ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2014, том 54, № 5, с. 779-792
УДК 519.632.8
КОНТРПРИМЕРЫ В ОБРАТНЫХ ЗАДАЧАХ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ, ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ И ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
© 2014 г. А. Б. Костин
(115409 Москва, Каширское ш, 31, НИЯУ МИФИ) e-mail: abkostin@yandex.ru Поступила в редакцию 14.07.2013 г.
Строятся примеры неединственности решений обратных задач восстановления источника в уравнении. Рассмотрены задачи для уравнений параболического, эллиптического и гиперболического типов. Дополнительная информация (переопределение) задается в виде условия финального наблюдения. Библ. 29.
Ключевые слова: контрпримеры, обратные задачи, финальное наблюдение, уравнения параболические, эллиптические, гиперболические.
DOI: 10.7868/S0044466914020100
1. ВВЕДЕНИЕ
Теория и методы решения обратных и некорректных задач активно развиваются на протяжении десятилетий, результаты описаны в большом количестве работ (см., например, [1]—[6]). За это время в ряде обратных задач получены легко проверяемые достаточные условия их разрешимости, а также условия единственности решений. В таких случаях всегда возникают вопросы о том, насколько полученные условия близки к необходимым, можно ли какое-либо из условий отбросить или ослабить. В данной работе эти вопросы обсуждаются в связи с достаточными условиями единственности решений для параболических, эллиптических и гиперболических обратных задач с переопределением на верхней крышке (или финальным наблюдением). В параболическом случае речь пойдет о следующей задаче.
Пусть D с [ — ограниченная область с достаточно гладкой границей dD. В цилиндре Q = D х х (0, T) требуется найти пару функций {w(x, t),p(x)}, удовлетворяющих условиям
wt(x, t) - Lw(x, t) = h(x, t)p(x), (x, t) e Q, (1.1)
w(x, 0) = 0, x e D; w(x, t) = 0, (x, t) e S = SDx[0, T], (1.2)
w(x, T) = x(x), x e D, (1.3)
где функции h(x, t), x(x) — заданы и достаточно гладкие, а равномерно эллиптический оператор L имеет вид
n n
Lw = Е I.b(x)fw) + Е+ С0(x)w. (Ы)
i,j = 1 ' 1 i = 1 '
Коэффициенты ay = a^ e C1(D); b, c0 e LX(D) — вещественные функции. Если в условии переопределения (1.3) функция х(х) = 0; то будем говорить о соответствующей однородной обратной задаче. Ясно, что решение линейной обратной задачи (1.1)—(1.3) единственно только тогда, когда однородная обратная задача имеет лишь тривиальное решение w = 0, p = 0. Какие условия, налагаемые на функцию h(x, t) и коэффициенты оператора L, являются достаточными для единственности решения задачи (1.1)—(1.3)? В работах [7]—[9] доказано, что при выполнении условий
c0(x)< 0 в D; h(x, t)> 0, ht(x, t)> 0 в Q; h(x, T) > 0 в D (1.5)
однородная обратная задача имеет лишь тривиальное решение, т.е. имеется единственность решения обратной задачи (1.1)—(1.3). Впервые подобные условия возникли в работах по обратным задачам теории потенциала (см., например, [10]), а для параболических уравнений эти условия были анонсированы в [11]. Если допустить перемены знака функции ^х, 1) по переменной t е [0, 7], то единственности решения вообще говоря нет. Примеры в этом случае строятся достаточно легко, причем для всех типов уравнений, они хорошо известны специалистам. Следует отметить, что имеются результаты, содержащие условия малости нормы h(x, 1) и обеспечивающие единственность. В этих теоремах функция Н(х, 1) и ее производная по t могут быть знакопеременными. В настоящей работе будет показано, что условие ^(х, 1) > 0 в 0, присутствующее в (1.5) без дополнительных ограничений, не может быть отброшено (даже при усилении других требований на функцию ^х, 0). А именно, при выполнении только условий
с0 (х) < 0 в П; к (х, Г)>Ъ> 0 в 0
однородная обратная задача может иметь нетривиальное решение, отсутствует единственность
2
решения обратной задачи (1.1)—(1.3). В данной работе оператор Ь, область П с К , функция ^х, 1) = и соответствующие нетривиальные решения параболической обратной задачи выписываются явным образом. Из вида этих решений устанавливается, что они являются аналитическими функциями своих аргументов. Случай п = 1 рассматривался в [8]. В обратных задачах аналогичных по постановке задаче (1.1)—(1.3), но для эллиптических и гиперболических уравнений также построены примеры неединственности решения. Основные примеры работы объединяет наличие комплексного собственного значения у соответствующего эллиптического оператора с вещественными коэффициентами. Здесь мы ограничились случаем п = 2, хотя соответствующие примеры неединственности решения имеются и при п > 3. Отметим еще, что необходимые и достаточные условия единственности могут быть сформулированы в терминах полноты системы функций, связанной с обратной задачей (1.1)—(1.3) (см. [12]). Связь единственности решения обратной задачи с нулями некоторой целой функции и точечным спектром оператора впервые отмечалась в [13], [14].
2. ПРИМЕРЫ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ
2.1. Одномерная задача с условиями периодичности
Вначале рассмотрим задачу с периодическими граничными условиями в одномерном случае. Ищется пара {^(х, 1), р(х)} комплекснозначных функций, удовлетворяющих условиям
2
wt(x, ') - Vхх(х, ') + Wx(x, ') = в* 'р (х), (х, ') е (0, 2 п) х (0, 2 п),
Ц0,') = *>(2п,'), ^х(0,') = 2п,'), ' е [0, 2п], (2Л)
Ч = 0 = 0, Ч = 2п = 0, х е (0, 2п),
где к — некоторое фиксированное натуральное число. Будем искать решение задачи (2.1) в виде w(x, 1) = Т(1)ехр(1кх) и р(х) = ехр(кх), тогда для функции 7(1) имеем систему:
Т'(') + (к2 + ¡к) Т(') = ' е [0, 2п], (2 2)
Т( 0) = Т( 2 п) = 0. Решение задачи (2.2) легко выписывается:
т = Ге^ + *к'-^e-k2sds =-е-*2'[е-*- 1 ].
к
0
Тогда Vк е N имеем нетривиальное решение однородной обратной задачи (2.1)
2
/ I -к ' г -¡к' Л ¡кх
мх,') = - е [е - 1 ] е ,
к (2.3)
ч ¡кх
р (х) = е .
Отделяя в (2.3) действительную и мнимую части, получаем две пары вещественных решений обратной задачи
1 k2t
w1(x, t) = -e [sink(t-x) + sinkx], p1 (x) = coskx, k
w2 (x, t) = - e k\ cos k (t-x)- cos kx], p2(x) = sin kx. k
Как нетрудно видеть, w(x, t) иp¡(x) являются вещественно аналитическими функциями своих ар-
2
гументов, а уравнение выполнено для всех (x, t) е [ . Построение этого примера стало возможным из-за наличия комплексного собственного значения = к2 + iк у оператора L0w = —wxx + wx с периодическими краевыми условиями. Для n = 1 и разделенных краевых условий подобный пример невозможен, так как соответствующие собственные значения вещественны (см., например, [15, с. 541]). Заметим еще, что пара функций из (2.3) дает также пример неединственности
решения для обратной задачи в неограниченной области:
2
wt(x, t) - Wxx(x, t) + Wx(x, t) = e k 'p(x), (x, t)e [ x (0, 2n), w(x, 0) = 0, w(x, 2n) = 0, x е [,
2
где уравнение для найденных функций выполняется при всех (x, t) е [ . Идею примера подобного вида для задачи Коши автору сообщил И.В. Тихонов. Критерий единственности для абстрактных уравнений в случае скалярной функции h(t) и при минимальных ограничениях на оператор имеется в [16].
2.2. Многомерный случай. Оператор с условиями Дирихле
Из рассмотренного выше ясно, что комплексные собственные значения играют ключевую роль в получении примеров неединственности в обратных задачах. Автору удалось построить примеры эллиптических операторов второго порядка с вещественными коэффициентами и соответствующими граничными условиями, у которых имеются комплексные собственные значения. Один из таких примеров мы сейчас приведем и используем для построения нетривиальных решений однородных обратных задач.
Рассмотрим в круге Б = {х2 + у2 < 1} следующую задачу на собственные значения:
хvy + yvx + X V = 0, (х, у) е Б, v(x, у) = 0, (х, у) е дБ. (2.4)
Здесь АV = vxx + vyy — оператор Лапласа, v(x, у) искомая комплекснозначная функция, X е С. Решая задачу (2.4) в полярных координатах, находим ее собственные функции
vn, к ( г,^) = К (Ук(.п) г) ехр (±1п^)
и собственные значения ХПг к = у2к(п) ± ¡п ,
где к е п = 0, 1, 2, ..., /и(х) — функция Бесселя порядка п, а ук(п) — положительные корни уравнения Jn(x) = 0, занумерованные в порядке возрастания. Из полноты и ортогональности собственных функций в Ь2(П) следует, что других собственных значений у задачи (2.4) нет.
Возьмем одно из комплексных собственных значений X = у2 + /, где у — первый положительный корень уравнения J1(x) = 0 (у ~ 3.831706, см. [17, с. 553]). В единичном круге Б рассмотрим обратную задачу, состоящую в нахождении пары функций {^(х, у, 1), р(х, у)} из условий
2 -С ,
м,-Ам + х^у-у^х-(у -0)^ = е р(х, у), (х, у, ,) е Б х [0, 2я], (25)
м(х, у, 0) = м(х, у, 2я) = 0, (х, у)е Б, м(х, у,,) = 0, (х, у,,) е дБ х[0, 2я],
где ^ ^ 0 — некоторое фиксированное число. Переходя к полярным координатам, непосредственной проверкой убеждаемся, что пара комплекснозначных функций
м = Их(уг)е<1(е'Х1р-0 - е*>) и р = I(уг)е(2.6)
есть решение однородной обратной задачи (2.5). Функция р(х, у) является вещественно аналитической при (х, у) е Б, как собственная функция задачи Дирихле в круге для эллиптического урав-
нения с аналитическими коэффициентами. Это нетрудно установить и непосредственно, воспользовавшись разложением функции Бесселя
p = Л (у г)е* = Y_^_ÍF)" +1 е* = Y x + y) Y И M V + У2)',
Z^Y(k + 2 )Г( k + 1 )V 2 ) 2V 7 ^ (k + 1)! k! V2) v 7
k = 0 k = 0
2 2 где ряд сходится в R по признаку Даламбера. Отсюда следует аналитичность p(x, y) при (x, y) е R .
Следовательно и функция w(x, y, t) = ie-Z'(e-" — 1)p(x, y) является аналитической по переменным
3
(x, y, t) е R , а поэтому уравнение выполнено во всем пространстве переменных (x, y, t). В частности, это решение и его производные принадлежат пространству Гёльдера и выполнены условия согласования всех порядков. Таким образом, доказано
Утверждение 1. Однородная обратная задача (2.5) имеет нетривиальное комплексное решение (2.6).
Функции, составляющие это решение, суть аналитические функции своих аргументов, а уравнение
3
выполнено во всем пространстве R переменных (x, y, t). Действительная и мнимая части решения (2.6) дают две пары вещественных решений
w1 = J1 (yr)e Z[sinф - sin(ф
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.