МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА <3 • 2008
УДК 531.383
© 2008 г. Ю.К. ЖБАНОВ
КОНТУР УПРАВЛЕНИЯ АМПЛИТУДОЙ В ВОЛНОВОМ ТВЕРДОТЕЛЬНОМ ГИРОСКОПЕ С АВТОМАТИЧЕСКОЙ КОМПЕНСАЦИЕЙ РАЗНОДОБРОТНОСТИ
Для нормальной работы волнового твердотельного гироскопа в его схеме предусматривается контур управления, поддерживающий колебания резонатора в форме стоячей волны с заданной амплитудой. Поворот основания вызывает поворот стоячей волны, что позволяет использовать резонатор в качестве гироскопа. Поворот стоячей волны появляется без поворота основания, если резонатор обладает разнодобротностью, т.е. декремент затухания стоячей волны зависит от ее ориентации. Это один из важных источников погрешностей прибора. Информацию о параметрах разнодобротности можно получить, анализируя зависимость управляющего сигнала, поддерживающего заданную амплитуду, от ориентации волны. При ориентации волны с наибольшим декрементом затухания требуется больший управляющий сигнал, с наименьшим декрементом - меньший.
В статье рассматривается вариант контура управления амплитудой, в котором к управляющему сигналу, поддерживающему амплитуду, добавляются сигналы, компенсирующие разнодобротность резонатора. Компенсирующие сигналы вырабатываются интегрированием по времени управляющего сигнала, умноженного на определенные тригонометрические функции угла ориентации волны. В этом случае снижается уровень динамических ошибок контура поддержания амплитуды, возникающих в обычной схеме при каждой смене ориентации волны в резонаторе, и одновременно устраняется дрейф, вызванный разнодобротностью.
Радиальное смещение кромки резонатора волнового твердотельного гироскопа при колебаниях в форме стоячей волны можно представить в виде [1, 2]:
r (ф) = a cos2(9 - ф0) sin ю t
Угол ф0 задает ориентацию волны. Величина a - амплитуда волны. Эту же формулу можно записать в виде
r (ф) = a cos2ф0cos2ф sin ю + a sin2ф0sin ю
Удобно использовать обозначения [3] C = acos2ф0, S = asin2ф0. Величину C можно интерпретировать как амплитуду составляющей волны в форме со$2ф, а величину S как амплитуду формы 8т2ф. Ориентация волны (угол ф0) однозначно определяется отношением этих амплитуд. Если разнодобротности у резонатора нет, то при отсутствии управляющего сигнала обе амплитуды экспоненциально убывают с одинаковым декрементом затухания, их отношение при этом не меняется, поэтому не меняется и угол ф0.
Для исследования поведения резонатора, обладающего разнодобротностью, удобно использовать безразмерное время т = rat. В таком безразмерном времени собственная
частота резонатора равна единице. Вместо угла ф0, характеризующего ориентацию волны [4], удобно использовать его удвоенное значение ú = 2ф0.
Проанализируем поведение резонатора, обладающего разнодобротностью.
Если декремент затухания волны C наибольший и равен п + Ап, а для волны S наименьший и равен п - Ап, то для волны с начальной амплитудой a0 и ориентацией ú при свободных колебаниях резонатора можно записать соотношения для амплитуд
C = a0cos úe~(11 + Ап)т, S = a0sin úe~(11 - Ап)т, a = C cos ú + S sin ú откуда следует
a
/ 2 а -(п + Ап)т . 2a -(п - Ап)Тч
a0(cos úе + sin úe )
При любом постоянном ú производная от амплитуды по времени равна
г/ л ч -(п + Ап)т 2 п , , , -(п - Ап)т . 2
a = -a0[(п + Ап)е cos ú + (п - Ап)е sin ú]
что для момента т = 0 дает соотношение
22
a = -a[п + (cos ú-sin ^Ап] или a = -a^ + Апcos2ú)
Если наибольший декремент затухания имеет волна, ориентированная к оси C под углом ún, формула для производной от амплитуды принимает вид
a = -a [п + Ап cos2 (ú - úq)] или, если обозначить
пC = % = (1)
a = -a (п + пC cos2 ú + пS sin2 ú) (2)
Управляющее воздействие в виде напряжения на удвоенной рабочей частоте с регулируемой амплитудой можно приложить как к кольцевому электроду, так и к "крестам" электродов [5]. Такое управление может компенсировать естественную диссипацию в приборе. Напряжение на кольцевом электроде влияет на процесс изменения амплитуды (2), добавляет экспоненциальный рост амплитуды по уравнению
a = anR (3)
где величина положительного декремента ^ определенным образом зависит от поданного на кольцевой электрод напряжения. Такое управление фактически меняет величину коэффициента п в уравнении (2), может его обнулить или сделать положительным, если амплитуду надо увеличить.
Подача такого же напряжения, но со своими амплитудами, на "кресты" электродов дает определенные добавки в общем случае ко всем трем величинам п, по %. С учетом управления, уравнение (2) изменения амплитуды во времени можно записать в виде
a = a[^R - п*) + (пКс - п*)cos2ú + (^ - п*)sin2ú] (4)
Верхним индексом звездочка помечены декременты, присущие самому резонатору, а индексом R отмечены декременты, созданные управляющими напряжениями. Если номинальное значение амплитуды принять за единицу и следить за отклонением текущего ее значения от номинального, то вместо уравнения (4) для амплитуды можно использовать уравнения для ее отклонения от номинала:
А a = (^ - п*) + (^ - п*) cos2ú + (^ - п*) sin2ú (5)
Искусственно созданные декременты удобно представить в виде суммы управляющих и компенсирующих:
К и к
П = П + П (6)
Аналогично для коэффициентов пС, п9, однако управляющие составляющие этих коэф-
ии
фициентов пс, п9 положим нулями.
Управляющий коэффициент пи удобно сформировать так: пи = -киАа. Тогда уравнение (5) запишется в виде
А а = - киАа + (пк - п*) + (пС - П*)^2д + - П*) (7)
Согласно этому уравнению величина Аа экспоненциально стремится к величине
А а = [(пк - п *) + (пС - п*) ^2 д + (п9 - п*) 8т2д]/ки
Величина А а - это статическая ошибка регулирования, зависящая от текущего значения угла Статическая ошибка устраняется, если компенсирующие сигналы сформировать так:
г г
к Г / * • 7иАЧ7, к
П = -eJ(A a + k"Aa) dt nC = -£J"(A a + k"Aa) sin2 ú dt
0 0 (8)
t
% = -е|(Аа + к Аа) ео82д dt
о
В этом случае
11к = -е(А а + киА а) п С = -е(А а + киАа) ео82д п 9 = -е(А а + киА а) 8ш2 д (9)
Отсюда следуют соотношения
п С sin2д - п 9 ^2д = О
С к к и (10)
п + п С ^2д + п 9 sin2д = -2 е(А а + ки А а) или, с учетом постоянства величин п*, п* , п* :
(пС-п*/яп2д- (п9-п*)^2д = О
(пк - п* + (пС - п* )^2д + (п9 - п* Аш2д = -2е(Аа + киАа)
Соотношения же (9) можно записать в виде
(пк - п*) =-е(Аа + киАа) (пС - п*) =-е(Ааг + киАа) ^2д (п9 - п*) =-е(Аа + киАа) sin2д
Согласно полученным соотношениям, для функции и = (пк - п*)2 + (пС - п *)2 + (п9 - п*)2 производная по времени и/2 = (пк - п*)(пк - п*) + (пС - п*)(пС - п* )• +
+ (% - П*) (п} - П* )• = -[(Пк - П*) + (Пс - П* )сов2А + (п} - П* )sin2^]e(Ад + киАа) с учетом уравнения (7), которое можно представить как
Аа + ки А а = (цк - п *) + (Пс - П*)С082^ + (п} - П*) 8т2£ (12)
принимает вид
и/2 = -е(А а + киАа )2
Это значит, что при любом выходе контура управления из положения равновесия электрическая компенсация присущих прибору декрементов улучшается.
Качество переходных процессов выработки компенсации при постоянстве ориентации волны можно оценить вторым уравнением системы (11), записав его, с учетом соотношения (12), в виде
^-(Аа + киА а) = -2е(А а + ки А а) (13)
или, после дифференцирования в левой части
А а + (ки + 2 е)А а + ки2еАа = 0 (14)
Характеристическое уравнение А2 + (ки + 2е)А + ки2е = 0 имеет два действительных корня; ^ = -ки, А,! = -2е. Приемлемое качество переходного процесса получается при А = А2. В этом случае
е = ки/2 (15)
Таким образом, алгоритм управления амплитудой может быть принят в виде Пи = -киАа, пк = -ки (Аа + киАа )/2
11С = -ки[(А а + ки А а) ео82д]/2 п} = -ки[(А а + ки Аа) 81и2^] /2 или, в более удобной форме
ии = -Аа и = -(А а + ки А а)/2 = [(Аа + ки А а) ео82д]/2 и} = [(А а + ки Аа) 8ш2д] /2
(16)
г -.и, и к, г -.и к г -.и к
п = к (и + и ), пс = к ис, п} = к и} (17)
В реальной схеме управляющие сигналы меняются в дискретные моменты времени с постоянным тактом. В эти же моменты времени осуществляется и съем информации. Обозначим временной интервал одного такта Ат. Все величины, относящиеся к моменту последнего съема информации, пометим индексом 0, а к моменту предыдущего съема - индексом минус. Управляющий сигнал на очередной такт будет выработан по информации, относящейся к моменту 0:
и = -Аа0 (18)
и
Компенсирующие сигналы будут изменены на величины, вычисленные по информации, относящейся к моменту 0 и моменту предыдущего съема:
А и = -(А а0_ А а_ + кЫа_Ат)/2
А ис = _(Аа0 _ А а_ + кЫа_Ат)( ео82 + ео82д0) /4 (19)
к и
АиТ = _(Аа0_ Аа_ + к а_Ат)(+ 8т2Ф0)/4
С учетом этих добавок будут сформированы новые значения компенсирующих сигналов
и = ы_ + Аи , Ыс = Ыс_ + А Ыс, ы$ = _ + Аы8 (20)
и результирующие управляющие сигналы по формулам (17).
В реальных алгоритмах удобно задать границы линейной зоны регулирования амплитуды, ограничив ее отклонение от номинала по модулю некоторым значением Аат. Абсолютную величину декремента, создаваемого электрическим возбуждением при достижении отклонением этого значения, обозначим цт. Тогда кЫ = пт/Аат.
Экспоненциальный процесс (7), который может быть записан в виде А а = -кЫ(Аа - А а), имеет постоянную времени
Т = 1/кЫ = А ат / Пт
Величину Аат можно менять алгоритмически, величина же цт определяется некоторым напряжением ит на кольцевом электроде, которое выбрано как максимально допустимое.
Используя выбранные значения величин Аат и цт, уравнения (16), (17) контура управления можно записать так:
ы,, . . . ,,. , Ык 1 (Аа 1 Аа
ы /(Аат) = _аа/(Аат) Аат = _2I^+ тА-аат
кк
Ыс 1 (Аа 1 Аа ^ 0 с ЫБ 1 (Аа 1 Аа V 0. ■-— = _■■1 ■-— + — ео82д -— = _-1 -— +--— 8т2д (21)
Аат 2УАат ТАат) Аат 2\Аат ТАат)
и и
П" = Пт( ыЫ/(Аат) + ик(Аат)) П "с = Пт ^, % = Пт АТ-
ат ат
За величинами, отнесенными к Аат, удобно сохранить прежние обозначения и записать уравнения (16) практически в прежнем виде:
иЫ = _Аа, Ык = _(Аа + Аа / Т)/2
ис = _(Аа + Аа/Т)(ео82д)/2 ЫкТ = _(Аа + А а / Т)( вт2 д)/2 (22)
г , и к^ г кг к
П = Пт(Ы + Ы ), Пс = ПтЫс, ПТ = ПтЫТ
С учетом дискретности по времени, алгоритмы управления, соответствующие этим формулам, можно записать так:
иЫ = _Аа0 А и = _(Аа0 _ А а_ + А а_
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.