль тождественно, может возникнуть желание ограничиться той областью, где этот коэффициент не имеет нулей. Разумеется, поскольку полученные формулы являются аналитическими функциями данных, они могут быть глобально продолжены, если данные также являются аналитическими. Имея в виду это обстоятельство, заметим следующее. Если оператор не является (глобально) оператором первого порядка, то, сделав при необходимости линейную замену переменных, можно предполагать, что а2о Ф 0. В таком случае непременно выполнено условие р\ ф 0, и без потери общности можно считать, что р\ = 1. Тогда первые три уравнения системы (2), характеризующие члены наиболее высокого порядка, суть уравнения на переменные р2, Р4, Р5, и чтобы их определить, нужно найти корень ш квадратного полинома. Вычислив P2,P4, Р5, можно подставить их в следующие два уравнения системы (2) и получить линейную систему уравнений относительно двух переменных рз,рв, которая легко может

быть решена, если ш - простой корень. Наконец, последнее уравнение системы (2) даст нам условие факторизации.

Действительно, на первом шаге из уравнений

О20 = Р4, Он = Р2Р4 +Р5, О02 = Р2Р5

следует, что

ТМ-Рг) •■= О2О(-Р2)2 + ац(~Р2) + 002 = 0.

Выбор разных корней характеристического полинома Т>2 приводит к разным возможным факторизациям исходного оператора (как мы увидим ниже, такая факторизация может и не существовать или может существовать факторизация, отвечающая одному выбору корня, и не существовать факторизации, отвечающей другому выбору). Пусть ш - корень полинома возьмем

Р2 = —ш, С. = дх - иду.

Это приводит к линейной системе относительно переменныхР4,Р5 с и) в качестве параметра:

Р4 = аго, —шр4 + ръ - йц,

или в матричном виде

(1 °\(рЛ = (а2Л (рЛ = (1 (а2Л

\-ш\)\ Ръ) Кап)' \р5) \wlj\auj-Таким образом,

Р1 = 1, Р2 = -и, Р4 - О20, Ръ = + «11- (3)

На втором шаге из четвертого и пятого уравнений системы (2) и формул (3) получаем

Сю = £а,20 +РЗО.20 +Рб,

(4)

ао1 = £(ац + а2о<*>) + рз(ац + аго^) - ир6.

Если корень ш простой, т.е. Т^ш) = 2аго^ + ап ф 0, то эти уравнения имеют единственное решение

шйю + ао1 - ш£а2о - £(а,2ош + оц) Рз =-

Рб =

2й2ош + ац

(агоа; + оц)(аю - £аго) - аго(ао1 - £{°-2о^ + оц))

2<120<А> + ВЦ

Таким образом, все коэффициенты р\, Р2, •.., Рб вычислены.

На третьем шаге из последнего уравнения системы (2) может быть явно выписано соответствующее условие факторизации

а оо

_ ^ Г шаю + «01 - £(2а2ои> + ац) \ ^ю + ар! - С(2а2ош + ац) \ 2агош + ац / 2а2о^ + ац

Д2о(ао1 ~ С(а2рш + ац)) + (а20^ + ац)(аю - £а2о)

0лпл(, I _1_ л - * '

2а2оо> + ац

и остается только проверить его. Таким образом, факторизация для двух переменных, когда она возможна, может (как правило) быть достигнута чисто алгебраическими средствами.

Замечание. В ходе представленного выше рассмотрения мы предполагали, что и> является простым корнем, так что (ац + 2в2о^) ф 0. Предположим теперь, что это условие нарушено тождественно в некоторой области. Тогда, исключал коэффициент Рб из системы (4), мы получаем необходимое

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком