научная статья по теме КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА ПРИ НАЛИЧИИ СИЛ ТРЕНИЯ В ЗОНЕ КОНТАКТА ДЛЯ ТРЕХКОМПОНЕНТНОГО ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО ОСНОВАНИЯ Математика

Текст научной статьи на тему «КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА ПРИ НАЛИЧИИ СИЛ ТРЕНИЯ В ЗОНЕ КОНТАКТА ДЛЯ ТРЕХКОМПОНЕНТНОГО ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО ОСНОВАНИЯ»

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА

Том 78. Вып. 2, 2014

УДК 539.3

© 2014 г. М. В. Абрамович, Е. М. Колосова, М. И. Чебаков

КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА ПРИ НАЛИЧИИ СИЛ ТРЕНИЯ В ЗОНЕ КОНТАКТА ДЛЯ ТРЕХКОМПОНЕНТНОГО ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО ОСНОВАНИЯ

Рассматривается плоская контактная задача теории упругости о взаимодействии при наличии сил трения в области контакта абсолютно жесткого цилиндра (штампа) с внутренней поверхностью цилиндрического основания, состоящего из двух круговых цилиндрических слоев жестко соединенных между собой и с упругим пространством. Слои и пространство имеют различные упругие постоянные. На штамп действуют вертикальная сила и крутящий момент, направленный против часовой стрелки, система штамп — основание находится в состоянии предельного равновесия. Для поставленной задачи с помощью программ аналитических вычислений впервые получено точное интегральное уравнение (ИУ) первого рода с ядром, представленным в явном аналитическом виде. Изучены основные свойства ядер ИУ, показано, что числитель и знаменатель символов ядра могут быть представлены в виде многочленов по произведениям степеней модулей сдвига слоев и полупространства. Решение ИУ построено прямым методом коллокаций, который позволяет получать решение задачи практически при любых значениях исходных параметров. Рассчитаны распределения контактных напряжений, размеры области контакта, взаимосвязи перемещения штампа и действующих на него силы и момента в зависимости от геометрических и механических параметров слоев и пространства. Проведено сравнение результатов расчетов в частных случаях с ранее известными.

Имеются обзоры (см., например, [1, 2]) по контактным задачам для многослойных оснований, границы которых описываются координатными линиями в декартовых координатах, рассматривавшимися в ряде публикаций, где трансформанты ядер интегральных уравнений (ИУ), к которым сводились задачи, строились численно на основе итерационных методов. При таком подходе при изменении многочисленных параметров задач приходилось каждый раз заново рассчитывать трансформанты ядер на всем промежутке изменения аргумента, что является довольно затратной процедурой.

В последнее время на основе программ аналитических вычислений, например Maple, появилась возможность получать для слоистых оснований трансформанты ядер ИУ в явном аналитическом виде при произвольных неявно заданных значениях параметров, что значительно упрощает и ускоряет их дальнейшие исследования и позволяет получать решения задач с более высокой точностью и с наименьшими вычислительными затратами. Таким способом получены ИУ контактной задачи в декартовых координатах для трехслойного основания на упругом полупространстве [3], в цилиндрических и сферических координатах для двух слоев на жестком основании [4—6]. Дальнейшее увеличение числа слоев в аналогичных контактных задачах приводит к громоздким предварительно проводимым аналитическим преобразованиям и получаемым соотношениям, особенно в цилиндрических и сферических координатах. В настоящей работе удалось преодолеть ряд трудностей и получить точное ИУ контактной задачи для двухслойного цилиндрического основания, взаимодействующего с упругим пространством, и провести необходимые исследования.

Рассматривались также [7—9] контактные задачи для однослойных и двухслойных цилиндрических оснований.

Фиг. 1

1. Постановка задачи. В цилиндрической системе координат (r, ф, z) рассмотрим два цилиндрических слоя R < r < R2 и R2 < r < R3, жестко соединенные между собой по границе r = R2, а поверхность r = R3 жестко соединена с упругим пространством r > R3. Пусть в поверхность r = Rx силой P вдавливается штамп в форме цилиндра радиуса R0 = Ri -А с точкой первоначального касания ф = 0, r = Д, одновременно к штампу приложен момент M, уравновешенный силами трения в области контакта. Сила P направлена вдоль луча ф = 0, момент M направлен против часовой стрелки, а величина А мала (фиг. 1).

В результате приходим к решению краевой задачи для уравнений Ламе (плоская деформация) со следующими граничными условиями:

r = Ri, ф е [-0Ь 92]: u® = 8 cos ф-A(l - cos ф) (1.1)

r = Ri, Фе [-0i, 02]: т® = цс® (1.2)

r = Ri, [-0i, 02]: о® = 0, т% = 0 (1.3)

п (2j-3) (2) (j) (2j-3) (j) (2j-3) (j) (2j-3) • о /1 Л\

r = Rj: uy ) = u(), Uj = u(/ ), Trj) = т^ ), аУ) = ау/ ), j = 2, 3 (1.4)

где 8 — смещение штампа в вертикальном направлении, ц — коэффициент трения, uj\ — перемещения, а^, т j) — компоненты тензора напряжений в слое j (j = 1, 2) и пространстве (j = 3), соответственно, вдоль осей r и ф, -0i < ф < 02 — область контакта. Напряжения при r ^ да стремятся к нулю.

Правая часть граничного условия (1.1) выписана для случая, когда радиусы R0 и Ri близки (величина А мала) [8], что справедливо, если в качестве приложений рассматривать подшипники скольжения. Поставленная задача может служить математической моделью многослойного самосмазывающегося подшипника скольжения.

2. Интегральное уравнение. Традиционно предполагая, что величина контактных

напряжений между жестким цилиндром и упругим основанием c®(Rb ф) = -<?(ф) известна, заменим граничное условие (1.1) на

г = Ль ре [-9!,92]:a<P(r,Ф) =-q(p) (2.1)

и рассмотрим краевую задачу для уравнений Ламе с граничными условиями (1.2)— (1.4), (2.1). Разыскивая решение уравнений Ламе для каждого слоя в виде

ад ад

j, ф) = I Wjr)eik\ j, Ф) = X V(i)(r)eikk

k=-ад k=-ад

найдем для слоев 1 и 2 (j = 1, 2, р = r/Rb к > 2)

Wl\) = akj)ßik)pk+1 + bkj^-1 + cljV-1 + dMp"*+1 VP(r) = -akj)ß2kpk+1 + bljVk-1 - ckj)pk-1 + dkj)Y 2^p-k+1

W±?(r) = + b jp-2 + ej ln p + dj

j) = -a±1)ß2i)p2 + b^p-2 - Cj ln p - c±1) - dj

3-vj "

W( )(r) = a0j' )P + b0V\ V((\r) = c0j)p + d oj)p-1 а для пространства r > R3 (j = 3), разыскивая решение уравнений Ламе в виде

ад ад

«<3)(r,Ф) = X Wk(3V)eiko, «<3)(r, Ф) = X Vk3)(r)eik»

k=0 k=0

получим

W (3)(r) -k-^ d (3L(3) -k+1 V (3b r) b (3) -k-1 d (3) (3) -k+1 k . 2

Wk (r) = bk P + dk Y1k P , Vk (r) = bk P + dk Y 2kP , k ^ 2

tjz(3)/ \ ,(3) -2 (3Ь тл(3)/ \ i (3) -2 (3), 1+ V3 (3)

Wj (r) = b1 'p + cj'ln p, V (r) = b1 'p - e{ Inp--3 ei'

3 - v3

Wo(3)(r) = b0V, Vo(3)(r) = d03)p-1

Здесь

ßk = k(1 + V j) - 2(1 - Vj), ßj = k(1 + V j) + 4 Yj = k(1 + v;) + 2(1 - v j), y 22 = k(1 + v j) - 4

Удовлетворяя далее граничным условиям (1.2)—(1.4), (2.1), найдем неизвестные постоянные akj), bkf, ekj), d^, а после удовлетворения граничному условию (1.1) для нахождения неизвестных контактных напряжений д(ф) после ряда преобразований получим следующее интегральное уравнение (ИУ):

02

{ q(V)k(V-9)dV = n/ (ф) -91 <ф<92, k(y) = kx(y) -Sk2(y) (2.2)

где

k1(t) = — + X Li(«)cosnt, k2(t) = X L2(n) sin nt. (2.3)

n =1 n =1

Здесь введены обозначения

A = — = L1(0), f (m) =-G-[5 cos m-A(1 - cos mil, 9 = l-2^ „

—2 ^^ rn -voL ^ 2(i -vi)p

Gj — модули сдвига, Vj — коэффициенты Пуассона для слоев и пространства, соответственно, при j = 1,2,3. Формулы для трансформант Ц(и) и L^iu) ядра ИУ получены в явном виде с использованием программы аналитических вычислений Maple, имеют довольно громоздкую структуру, но позволяют изучить их свойства.

Функции Lj(u) представимы в виде Lj(u) = Lj1(u)/Lj2(u), причем L12(u) = L22(u) и при u > 2 функции Lj¡(u) — многочлены относительно приведенных модулей сдвига слоев и пространства Gj1 = Gj/G1, коэффициенты которых — элементарные функции параметров и аргумента и.

Отметим, что здесь для L(u) не выполняются предельные переходы при u ^ 0 и u ^ 1, соответственно, к значениям Ly(0) и Lj(1) в отличие от случая G3 = да (два слоя на жестком основании), где такие предельные переходы выполняются. В этом заключается принципиальное различие трансформант ядер ИУ контактных задач для оснований, состоящих из слоев, контактирующих с упругим пространством, и для оснований, состоящих из слоев, контактирующих с недеформируемым основанием.

Можно показать, что

L¡(u) = (-1)''+1 /u + O(1/u2) при u ^ да (2.4)

Отметим, что при G31 ^ ж получаем задачу для двухслойного цилиндрического основания (см., например, [5]), а при последующем предельном переходе при G21 ^ да или при G21 = 1, V2 = V1 получаем задачу для однослойного цилиндра (см., например, [3]), при этом для функций L¡(u) получаются известные выражения [4, 5].

3. Решение интегрального уравнения. Учитывая соотношение (2.4), представим функции L¡(u) в виде

L¡(u) = (-1)i+11/u + K¡(u) (3.1)

и, воспользовавшись значением ряда [10]

^ cos nt _ _ in , n ~

n=1

t

2 sin

2

ядро ИУ (2.2) представим в виде t

k(t) = A - in 2

2 sin

2

+ ^K1cosnt L2(n)sin nt. (3.2)

Решение ИУ (2.2) с ядром (3.2) получим прямым методом коллокации, воспользовавшись известными результатами [11]. В соответствии с этим проведем дискретизацию ИУ (2.2), (3.2) по схеме, использованной ранее [5].

Не останавливаясь на изложении схемы решения, приведем окончательную систему линейных алгебраических уравнений, к которой сводится решение задачи:

N

(а1} + Су ^^ = ^ I = 1,..., N (3.3)

у=1

Здесь

= A - ш

2sin ^ j)

+ Z K i(«)cos«£(; - j) (i ф j), au = -(ln|-i)

n=i

(3.4)

Cij = £|i jl - K2(n)sinns(i - j) (i Ф j) , Cii = 0, bi = П f(<Pi)

2 n=i

где qj = q(y j) — значения контактных напряжений в узлах коллокации

Vj = -01 + е/2 + s(j - 1)

е = (0i + 02)/N — интервал коллокации, N — число узлов коллокации.

Система (3.3), (3.4) получена при учете малости параметра е. Ее отличительная особенность состоит в том, что она имеет диагональную структуру и между коэффициентами системы существует следующая связь:

ai+i,j+i = aij, ci+i,j+i = cij U ^ i), aij = ajh cij = -cji (3.5)

Таким образом, достаточно вычислить только коэффициенты первой строки, а именно a1J и c1y-, а все остальные элементы системы будут выражаться через них, что значительно сокращает время вычисления всех коэффициентов aiJ и ciJ матрицы системы, определяемых соотношениями (3.4) и (3.5).

Для силы P и момента M, действующих на штамп, получим соотношения

N N

P = sR^ qt cos у i, M = s^Rj2^ qi (3.6)

i=i i=i

Границы области контакта находятся из условия равенства нулю контактных напряжений на краях области контакта. Для этого была построена соответствующая

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком