ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 78. Вып. 1, 2014
УДК 539.3
© 2014 г. В. Н. Паймушин
КОНТАКТНАЯ ПОСТАНОВКА НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ ОБОЛОЧЕК, СОЕДИНЕННЫХ ПО ТОРЦЕВЫМ СЕЧЕНИЯМ ПЛОСКИМ КРИВОЛИНЕЙНЫМ СТЕРЖНЕМ
Исходя из предложенных ранее непротиворечивого варианта геометрически нелинейных уравнений теории упругости при малых деформациях и произвольных перемещениях и модели типа Тимошенко, учитывающей деформации поперечных сдвигов и обжатия, а также обобщенного вариационного принципа Лагранжа, для подкрепленных тонкостенных конструкций, оболочечные элементы которых по торцевым сечениям соединяются между собой через стержень, построена уточненная геометрически нелинейная теория статического деформирования. Она основана на введении в рассмотрение контактных усилий и моментов в качестве неизвестных на линиях сопряжения оболочек со стержнями и позволяет исследовать все классические и неклассические формы потери устойчивости конструкций рассматриваемого класса. На базе упрощенного варианта построенных линеаризованных уравнений найдено аналитическое решение задачи устойчивости прямоугольной пластины при сжатии в одном направлении, шар-нирно опертой по двум противоположным кромкам и шарнирно соединенной с упругим стержнем на одной из двух других кромок.
Тонкостенные конструкции того или иного назначения, как правило, допускают их декомпозицию на отдельные составные элементы в виде тонких пластин и оболочек, соединенных по торцевым сечениям или непосредственно, или посредством промежуточного подкрепляющего стержня. Механика деформирования таких конструкций может быть описана уравнениями, составленными с разной степенью точности и содержательности. Простейшие из них, используемые для описания ребристых оболочек с регулярными подкрепляющими элементами в виде стержней (стрингеров), основаны на замене реальной конструкции некоторой сплошной анизотропной оболочкой с усредненными упругими параметрами (конструктивно-ортотропная модель) ([1,2] и др.). К уравнениям такого типа приводит, в частности, применение к задачам механики подкрепленных оболочек [3] метода осреднения процессов в периодических средах [4].
Более точные постановки ([5—9] и др.) задач рассматриваемого класса основаны на учете дискретности расположения подкрепляющих стержней при описании поведения оболочек и стержней в основном уравнениями линейной [5, 6] и нелинейной теории среднего изгиба ([7, 8] и др.) и использования для построения решений задач различных аналитических [5, 6] и численных [7, 8] методов. К настоящему времени все эти методы реализованы в виде соответствующих пакетов прикладных программ как исследовательского, так и коммерческого характера.
Необходимость проведения дальнейших исследований в рассматриваемой области механики связана с результатами, полученными в работах [10—16]. Результаты первой серии ([10, 11] и др.) из них потребовали проведения определенной ревизии всех известных к настоящему времени вариантов нелинейной теории как оболочек, так и
стержней при произвольных перемещениях и малых деформациях, а также разработки таких ее вариантов, использование которых позволило бы выявить и корректно исследовать все возможные известные и неизвестные формы потери устойчивости оболочек и стержней. В связи с этим для тонких оболочек и прямолинейных упругих стержней, подверженных действию консервативных внешних сил и выполненных из орто-тропного материала, на основе использования модели Тимошенко была проведена [12] редукция построенных ранее [10, 11] непротиворечивых трехмерных линеаризованных уравнений теории упругости к двумерным уравнениям для оболочек и одномерным уравнениям для стержней. Последние были выведены в двух вариантах. Первый из них соответствует использованию непротиворечивого варианта трехмерных геометрически нелинейных соотношений в неполном квадратичном приближении и модели Тимошенко без учета поперечных деформаций удлинений, а второй — трехмерных соотношений в полном квадратичном приближении и модели Тимошенко с учетом поперечных деформаций удлинений. На основе выведенных уравнений с целью анализа их содержательности был сформулирован ряд новых неклассических задач устойчивости оболочек и стержней, найдены их точные аналитические решения для различных случаев нагружения и закрепления торцевых сечений [13, 14]. К ним, в частности, относятся задачи о крутильных, изгибных и чисто сдвиговых форм потери устойчивости (ФПУ) стержня при продольном осевом, двухстороннем поперечном и трехстороннем сжатии, об изгибно-крутильной ФПУ при чистом изгибе и осевом сжатии совместно с чистым изгибом, а также о пространственно изгибной и крутильной (чисто сдвиговой) ФПУ стержня при кручении, плоской изгибной и изгибно-кру-тильной ФПУ в условиях чистого сдвига. Установлено, что только на основе второго варианта построенных уточненных уравнений теории устойчивости стержней могут быть выявлены плоские неклассические сдвиговые и изгибно-сдвиговые ФПУ в условиях начального нагружения стержня сдвигающими усилиями неизменных направлений.
С целью дальнейшего развития и обобщения описанных выше результатов на основе построенного ранее [10, 11] непротиворечивого варианта геометрически нелинейных уравнений теории упругости при малых деформациях и произвольных перемещениях (уравнений в полном квадратичном приближении) и модели типа Тимошенко, учитывающей деформации поперечных сдвигов и обжатия, для плоских криволинейных стержней произвольного вида были выведены [15] одномерные уравнения уточненной теории при произвольных перемещениях и поворотах и нагружении стержня "следящими" и "мертвыми" внешними силами. На основе построенных линеаризованных уравнений найдены точные аналитические решения задачи об известных плоских классических изгибно-сдвиговых и неизвестных ранее неклассических из-гибно-крутильных ФПУ кругового кольца при совместном и раздельном действии равномерного внешнего давления и сжатии в радиальном направлении силами, приложенными к обеим лицевым поверхностям. Оказалось, что вторая из найденных ФПУ, являющаяся изгибно-крутильной, реализуется при гораздо меньшем значении критического внешнего давления, чем первая плоская изгибно-сдвиговая, если даже поперечное сечение кольца имеет одинаковое значение моментов инерции относительно главных центральных осей. В развитие этих результатов было показано [16], что в кольце, находящемся в условиях равномерно распределенного по окружной координате внешнего скручивающего момента, также возможна реализация почти плоской изгибно-сдвиговой ФПУ, являющейся неклассической.
Необходимо отметить, что сформулированные выше выводы относятся только к изолированным стержням и круговым кольцам. Так как в реальных конструкциях подкрепляющие стержни не бывают изолированными, то возможность их потери устойчивости по описанным выше формам определяется также и жесткостями соединяемых с ними других элементов в виде пластин и оболочек и видом таких соедине-
Фиг. 1
ний. Задачи их исследования в свете полученных ранее [11—16] результатов, очевидно, требуют постановки и исследования на базе уточненных и непротиворечивых уравнений теории оболочек [12] и стержней [15], имеющих соответствующую степень точности и содержательности для выявления всех возможных ФПУ реальных подкрепленных конструкций.
1. Кинематические соотношения для оболочек и подкрепляющего стержня при произвольных перемещениях и малых деформациях. Рассмотрим конструкцию, состоящую из двух тонких оболочек, которые соединены между собой через криволинейный стержень (шпангоут) (фиг. 1), а занимаемые ими пространства У(к) параметризованы
(к) (к) (к)
ортогональными криволинейными координатами х^ , х2 , г путем задания векторных равенств
Я(к) = г(к){х[к),х(к)) + г(к)т(к){х[к),х'У); - к{к> < г(к) < V к = 1,2 (к) (к), (к) (к).
где г = г (х1 , х2 ) — параметрические уравнения срединных поверхностей 0(к), от-
(к) , (к) (к) несенных к линиям х■ ' главных кривизн к■ , т — единичные векторы нормалей к
поверхностям 0(к). Предполагаем, что срединные поверхности оболочек ограничены
(к) (к)- (к) (к)+
координатными линиями х} - щ , х\ - щ , причем линия сопряжения на о{к)
первой оболочки со стержнем совпадает с координатной линией х(1) = х(1)+, а второй
оболочки — с линией х(2) = х(2)-.
Пространство стержня V в составе рассматриваемой конструкции целесообразно отнести к параметризации вида
И (хъ х2, г) = г (х2) + х1е1 + гт где г (х2) — параметрическое уравнение осевой линии стержня, коллинеарной линиям
(1) (1)+ (2) га-
сопряжения х}' = х\' и х{ ' = х{ ' ; х1, г — оси местной декартовой системы координат
в поперечном сечении стержня %2 = const, в которой оси x1 = 0, г = 0 — главные центральные оси инерции.
Для векторов перемещений оболочек U(A) и стержня U примем представления (здесь
и далее e2 = A21 dr/dx2, A2 = \dr/dx2\) [12, 15]
TT(k) (k) (k) (k) (k) (k), (k) (k) (k) (к), /л 1Ч U = u] e) + w m + z (Y] e] + у m ) (1.1)
U = (U + Z9 + x^) e1 + (V + zx + Xjy) e2 + (W - + гф3) m (1.2)
соответствующие использованию известной сдвиговой модели Тимошенко при учете поперечного обжатия для оболочек [12] и стержней [12, 15]. В рамках представления (1.1) и непротиворечивых кинематических соотношений теории упругости при малых деформациях и произвольных перемещениях [10, 11] для оболочек можно получить кинематические соотношения вида
j = j + z (k)j 2аГ + z (k)xf)
a? = $ =Y(k) + (Yf)2 + Y 2k)2)/2
(1.3)
где
еЦ = ek + (ei2)2 + ®ik)2^2;U
2a1f = 2a21) = (1 + eM + (1 + e1(k))eik) + a^ ^
xk + eM + Ш
2x(k2) = 2x2k1 = (1 + e2m + (1 + e(M> + +
+ + eM + e2M)
xk = (1 + y (k)) n13) + YM + Y M; M
Y1f = (1 + Y(%!k) + (1 + e(k))Y(k) + e12)Y2k); U (1.4)
AN? = u(k + A^uk /Af + A1(k)k1k)w(k)
A^ = u21 - Alk2)uik) /Af
®ik) = wf /A1k) - kV, Q(k) = yf /Ak - k1(k)y(k)
Al(k)Qlk2) = $ - A ik) у<kV Af
A?)^ = + Ak y2kVAf + A^y(k); U
Следует отметить, что приведенные соотношения позволяют описывать все возможные и выявленные ранее [12—14] классические и неклассические ФПУ оболочек, находящихся в составе подкрепленной конструкции, причем реализация некоторых из них возмо
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.