МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 1 • 2015
УДК 536.25
КОНВЕКТИВНОЕ ТЕЧЕНИЕ В ГОРИЗОНТАЛЬНОМ КАНАЛЕ С НЕНЬЮТОНОВСКОЙ РЕОЛОГИЕЙ ПОВЕРХНОСТИ ПРИ НЕСТАЦИОНАРНОМ ПРОДОЛЬНОМ ГРАДИЕНТЕ ТЕМПЕРАТУРЫ
© 2015 г. Р. В. БИРИХ*, В. В. ПУХНАЧЕВ**,***, О. А. ФРОЛОВСКАЯ**,***
*Институт механики сплошных сред УрО РАН, Пермь
**Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирск ***Новосибирский государственный университет, Новосибирск e-mail: rbirikh@mail.ru,pukhnachev@gmail.com, oksana@hydro.nsc.ru
Поступила в редакцию 25.06.2014 г.
Рассматривается тепловая конвекция в горизонтальном канале с продольным градиентом температуры, меняющимся со временем по экспоненциальному закону. Сделана попытка описать задержку возникновения термокапиллярной конвекции из-за наличия на поверхности жидкости поверхностной пленки. Показано различие в структуре конвективного течения при неподвижной пленке и при ее разрушении. Приведено точное решение для плоскопараллельного течения под поверхностью с трением, пропорциональным скорости при постоянном продольном градиенте температуры. Конечно-разностным методом получено решение нестационарной задачи в модели с бингамовскими свойствами поверхности жидкости.
Ключевые слова: термокапиллярная конвекция, горизонтальный слой, поверхностное напряжение.
Эксперименты К.Г. Костарева и сотрудников [1, 2] показали, что в узких каналах конвекция Марангони при локальном выходе поверхностно активного вещества (ПАВ) на поверхность жидкости возникает только при достаточно большом градиенте концентрации ПАВ. Задержка в возникновении движения поверхности наблюдается и при возбуждении термокапиллярной конвекции в горизонтальном слое с ограниченной свободной поверхностью от точечного источника тепла, если не проведена ее тщательная очистка [3]. Пороговый характер возникновения конвекции авторы связывают с наличием пленки неконтролируемых ПАВ, которая удерживается боковыми стенками канала. В связи с этим полезно построение моделей термокапиллярной конвекции при наличии градиента температуры вдоль свободной поверхности с пороговым возбуждением конвективного движения.
В предлагаемой работе рассматривается тепловая конвекция в горизонтальном канале с продольным градиентом температуры. Для бесконечно широкого канала при стационарном градиенте температуры в традиционной постановке задача имеет простое точное решение с беспороговым возникновением конвекции [4, 5]. Реальность существования этого асимптотического решения продемонстрирована в экспериментах [6, 7]. Обобщение решения на случай зависимости продольного градиента температуры от времени получено в [8, 9]. Течение в канале конечной ширины и его устойчивость при малых значениях числа Прандтля рассматривалось в [10]. Адвективное течение в цилиндре конечной длины квадратного сечения исследовано в [11] также при малых значениях числа Прандтля. В этих работах поверхность жидкости счита-
лась свободной от пленки ПАВ и термокапиллярное течение устанавливалось сразу при возникновении касательных напряжений вдоль поверхности.
Пороговый характер возникновения конвекции Марангони в реальных условиях навязывается реологическими свойствами поверхности: ее движение начинается, когда касательные напряжения превысят некоторый порог, связанный с прочностью пленки ПАВ. Это свойство поверхности можно описать, вводя касательное сопротивление движению жидкости со ступенчатым законом зависимости сопротивления от напряжений. Для широкого слоя такая задача в случае стационарного градиента имеет простое точное решение с одной компонентой скорости вдоль градиента температуры. В нестационарном случае решение проще всего построить конечно-разностным методом.
1. Постановка задачи. Рассмотрим свободно конвективное течение вязкой жидкости в широком горизонтальном канале (полосе), вдоль горизонтальной оси I которого создан градиент температуры. Ось х имеет начало на нижней плоскости и направлена вертикально вверх. Уравнения конвекции в приближении Обербека—Буссинеска допускают решение вида [5]
V = км(х,г), Т = -А(х,г) • г + @(х,г), р = -В(х,О • г + д(х,0 (1.1)
Здесь ю — скорость однонаправленного движения жидкости, Т — отклонение температуры от некоторой средней, р — отклонение давления в жидкости от гидростатического для изотермической жидкости.
Сформулируем задачу в безразмерном виде. Выберем следующие единицы измерения: расстояния — толщину слоя к, времени — к2/V, компоненты скорости ю — v/k, давления — у2р/к, температуры — А0к, где V и р — кинематическая вязкость и плотность жидкости, А0 — максимальное значение продольного градиента температуры. В этих переменных введенные в (1.1) функции должны удовлетворять следующим уравнениям:
дА = 1 д2А
дг Ргдх2
дВ = Ог . А
дх
^ = + В (1.2)
дг дх2
д0 = X5>Ъ + А . „
дг Рг дх2
^ = Ог-0
дх
Ог = ¿М^, Рг = Х V X
В безразмерные параметры задачи Ог и Рг входят в и % — коэффициент теплового расширения и температуропроводность жидкости и ускорение свободного падения g.
Уравнения (1.2) линейны относительно искомых функций и последовательно решаются. Однако наличие члена А ■ м в четвертом уравнении вносит в нее элемент нелинейного взаимодействия полей скорости и температуры.
7 Механика жидкости и газа, № 1
Обсудим граничные условия для системы (1.2). Нижнюю границу слоя считаем твердой, и на ней скорость должна обращаться в ноль:
х = 0: ш = 0 (1.3)
На верхней границе следует учесть механические свойства пленки ПАВ. Эксперимент показал, что при малых касательных напряжениях на границе пленка остается практически неподвижной, а при достижении касательными напряжениями некоторого предельного значения она разрушается, и поверхность ведет себя как свободная — пороговым образом возникает конвекция Марангони. Для описания подобных свойств пленки удобно ввести поверхностное сопротивление а^ на верхней границе со ступенчатым характером изменения сопротивления от величины касательного напряжения, записав условие для касательного напряжения в размерном виде
х = к а ^ = -пдг + ? (1.4)
дх 01
Здесь п — динамическая вязкость жидкости, ст — коэффициент поверхностного натяжения. Предполагается, что скорость поверхности пропорциональна величине касательных напряжений. Сам коэффициент сопротивления зависит от их величины. Он большой, когда касательные напряжения не достигли некоторого предельного значения Р0, и становится малым (нулевым) после этого момента, когда пленка разрушилась и поверхность свободна. В безразмерном виде с учетом температурной зависимости поверхностного натяжения условие (1.4) принимает вид
х = 1: аш = -дш + МаРг-1 • А(1,0 (1.5)
дх
Ма = -^4^!, а = О^к дТ ПХ П
Условия для температуры запишем в следующем виде:
х = 0: А = 1 - е~у', 0 = 0 (1.6)
х = 1: А = 1 - е, д^ = 0 (1.7)
дх
Первое из этих условий означает, что на границах слоя продольный градиент температуры со временем возрастает от нуля до предельного значения, одинакового для всей границы и включенного в единицу измерения температуры за характерное время 1/у.
Функция B(x, 0 в (1.2) содержит параметр С(0, который определяет расход жидкости через сечение канала, и может быть найден, например, из условия замкнутости потока
1
I ш(х, г)йх = 0 (1.8)
0
Для полного определения начально-краевой задачи (1.2), (1.3), (1.5)—(1.8) необходимо задать начальное состояние системы. Рассмотрим случай, когда в начальный момент жидкость покоилась и имела всюду одинаковую температуру
I = 0: ш = 0, А = 0, 0 = 0 (1.9)
2. Предельное стационарное течение. Рассмотрим предельное стационарное течение, которое устанавливается через большой промежуток времени. Уравнения (1.2) в стационарном случае приводятся к системе
^ = -Ог • х + с йх
^! = -рг. * йх
с граничными условиями
х = 0: * = 0, 0 = 0
1 , ЛуГ т, -1 й& п
х = 1: а * =---+ МаРг , — = 0
йх йх
Решение этой задачи, удовлетворяющее условию замкнутости потока, имеет вид
*0 = - °г (2х3 - х2 + (а+6 х) + Ма^ (3х2 - 2х)
12 \ а + 4 а + 4 / а + 4
^ _ ОгРг (а + 6 х3 а + 5 х4 + х5 | + Ма ( _ х! "0 _ 24 [а + 4 ' 3 а + 4 ' 2 5 ) а + 4 [ 3 4
Поверхность х = 1 перемещается со скоростью
Ог ^ Ма • Рг-1 *0 =-+-
0 12(а + 4) а + 4
На ней возникают касательные напряжения Р, пропорциональные продольному градиенту температуры
р - а (Ог + Ма = а + 4(12 Рг
С ростом этого градиента поверхностное напряжение достигает критического значения Р0, при котором пленка ПАВ разрушается, коэффициент поверхностного трения резко падает, и поверхность жидкости приходит в движение со скоростью, близкой к
*0 = Ог/48 + 0.25 МаРг-1
Конвективная добавка к температуре поверхности
ОгРг Ма ст 0 —--1--
0 320 48
Величины и*0, ©0 пропорциональны приложенному градиенту температуры. Отметим, что при числе Прандтля порядка 10 вклад гравитационной конвекции в движение практически такой же, как вклад конвекции Марангони. В эксперименте по резкому изменению характера поведения поверхности можно определить критический градиент температуры, при котором происходит разрушение пленки ПАВ.
3. Нестационарная конвекция. Рассмотрим изменение структуры конвективного течения со временем при меняющемся по величине градиенте температуры. Используем постановку задачи, описанную в части 1, в которой градиент температуры, увеличиваясь от нулевого значения, достигает предельного значения за время 1/у (напом-
A
0.8
0.4
0
0.5 х 1.0
Фиг. 1. Распределения по глубине слоя продольного градиента температуры А в моменты времени: Г = 0, 1, 2, 3, 4, 10 (1—6); Рг = 7, у = 1
6
_____
--4 /
\ 3 у
1 -
ним, что в качестве единицы времени взято вязкое время). В расчетах условие на свободной поверхности (1.4) заменялось следующим:
n&W + да
дх dz
< P0:w = 0;
ndw+дл
дх dz
> p0: n^W = dl
дх dz
Такая аппроксимация способна описать задержку возникновения термо-капилляр-ной конвекции, наблюдавшуюся в эксперименте [3].
Начально-краевая задача (1.2), (1.3), (1.5)—(1.9) решалась методом конечных разностей по неявной схеме. Решение первого уравнения (1.2) однозначно определяется заданием начального (1.9) и краевых условий (1.6), (1.7). Зная функцию A, находим взятием квадратуры функцию
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.