МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА <5 • 2008
УДК 532.529:532.517
© 2008 г. В. М. АЛИПЧЕНКОВ, Л. И. ЗАЙЧИК
КОНТИНУАЛЬНОЕ ПОДСЕТОЧНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ЧАСТИЦ В ТУРБУЛЕНТНОМ ПОТОКЕ
Развит эйлеров континуальный подход для моделирования движения частиц дисперсной фазы в рамках метода крупных вихрей. Подход основан на кинетическом уравнении для фильтрованной функции плотности вероятности скорости частиц в турбулентном потоке. Представлены модели для подсеточных турбулентных напряжений дисперсной фазы.
Ключевые слова: турбулентность, двухфазная среда, метод крупных вихрей, подсеточные напряжения, кинетическое уравнение.
В настоящее время двухфазные турбулентные течения представляют собой один из наиболее интенсивно развивающихся разделов механики и теплообмена. Расчет течения двухфазной среды, состоящей из сплошной и дисперсной фаз (жидкости и частиц), должен включать моделирование переноса массы, импульса и тепла для каждой из фаз, а также межфазного взаимодействия.
В настоящее время существуют три основных подхода к расчету движения сплошной фазы: решение предварительно осредненных уравнений Навье-Стокса (RANS - Reynolds Averaged Navier Stokes), прямое численное моделирование (DNS - Direct Numerical Simulation) и метод крупных вихрей (LES - Large Eddy Simulation). Моделирование на основе RANS - наиболее экономичный, однако наименее информационный подход, поскольку позволяет получить только осредненные характеристики течения. Этот метод подразумевает расчет движения жидкости с использованием какой-либо полуэмпирической модели турбулентности и составляет основу для решения прикладных инженерных задач. При прямом численном моделировании описывается весь спектр турбулентных вихрей, включая мелкомасштабные, ответственные за диссипацию энергии турбулентности. Однако DNS требует больших затрат времени, даже на самых быстродействующих компьютерах, и поэтому используется главным образом как численный эксперимент для тестирования или калибровки более экономичных методов расчета турбулентных течений. В методе крупных вихрей производится прямое моделирование только энергосодержащих структур, пространственный масштаб которых превышает размер численной сетки, а мелкомасштабные (подсеточные) моды, ответственные за диссипацию турбулентной энергии, оказываются вне пределов разрешимости и описываются полуэмпирическим путем с помощью так называемых подсеточных моделей турбулентности. В отношении вычислительной стоимости LES занимает промежуточное положение между методами RANS и DNS и в настоящее время уже применяется для расчета сложных однофазных течений.
Существующие методы расчета движения дисперсной фазы могут быть разделены на два подхода. Первый подход основан на лагранжевом дискретном описании дисперсной фазы путем решения стохастических уравнений движения типа Ланжевена вдоль траекторий отдельных частиц. Лагранжев траекторный подход позволяет получать детальную информацию о взаимодействии частиц с турбулентными вихрями, со стенками и друг с другом, однако требует очень больших затрат времени при расчете реальных двухфазных течений, встречающихся в природных или промышленных условиях. Вто-
рой метод моделирования основан на эйлеровом континуальном описании обеих фаз -на так называемых двухжидкостных моделях в рамках механики взаимопроникающих гетерогенных сред. Существенное преимущество эйлерова подхода по сравнению с лагранжевым - использование уравнений одного типа для обеих фаз и соответственно единого алгоритма решения всей системы уравнений. В целом, эти подходы дополняют друг друга, поскольку дисперсная фаза одновременно обладает свойствами как дискретных частиц, так и континуума.
Лагранжев метод расчета дисперсной фазы находит широкое применение в сочетании со всеми тремя подходами к моделированию сплошной фазы (RANS, DNS и LES). Наиболее точная и детальная информация о структуре двухфазного турбулентного потока может быть получена на основе метода DNS для сплошной фазы в сочетании с лагранжевым подходом для дисперсной фазы. Однако такой способ применим для моделирования только относительно простых течений при невысоких числах Рейнольдса. Метод LES для сплошной фазы в сочетании с лагранжевым подходом для дисперсной фазы также оказывается слишком дорогостоящим инструментом для практических приложений.
Эйлеров метод моделирования дисперсной фазы используется главным образом в сочетании с методом RANS для сплошной фазы путем решения континуальных уравнений сохранения для осредненных характеристик двухфазной среды. Применению двухжид-костного эйлерова подхода в рамках прямого моделирования путем решения неосред-ненных континуальных уравнений движения для обеих фаз на основе DNS или LES посвящено только несколько работ. Развитые в [1-4] двухжидкостные эйлеровы методы прямого моделирования справедливы для малоинерционных частиц, время релаксации которых не превышает колмогоровский временной микромасштаб. Для более инерционных частиц необходимо учитывать вклад некоррелированной составляющей в поле скорости дисперсной фазы в турбулентном потоке. Этот эффект обусловлен случайным (квазиброуновским) характером движения инерционных частиц.
Эффективным базисом для развития континуального прямого метода моделирования движения дисперсной фазы представляется теоретический формализм, состоящий в разложении поля скорости частиц в турбулентном потоке на "коррелированную" и "квазиброуновскую" составляющие скорости [5, 6]. Первая составляющая учитывает пространственную коррелированность движения частиц и описывается в эйлеровых переменных, а вторая представляет собой некоррелированную составляющую скорости, обусловленную статистически независимым движением частиц. Поскольку квазиброуновской составляющей скорости соответствует независимое движение отдельных частиц (скорости которых не коррелированны между собой, а также с турбулентным полем несущей жидкости), то для ее описания подходят лагранжевы координаты. Из такого разложения вытекает, что в отличие от DNS для сплошной фазы, не требующего привлечения каких-либо дополнительных моделей, континуальный подход для дисперсной фазы в эйлеровых переменных требует моделирования вклада квазиброуновской составляющей скорости, прямым образом рассчитывающейся только в лагранжевых координатах.
Первая попытка разработки двухжидкостного метода крупных вихрей была предпринята в [7]. Этот подход основан на кинетическом уравнении для фильтрованной плотности вероятности скорости частиц. Построенное кинетическое уравнение по существу аналогично полученному в [8] для статистической функции плотности вероятности, если в нем заменить рейнольдсовы напряжения сплошной фазы на соответствующие под-сеточные напряжения. В [9] развит эйлеров LES-метод, учитывающий для дисперсной фазы как эффект случайного некоррелированного (квазиброуновского) движения частиц, так и вклад подсеточных кинетических напряжений, которые аналогично сплошной фазе определяются при помощи модели Смагоринского.
В настоящей статье предлагается эйлеров континуальный ЬЕБ подход для дисперсной фазы, единым образом учитывающий эффект квазиброуновского движения частиц и вклад подсеточных напряжений. Развиваемый подход основан на полученном при помощи функционального формализма кинетическом уравнении для фильтрованной функции плотности вероятности (ФПВ) скорости частиц в турбулентном потоке. Рассматривается двухфазная система с небольшой объемной концентрацией дисперсной фазы (ф = 1). Предполагается, что плотность частиц дисперсной фазы намного больше плотности сплошной фазы (жидкости), а размер частиц не превышает пространственный микромасштаб турбулентности.
1. Фильтрованные уравнения для сплошной фазы. Вначале представим уравнения, описывающие движение сплошной фазы. При пренебрежимо малой объемной концентрации дисперсной фазы фильтрованные уравнения неразрывности и количества движения имеют вид
д Ы:
^ = 0 (1.1)
д х;
дй1 _ дЫ: 1 дР д2й1 дТц
_! + и■ ^ = ---т--V' + А;
дг ■ дх■ рдх; дх^д х■ д х■ (1.2)
г _ _
Ту = ии] - ии
Здесь и;, Р, р, V - скорость, давление, плотность и кинематическая вязкость сплошной
фазы. Величина тГ обозначает остаточные (подсеточные) напряжения. Операция фильтрации некоторой величины ф определяется как
ф(X, г) = |О(х - х1,А)ф(X!, г)йх1, |О(X - х1,А)йх1 = 1 (1.3)
где О - ядро фильтра, а А - ширина пространственного фильтра.
Как следует из уравнений (1.1) и (1.2), при небольшой объемной концентрации ф присутствие частиц в потоке не изменяет уравнение неразрывности, однако вследствие большого отношения плотностей дисперсной и сплошной фаз рр/р может оказывать
влияние на импульс сплошной фазы, символизируемое величиной А;.
2. Кинетическое уравнение для фильтрованной ФПВ. Движение небольшой тяжелой частицы описывается уравнениями
йкр йир и(кр(г), г) - ир
—£ = ир, = р ' -—р + g (2.1)
йг р йг т р
где Яр и ир - координата и скорость частицы, g - ускорение силы тяжести, тр - время динамической релаксации частицы.
С целью перехода от лагранжева описания движения частиц на основе стохастических уравнений (2.1) к эйлеровому распределению скорости частиц вводится динамическая плотность вероятности в фазовом пространстве координат и скоростей (х, и)
р = 5(х - кр(г))5(и - ир(г)) (2.2)
где 5(х) - дельта-функция Дирака.
Дифференцируя (2.2) по времени с учетом (2.1), получим уравнение Лиувилля для одноточечной плотности вероятности распределения частиц в фазовом пространстве
д p др д — + v-+--
dt ' дх, ди,
u¡ - VP¡ -LT-JP1 + 8i\ P
0 (2.3)
Действуя оператором фильтрации (1.3) на (2.3), перейдем к уравнению для фильтрованной ФПВ
д р д р д — + и-*- +--
д г ' д х; ди;
Ы; - V;
+ 8; Р
1 д( Ы;Р ) " р ди;
, (Ы;Р) = Ы;Р - Ы;Р
(2.4)
Для определения остаточной корреляции скорости жидкости и плотности вероятности распределения частиц (ы р) поле скорости жидкости будем моделировать гауссовым случайным процессом с известными корреляционными моментами и применим технику функционального дифференцирования, аналогичную использованной для построения кинетического уравнения для статистической ФПВ [10]. Привлекая фор
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.