РАСПЛАВ Ы
6 • 2012
УДК 536.421.4
© 2012 г. А. П. Малыгин, Д. В. Александров1
КОНВЕКТИВНАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ФРОНТА ЗАТВЕРДЕВАНИЯ.
МОДЕЛИ ДВУХФАЗНОЙ ЗОНЫ
Проведен линейный анализ конвективной морфологической устойчивости плоской границы раздела твердой и жидкой фаз при наличии вытеснения примеси фронтом и рассмотрении нелинейной фазовой диаграммы системы. Показано, что присутствие конвекции приводит к существованию областей устойчивого и неустойчивого затвердевания при наличии в системе концентрационного переохлаждения. Первая из этих ситуаций соответствует двухфазной зоне, заполненной растущими на примесях частицами твердой фазы, а вторая ситуация характеризует область фазового перехода, состоящую из дендритоподобных структур. Сформулирована обобщенная математическая модель процесса и определены ее аналитические решения, соответствующие квазиравновесной и слабонеравновесной областям фазового перехода с конвекцией.
Ключевые слова: конвекция, морфологическая неустойчивость, задача Стефана, затвердевание, двухфазная зона.
ВВЕДЕНИЕ
Форма и временная эволюция межфазной границы кристалл—расплав целиком и полностью определяют характер примесного распределения в твердой фазе [1—3]. Вследствие этого, задача о морфологической устойчивости границы раздела фаз — одна из наиболее важных задач теории кристаллизации. Так, в случае движения плоского фронта затвердевания с постоянной скоростью эта задача впервые была решена в классической работе В. Маллинза и Р. Секерки [4], а затем детализирована в публикациях [5, 6].
Изменения морфологии фронта затвердевания, в частности, обусловлены понижением температуры фазового перехода, которое вызвано вытеснением примеси фронтом кристаллизации в глубь расплава и явлением концентрационного переохлаждения, создающими благоприятные условия для преимущественного роста определенных выступов твердой фазы в переохлажденную жидкость системы. Поэтому форма межфазной поверхности оказывает фундаментальное влияние на распределение примеси в растущем кристалле. Последнее же полностью определяет неоднородности примесных структур и дефекты в твердом слитке [7]. Изменением скорости кристаллизации, количества примеси, условий охлаждения и др. можно получать вещества с различными структурами, что, несомненно, и определяет разные механические, физические и химические свойства материалов.
При анализе морфологической неустойчивости В. Маллинзом и Р. Секеркой был использован подход, фактически аналогичный рассмотренному Л.Д. Ландау по гидродинамике горения [8]. Они налагали на плоскую поверхность раздела между твердой фазой и расплавом малое синусоидальное возмущение, ссылаясь на то обстоятельство, что такое возмущение можно разложить в интеграл Фурье. Этот подход является строгим, и полученный критерий неустойчивости можно считать правильным. Авторам работы [4] методами линейной теории неустойчивости удалось показать, что при определенных соотношениях между параметрами, характеризующими процесс кристаллизации, воз-
1Отйп.А1ехапдгоу@ши.ги.
можно нарушение морфологической устойчивости процесса затвердевания относительно квазистационарного режима движения фронта с постоянной скоростью. Однако в работе [4] (а также в [9]), где исследовались условия образования ячеистой структуры, при анализе существенно нестационарных возмущений использовалось некорректное предположение о стационарности поля концентрации, что неправомерно [10].
Этот недостаток был исправлен, в частности, в работах [11, 12]. В них было показано, что без использования предположения о стационарности поля концентрации в выражении для знаменателя инкремента возмущений появляются два дополнительных слагаемых. Однако выражение для знаменателя инкремента возмущений оказалось знакопостоянным и критерий устойчивости, найденный В. Маллинзом и Р. Секеркой, является правильным, что подтвердили теоретические [5, 6, 13—15] и экспериментальные [16, 17] работы. Далее, последовала целая серия статей различных авторов, которые исследовали морфологическую неустойчивость для разных условий затвердевания (изучалось влияние конвекции [18—21], эффектов термодиффузии [22, 23], периодичности скорости роста [24], кинетических факторов и анизотропии [25, 26], высокоскоростной кристаллизации [27, 28] и автомодельности процесса [29—31]). Анализ неустойчивости, развитый Маллинзом и Секеркой, также используется для определения отборного соотношения для скорости роста изолированного дендрита [32, 33] и нахождения условий устойчивого роста межфазной границы между двухфазной областью и расплавом [34—39].
Основной вывод работ по морфологической неустойчивости заключается в том, что при определенном соотношении между температурным и концентрационным градиентами, а также теплофизическими характеристиками расплава плоский фронт теряет устойчивость по отношению к малым возмущениям его формы. Неустойчивыми преимущественно являются длинноволновые возмущения, на которые силы поверхностного натяжения не оказывают стабилизирующего влияния. Нарушение морфологической устойчивости приводит к формированию сложных ростовых структур перед границей фазового перехода. Другими словами, перед этой границей формируется слой смешанного состояния твердой и жидкой фаз, называемый двухфазной зоной [40, 41].
Вытеснение примеси растущей границей раздела твердой и жидкой фаз приводит к ее накоплению в жидкости перед фронтом, вследствие чего в определенный момент времени возникает концентрационное переохлаждение [42]. Это переохлаждение и оказывается теплофизической причиной нарушения морфологической устойчивости фронта. Отметим, что, в соответствии с модельными расчетами, такое переохлаждение в реальных системах возникает достаточно быстро после начала затвердевания [43—46]. На практике критерии концентрационного переохлаждения и морфологической неустойчивости не дают существенно разных результатов. Однако первый из них является физической причиной второго [47]. Переохлаждение и неустойчивость приводят к образованию сложных ростовых структур (в том числе и дендритных) твердой фазы в расплаве. Здесь же могут идти процессы нуклеации частиц на растворенных примесях. Таким образом, перед фронтом возникает протяженная область фазового перехода.
В целом, растущая твердая фаза будет приводить к уменьшению переохлаждения в этой области за счет выделения скрытой теплоты затвердевания. Если твердая фаза выделяет достаточное количество теплоты для полной компенсации переохлаждения, то процесс будет описываться с помощью теории квазиравновесной двухфазной зоны [40, 41].
Теория кристаллизации с такой областью фазового перехода интенсивно исследовалась в последние годы (в [48—52] построены аналитические решения, описывающие квазистационарный процесс двух- и трехкомпонентных систем, в [53—55] развиты методы нахождения решений для автомодельной двухфазной зоны, а в [56—58] разработана теория нестационарной кристаллизации с областью фазового перехода). Если переохлаждение в полном объеме не снимается в результате тепловыделения, двухфазная зона остается переохлажденной. Теория кристаллизации с такой областью фазового перехода требует учета процессов нуклеации, роста и последующего взаимодействия ча-
стиц твердой фазы. Без учета процессов коагуляции, аггломерации, перегонки и Оствальдова созревания такая теория была развита в работах [59—61].
Настоящая работа посвящена определению условий возникновения режимов затвердевания с ветвящимися дендритоподобными структурами и зарождающимися растущими частицами в переохлажденной области фазового превращения при наличии конвекции в расплаве.
КОНВЕКТИВНАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ФРОНТА
Рассмотрим процесс напрвленного затвердевания плоского фронта вдоль пространственной оси г. Твердая фаза и расплав соответственно занимают области г < 0 и г > 0. В
твердой фазе выполняется классическое уравнение теплопроводности
^ - к ^ = 2е (1)
д( дг
где второе слагаемое в левой части (1) учитывает то обстоятельство, что уравнение записано в системе координат фронта кристаллизации, движущегося с постоянной скоростью V вдоль положительного направления оси г. Здесь 98 обозначает температуру твердой фазы, а8 — коэффициент температуропроводности в твердой фазе, а ? — время. Диффузией примеси в твердой фазе будем, как это принято, пренебрегать. В расплавленной фазе выполняются следующие конвективные уравнения теплопроводности и диффузии примеси:
501 „501 _ ™ „2П дс; т.дс1 _ ^ пп2
—1 - V—1 + и -У0; = а;У 0ь —1 - V—1 + и -Ус; = ЛсУвь (2)
д1 дг д1 дг
где ^ и а; — температура и концентрация примеси в расплаве, и — вектор скорости течения расплава, а; и Д, — соответственно коэффициенты температуропроводности и диффузии примеси в расплаве.
Температура на фронте кристаллизации г = 0 непрерывна и равна температуре фазового перехода, зависящей от температуры затвердевания чистого вещества 9Ш, концентрации примеси и коэффициента Г, определяемого поверхностной энергией у:
01 = 08 =0Ш + /с (а;) + гу2к, г = ^. (3)
Здесь ^ скрытая теплота затвердевания; /с (с;) — функция концентрации примеси, получаемая из фазовой диаграммы (в линейном случае /с (с;) = тса;, тс — коэффициент наклона линии ликвидуса); к — отклонения плоского фронта от своего невозмущенного положения г = 0.
Кроме того, на фронте кристаллизации г = 0 выполняются соотношения баланса тепла и массы
(X8У98 -X;У9;) п = Ьуи • Я, (1 - к) о;и • Я + ОСУс1 • Я = С, (4)
где и — коэффициенты теплопроводности твердой и жидкой фаз; п — вектор нормали к фронту, направленный в расплав; к — равновесный коэффициент распределения примеси; и • п « V + дК/дt — нормальная компонента скорости.
Граничные условия (4) позволяют выразить градиенты температуры в твердой фазе (б^) и концентрации примеси (Ос) при г = 0 через скорость Vи температурный градиент в расплаве
= АУ±М1, Сс =(к -1) °су. (5)
8 ' С Ос У '
Здесь а0 представляет собой концентрацию примеси при г = 0.
Для линейного анализа устойчивости потребуются вторые производные температуры и концентрации на фронте затвердевания. Они могут быть найдены из уравнений (1) и (2) в виде
й2е5 оу й\ = _
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.