МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА № 3 • 2014
УДК 539.3
© 2014 г. Н. А. БАЗАРЕНКО
КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ КРУГЛОЙ ПЛИТЫ СО СКОЛЬЗЯЩЕЙ ЗАДЕЛКОЙ
ПО ТОРЦУ
Рассматриваются две смешанные задачи теории упругости о вдавливании штампа в круглую плиту, помещенную без зазора в жесткую цилиндрическую обойму с гладкими стенками. В первой задаче плита без трения лежит на жестком основании, во второй плита жестко закреплена по основанию. Задачи решаются разработанным для тел конечных размеров методом, в основе которого свойства замкнутых систем ортогональных функций. Каждая из задач сводится к двум интегральным уравнениям (ИУ): ИУ Вольтерра первого рода относительно функции контактного давления, а также ИУ Фредгольма первого рода относительно производной от смещения верхней поверхности плиты вне штампа. Функция смещения ищется в виде суммы тригонометрического ряда и степенной функции с корневой особенностью. Полученная в результате плохо обусловленная система линейных алгебраических уравнений, после урезания имеет устойчивое решение. Дается способ решения ИУ Вольтерра. Найдены функция распределения контактного давления и безразмерная вдавливающая сила. Даются примеры расчета взаимодействия плиты с плоским штампом. Ранее изучались контактные задачи для прямоугольника и круглой плиты со свободным от напряжений торцом как без учета их закрепления [1, 2], так и с учетом [3, 4]. Описываемый здесь метод решения применялся в работах о взаимодействии упругих полых цилиндров конечной длины с жесткими бандажем и вкладышем [5, 6]. Следует упомянуть и другие работы, связанные с изучением контактных задач для тел конечных размеров, в частности, для круглой плиты. В этих работах для решения рассматриваемых здесь задач применялся метод однородных решений [7, 8] а также метод парных рядов-уравнений [9].
Ключевые слова: выделение корневой особенности, регуляризация СЛАУ, эквивалентные граничные условия, суммирование рядов.
1. Постановка задач и однородные решения. В цилиндрической системе координат г, Ф, I решаются две осесимметричные контактные задачи (А и В) для упругой круглой плиты, помещенной в жесткую цилиндрическую обойму с гладкими стенками. В задаче А в плиту толщины к (0 < z < к, г < 1), лежащую без трения на жестком основании сверху вдавливается жесткий штамп, имеющий радиус а и основание z = к — 8(г) (фиг. 1). В задаче В исследуется случай, когда плита жестко закреплена стороной z = 0. Будем считать, что торец плиты находится в условиях скользящей заделки, а в области контакта штампа и плиты отсутствуют силы трения. Тогда граничные условия задач А и В можно записать в виде
г'/.
Фиг. 1
Jur(1, z) = Trz( 1, z) = 0, 0 < z < h; Trz(r, 0) = xrz(r, h) = 0, r e I (1.1)
u
z(r, h) = -S(r), 0 < r < a; az(r, h) = 0, r e Г(I = [0, 1 ], Г = [a, 1 ]) (1.2)
B f Ur( 1, z) = Trz( 1, z) = 0, 0 < z < h; Trz(r, h) = Ur(r, 0) = uz(r, 0) = 0, r e I (1.3) [uz(r, h) = -5(r), 0 < r < a; az(r, h) = 0, r e Г (1.4)
Здесь a , ..., ur, uz — компоненты напряженно-деформированного состояния (НДС).
Общее решение осесимметричной задачи выразим через бигармоническую функцию Лява Ф(г, z) [10]:
А2 Ф = 0, Д = д? + r~ldr + 5r = 5 / dr, 5z = 5/5 z, 2 Gur = -5ДФ 2 Guz = (v0A - 5 2 )Ф, ar = (vA - 5?)5^, az = [(2 - v)A - 52 ]5^ (1.5)
Trz = 5r[(v1 + v)A - 52 ]Ф, = (vA - r~i5r )дzФ
где G — модуль сдвига, v — коэффициент Пуассона, v0 = 2 — 2v, v: = 1 — 2v.
Разыскивая функцию Лява в виде Ф = /0(уr)q>(z), где /v(yr) (v = 0, 1, ...) — функция Бесселя [11], у = const, из соотношений (1.5) найдем
A2Ф = /0(уг)(52 - у2)%(z) = 0, 9(z) = (a + byz)shyz + (c + dyz)chyz
2Guz = J0(Yr)[v19"(z) - v0Y29(z)],
2 ( )
= J0(Yr)[( 1 - vW'(z) - (2 - v)Y Ф'(z)]
2Gur = /1(Yr)Yф'(z), Trz = J1(Yr)(Y3( 1 - v)ф(z) + VYФ"(z)) (a, b, c, d - const)
Отсюда, удовлетворяя первым двум равенствам граничных условий (1.1), (1.3), получим уравнение J1(y) = 0. Корни у = уи (n = 0, 1, ...) этого уравнения простые и действительные, а их асимптотика при больших n имеет вид
уп = - 3/(8) + 3/( ) + O(и-5), Ип = п(п + 1/4)
Когда 1 < n < 6000, корни уи предпочтительно вычислять по итерационной схеме
УП+1 = УП - Ji(УП)/(Л(УП) - /1(УП)/in), У° = Ип - 3/(8^n), r = o, ..., 3
С учетом соотношений (1.6) находим однородные решения, соответствующие ненулевым значениям у„ (n = 1, 2, ...):
Фп = Jo(Ynr)9n (z), Фп (z) = (an + bn YnZ) sh YnZ + (Cn + dnYnZ) ch YnZ
2 Gu[n) = Ji(Ynr) unr (z), 2 Gu(zn) = Jo(Ynr) un (Z), ^Zn) = Jo(Ynr)^n (Z) (17)
= Ji (Ynr)xnz(z), ^(z) = уП (1 - v^ (z) + VYnФn' (z), U (z) = Yn Фп (z)
un(z) = viф'Г(Z) - voуПфП(Z^ ^ = (1 - v)Фn"(Z) - (2 - v)YnФn(Z)
Корню y0 = 0 соответствуют
Фо = /oZ3/3, uf) = тГ0) = o, af = fovo, 2GuZ0) = 2/0V1 z (fo = const) (1.8)
Учитывая равенства (1.7), (1.8), приведенные ниже суммы
да r да
Trz = X J1 (Ynr)inz(Z), J4(z)tdt = foo/(r) + X rJ1(Ynr)an(Z)/Yn
n =1 1 n =1 (1.9)
2 Gur = X J1(Ynr) S (z), 2 Guz = 2fo V1 z + X Jo (Ynr) ^(z), f( r) = v,
2 1
Г - 1
n = 1 n = 1
могут представлять компоненты НДС, т.е. эти компоненты и интегралы от них можно искать в виде рядов (1.9).
2. Решение задачи А. Для этой задачи положим
Ф«(*) = апshYnZ + йпуп1сЬуп1 (А = Сп = 0, п = 1, (2.1)
и введем обозначения
, \-8( г), 0 < г < а
иДг, Л) = и(г) = < (g(г) - искомая функция) (2.2)
I -&( г), а < г < 1
Как показывает апостериорный анализ, ряд, определяющий левую часть последнего условия (1.2), сходится медленно. Поэтому, с учетом равенства (2.2), граничные условия задачи А заменены на эквивалентные условия (1.9) при z = ^
да
г, Л) = £ JlЛ) = 0, г 6 I (2.3)
п = 1
да
2Ои(г, Л) = 2/0v1Л + £ J0(Ynг)ИП(Л) = 2Ои(г), г е I (2.4)
да
да
П
да
|ог(I, Н) = /оДг) + X / (^ШН)/у„ =0, г е ( (2.5)
1 п = 1
Здесь условие (2.5) эквивалентно равенству аг(г, И) = 0, г е I . Действительно, дифференцируя обе части условия (2.5), получим а ¿(г, И) = 0, г е I . И наоборот, если на промежутке интегрирования а ¿(г, И) = 0, то равенство (2.5) выполняется.
Условие (2.3) будет удовлетворено, если положить (И) = 0. Отсюда находим ап = -^„(2у + гпакгп), 1п = упН, п = 1, 2, ... (2.6)
Равенства (2.6) позволяют исключить из выражений для величин п (И), о^ (И) постоянные ап и записать условия (2.4), (2.5) в следующем виде
да
2выг(г, Н) = 2/оУ1Н + X /(УпО/^оУп = 2Сы(г), г е I (2.7)
|ог(Н)= о(г) = //(г) + X г!1 (УпГ/АУп = 0, г е Г (2.8)
1 п = 1
^п = аЪ1п + 1п/гп, ыкН) = /пУоУп, оп (Н) = /пБпу], /п = dnУп 1п
Если обе части равенства (2.7) умножить на г и проинтегрировать по отрезку [0, 1], то из полученного уравнения определится постоянная/0. Для нахождения коэффициентов /п используется ортогональность функций /0(уп, г), п = 1, 2, ... [11]:
1 ( 1 ^
0 = — (2.9)
/ = ^ ы (^ tdt = ы (1) - Гы' (^ г2 dt
2у1Н I л
о
11 20 20
/ = -г2-0— Гы(г)Л(УпОtdt = —^-^^Ц Гы'(г)Мtdt, п = 1,2,... (2.10) Л (Уп )Уп 0 Л (Уп )У 20
Заменяя в соотношении (2.8) коэффициенты /0, /¡, /2, ... на интегралы (2.9), (2.10) и учитывая равенства (2.2), условию (2.8) придадим вид
о(г) = 0<| |5'(t)К(г, ^tdt + (^К(г, t)tdt - V/г)#( 1) 1 = 0, г е ( (2.11)
К(г, ^ = V2t/(г) + X ип(г, t) + Яр, Лр = X ип(г, 0, ип = Я(г)(2.12)
~ РР^ /о (Уп)
п = 1 п = р + 1
г
п
г
да
о
V2 = г^т, Hn (r) = 2Dn ^YA, p ^ 4ooo
2v1h YnJo (Yn)
Пусть заданная 8(r) и искомая g(r) функции определяются рядами
да да
5(r) = X S^, o < r < a; g(r) = X §kgk(r), a < r < 1; 5(a) = g(a) (2.13)
k = o k = o
gk(r) = a2k + Xk • x(r), (r) = (r- a)(h +1)/2,
X1 + ,(r) = (r- a)(1 - r)i/2, h = o, 1, 2
Xj+4(r) = (1 - Cj(r))/l2, Cj(r) = coslj(r- a), lj = jn/l,
l = 1 - a, j = 1, 2, ..., i = 2, 3
Далее, подставляя ряды (2.13) в уравнение (2.11) и приравнивая нулю коэффициенты при Ьк (к = 0, 1, ...), получим систему функциональных уравнений
да
XXh /н(r) + jf(r)] = s/(r) -f(r), r 61 (2.14)
h = o
p да да
/н(r) = XQhHn(r) + R(r), R = X QhHn(r), /(r) = XInHn(r) (2.15)
n = 1 n = p + 1 n = 1
1 a 1
Qh = fxh (t) ^^ tdt, 4 = 2 k U2kJj^A dt, jh = -2v2 X (t) tdt, h, k = o, 1, ...
J Jo (Yo) J Jo(Yn) J
a o a
Sk = V2( 1 - a2k/(k + 1))a2k, Qn = X^^'T^a?n(-a) - Q°n(a)] - e2'kn - - ...
Q\ = X^^п(a) + iq„(-a)] -4+ 64iX\ + ..., e2 = 2i/J', Xn = (4iYn)-1
04 = X;|/2[q2„(a) + -a)] - 6^l(Xn - e4Xn + ...), ~eA = 12 + 4a2/12
Qn = VaUqn(a) + iql(-a)] + 4ilXn + 64i(2 - l)Xn + ... (2.16)
Qn = Т2Л(iXn)3/2[31 + (91 + 3o)iXn + 15(1o - 91/2)Xn + ...] + + JalXn[ ql( a) + iqn(-a)]
Qn+ 4 = 4aX2n[ iqj n (-a) - ql n ( a)] - 64 i(-1 j[Xl + хП (48 - 32j) + ...]
2
2ql(a) = zn +1/4( 1 + a) X X»), bo = 1, b1 = (3a - 5/a)/2,
s = o
4 Механика твердого тела, № 3 97
Ь2 = ( 9а - 54 - 15/а2)/8
д"(а) = г" +1/4( 1 + а) [2 + Х„(3а - 7/а) + >."(9а2 - 66 - 71 /а2) + ... ]
д2п (а) = г" +1/4( 1 + а)[ 1 + Хп(3а - 9/а)/2 + Х2п(9а2 - 78 - 111/а2)/8 + ...]
дп(а) = г" +1/4( 1 + а)[2/ + "Кпах/а + ^а2/а2 + ...], а1 = 3/3 - 6/2 - 20/ + 16
^4(а) = г" +1/4[2/ + Хпа1/а + ^а2/а2 + ...], а1 = 3/3 - 6/2 - 28/ + 24
45п(а) = г" +1/4( 1 + а)[8 + А.п( 12а - 44/а) + Х2п(9а2 - 90 - 128/2 - 159/а2) + ...]
а2 = 9/5/4 - 91 - 27/3 + 96/2 - 16/- 64, е4 = 8г(7¿а - 1 д/а - 3 + 2а/)//5/2
а2 = 72//-240 + 64/ + 132/2 - 39/3 - 914 + 9/5/4, г" +1/4(0) = ехр[т(н + 1 /4)0]
^ = Я У) "^(Ц (У" ^) О + 4 = _ / , /
(Л 1 - (-1)' • 1 т
, v(г) = —, ] =1'2'
(2.17)
/ = /2 = 1, /3 = 1 + и2, /4 = 2 и2 - 3, /5 = и + 3 и2 - 9, /6 = 45 - 12 ы2 + 3 и
Здесь правые части соотношений (2.16), (2.17) — асимптотические представления интегралов О"" , 4 (А = 0, 1, ..., 4,у = 1, 2, ...) при больших п [2, 12—14], полученные с учетом равенства
ехр ( 21упа) = г" +1/4 ( 2 а)[ 1 + 3 аХп + 9 а2 / 2 + ...]
(2.18)
выведенного из уравнения /1(у„) = 0.
Нетрудно показать, что функциональные ряды (2.15) равномерно сходятся на отрезке [0, 1], и следовательно, на этом отрезке их можно почленно интегрировать. Умножая уравнение (2.14) на гсо$1т(г — а) (т = 0, 1, ...) и интегрируя по отрезку [а, 1], получим бесконечную систему алгебраических уравнений относительно неизвестных (А, к = 0, 1, ...):
АХк = Ък (А =[ащ„], т, к, к = 0, 1, ...)
(2.19)
Ниже приводятся асимптотика интегралов От (т = 0, 1, ...) при п ^ ж и выражения для элементов матрицы А и вектора
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.