КОНВЕКТИВНАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ СЛОЯ АТМОСФЕРЫ, НАСЫЩЕННОГО ВОДЯНЫМ ПАРОМ. ФОРМИРОВАНИЕ ЛОКАЛИЗОВАННЫХ И ПЕРИОДИЧЕСКИХ ОБЛАЧНЫХ СТРУКТУР
Б. Я. ИТ .мерлан."". М. В. Калтшшк" '" . М. Б. ПТли'рлгш" ''
" ФГБУ НПО «Тайфун», Институт экспериментальной метеорологии 249038, Обнинск. Калужская обл., Россия
ьИнститут физики атмосферы, им. А. М. Обухова Российской академии наук
109017, Москва, Россия.
с: Обнинский институт атомной энергетики филиал. НИЯУ «МИФИ» 249040, Обнинск, Калужская, обл., Россия.
Геофизическая, служба Российской академии наук 249035, Обнинск, Калужская, обл., Россия.
Поступила в редакцию 11 мая 2012 г.
Проведено обобщение классической задачи Рэлея о конвективной неустойчивости на случай наличия конденсации водяного пара в атмосфере. Представлено аналитическое решение, демонстрирующее принципиальное отличие влажной конвекции от конвекции Рэлея: кривая зависимости критического числа Рэлея от числа, характеризующего интенсивность конденсационного тепловыделения, состоит из двух частей, одной из которых соответствуют локализованные в пространстве нейтральные решения. Второй части кривой соответствуют периодические по пространству нейтральные решения, для них характерна существенная локализация областей восходящих движений. Теория описывает зарождение и развитие отдельных конвективных облаков и упорядоченных облачных структур.
1. ВВЕДЕНИЕ
Процессы влажной конвекции наиболее ярко выражены над океанами. На спутниковых фотографиях обнаруживаются разнообразные упорядоченные конвективные структуры в форме периодических облачных гряд или пространственных конвективных ячеек. Уже давно были установлены принципиальные несоответствия параметров облачных структур с предсказаниями модели конвективной неустойчивости Рэлея. Отношение горизонтального размера конвективной ячейки к вертикальному в модели Рэлея порядка единицы, в то время как для наблюдаемых облачных структур оно может достигать 30 и более [1 3]. Другое яркое несоответствие связано с наблюдаемой асимметрией в распределении восходящих и нисходящих движений площадь облачного
Е-таП: яЬтргНп'й^урЬооп.obninsk.ru
покрова или площадь восходящих движений может составлять менее 10 % от всей площади, охваченной упорядоченной конвекцией [2,3]. В связи с этим, в целом ряде работ рассматривалась обобщенная постановка классической задачи Рэлея исследование устойчивости состояния равновесия слоя влажного насыщенного воздуха. При изучении динамики влажной конвекции, как правило, используют упрощенный подход, основанный на включении в уравнения тепловой конвекции объемного конденсационного источника тепла, который пропорционален вертикальной скорости на восходящей ветви циркуляции и отсутствует (обращается в нуль) на нисходящей. Такое представление отвечает конденсации избытка водяного пара с выделением скрытой теплоты и выпадением капель в виде дождя при подъеме влажного насыщенного воздуха, а также отсутствию поглощения тепла на испарение капель при опуска-
12 ЖЭТФ, выи. б (12)
1265
тт (вследствие отсутствия капель). Поскольку границы областей восходящих и нисходящих движений заранее неизвестны, задача становится нелинейной, и ее рассмотрение ограничивалось либо проведением отдельных численных расчетов [1,2,4 10], либо анализом отдельных частных решений для невязкой нетеплопроводной атмосферы [11 14]. С учетом вязкости и теплопроводности нами была построена аналитическая теория влажпокоивективной неустойчивости в приближении гидростатики [15 19]. Было обнаружено принципиальное отличие влажной конвекции от сухой конвекции Рэлея. Оказалось, в частности, что в общем случае область неустойчивости состоит из двух подобластей, в одной из которых наибольшей скоростью роста обладают локализованные возмущения со структурой урагана (тропического циклона) на ранней стадии развития. Приближение гидростатики, однако, вносит значительные искажения при описании движений с горизонтальным масштабом порядка толщины слоя. В работе предложена соответствующая теория в постановке, свободной от использования приближения гидростатики. Это позволяет распространить ее на описание зарождения отдельных конвективных облаков и упорядоченных облачных структур. Наиболее яркие отличия от конвекции Рэлея также связаны со структурой возмущений, развивающихся при потере устойчивости. В рассмотренной в работе двумерной задаче существует область значений параметров, при которых наибольшей скоростью роста обладают локализованные возмущения, отвечающие уединенному конвективному облачному валу. При других значениях параметров наибольшей скоростью роста обладают периодические структуры, описывающие пространственно-периодические системы облачных валов с узкими (сконцентрированными) областями восходящих движений. Полученные результаты позволяют объяснить упоминавшиеся выше особенности конвективных явлений во влажной атмосфере. Они могут быть полезны широкому кругу читателей, интересующихся конкретными задачами нелинейной динамики и общими вопросами теории самоорганизации в диссипативных средах.
2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И СХЕМА АНАЛИЗА
Имеется слой вязкой теплопроводной насыщенной водяным паром атмосферы толщины /г, заключенный между двумя твердыми горизонтальными границами. На горизонтальных границах поддержи-
ваются постоянные температуры, так что распределение температуры в состоянии равновесия есть линейная функция вертикальной координаты. Требуется исследовать устойчивость равновесного состояния.
Исследование будем проводить в постановке, максимально приближенной к постановке классической задачи Рэлея [20,21]. Система уравнений, традиционно используемая при численном моделировании конвекции в атмосфере, для малых возмущений равновесного состояния имеет вид [22,23]
и/. = — V/» + дОк + //Ли. сИу и = 0, в, + IV = ¡¡Ав + С?
и рассматривается с граничными условиями Рэлея: ■и- = V- = го = в = 0, г = 0,/г. Здесь и вектор скорости с компонентами и, г\ и> вдоль горизонтальных осей х.у и направленной вверх оси г; Р = р' /Тг- ® = р', Т' отклонения давления и температуры от равновесных распределений; о. коэффициент теплового расширения; р постоянное среднее значение плотности; Г = о.(7а — 7) параметр стратификации; 7а = д/ср сухоадиабатиче-ский градиент [24,25]; д ускорение свободного падения; ср теплоемкость при постоянном давлении; 7 = —йТ/йг градиент температуры (со знаком «минус») в равновесном состоянии; // коэффициент турбулентного обмена; А оператор Лапласа; к вертикальный орт; С} = аМ/ср; М [Вт/кг] интенсивность источника тепла. Так же, как в упомянутых работах по влажной конвекции [1,2,4 14], источник, связанный с выделением скрытой теплоты конденсации, будем представлять в виде ¡^ _ _
(М (1г
для восходящего потока насыщенного воздуха, М = 0 для нисходящего потока, где Ь удельная теплота конденсации, ,чт массовая доля насыщенного пара. Вводя функцию Хэвисайда (Н(«') = 1, «' > 0; Н(«') = 0, «' < 0) и влажноадиабатический градиент [24 26]
Ь т
7т = 7а Н---:— ,
<>
для конденсационного источника тепла получим
<2 = «(7а - 7т )'«->Н('«>). (2)
Физический смысл такого представления источника пояснен во Введении. Далее будем считать градиент 7т постоянным.
Отметим, что использование граничных условий Рэлея является модельным упрощением, позволяющим получить результаты в аналитическом виде [20,21]. В системе (1) вместо молекулярных коэффициентов вязкости и теплопроводности используется их аналог коэффициент турбулентного обмена //.. В (1) также использовано уравнение непрерывности для несжимаемой жидкости. Приближение несжимаемости справедливо при описании конвекции в неглубоких слоях атмосферы. Условия его применимости приведены, например, в работе [22]. Система (1) с источником (2) принципиально не допускает линеаризации. Присутствие нелинейного источника составляет основную математическую особенность задачи.
Исследуется потеря устойчивости состояния покоя. Будем придерживаться подхода, предложенного нами в работах [15 19]. На первом этапе построим функцию Грина задачи. Далее в формулу для вертикальной скорости, представляющую свертку источника тепла с соответствующей функцией Грина, подставим источник тепла (2) и получим, таким образом, интегральное уравнение для определения вертикальной скорости. Из интегрального уравнения будет следовать система алгебраических уравнений, анализ которой позволит построить кривую зависимости критического значения числа Рэлея от числа, характеризующего интенсивность конденсационного тепловыделения, и определить пространственную структуру нейтральных решений, соответствующих каждой точке кривой.
3. ФУНКЦИЯ ГРИНА ЗАДАЧИ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ВЕРТИКАЛЬНОЙ СКОРОСТИ
Система уравнений и краевые условия допускают разделение переменных. Поскольку для конвекции Рэлея строго доказан монотонный характер неустойчивости [20,21], мы также ограничимся рассмотрением монотонной неустойчивости и будем искать экспоненциально растущие решения вида
(if. V, р, ir .9) = ^ (и (.г, у) V (х .//)./>( х ,j/)) X
7TZ 7TS1
х cos —, (tv(x,y),9(x,y)) sin —J cxp(z-rf). (3)
В выражении (3) u(x, у),... , в(х, у) пространственные амплитуды соответствующих величин. Введем потенциал ip горизонтального движения, полагая и = др/дх, v = др/ду, исключим из систе-
мы (1) возмущение давления р(х,у) и перейдем к безразмерным переменным
х = 10х, у = /о?/, t = t0t,
■и ' = »',)»"'. в = во0, <р = роф,
где
/ - h t - 'о „, - й - fllp0
<о — —, ¡о — —, «'о — т, У0 — —jô-, 7Г II <0 д< О
ifo [м2 'с_1] произвольная величина. После указанных преобразований исходная система (1) сводится к системе трех уравнений относительно переменных ф, в, w, которая в векторной форме имеет вид (волну опускаем)
. 1 А/, (/' + Вф = Q,
(4)
Да
дх'2
11
ду'2
Ф =
Í <р\
в
\ <" /
в =
А =
<7+1
о о
/ -1 0 - 1 }
0 -1 0
V i 0 0 )
-i <7+1 \
<7+1 R
0 1
/
Q =
о
Rm«'H(«>) 0
\ /
Уравнение (4) содержит два безразмерных параметра: число Рэлея
и число
R =
Rm —
ga{lg - 7)ft4
7Г4//2
gaba -7m)ft4 7Г4//2
характеризующее иитеисивиость коидеисациоииого тепловыделения. Отметим, что используемая запись чи
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.