МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 3 • 2013
УДК 532.51
© 2013 г. С. Н. АРИСТОВ, К. Г. ШВАРЦ
КОНВЕКТИВНЫЙ ТЕПЛООБМЕН ПРИ ЛОКАЛИЗОВАННОМ НАГРЕВЕ ПЛОСКОГО СЛОЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
Задача о конвекции в плоском горизонтальном слое несжимаемой жидкости с твердыми границами, на нижней из которых температура постоянная, а верхняя граница нагрета параболически, сводится к решению нелинейной системы нестационарных одномерных уравнений. Непосредственно в точке экстремума получено аналитическое решение задачи. В совокупности с известными решениями, описывающими теплообмен при линейном распределении температуры границ, полученные результаты позволили рассчитать тепловой поток через тонкую щель при произвольно заданном нагреве тонкого слоя жидкости, заключенного между теплопроводными массивами.
Ключевые слова: конвекция, теплообмен, параболический нагрев, точное решение.
В горизонтальном плоском слое несжимаемой жидкости в случае постоянства температуры на твердых границах при подогреве снизу для чисел Релея выше критического возникает конвекция [1]. При линейном распределении температуры на границах возникают течения, получившие название адвективных [2]. Они оказывают существенное влияние на процессы теплообмена, который обычно характеризуют числом Нуссельта. Если слой жидкости, заключенный между теплопроводящими массивами, тонкий, тогда движения приблизительно плоскопараллельны и допускают точный анализ, сводящийся к решению линейных уравнений. Исторически первой работой, описывающей теплообмен и течения, индуцированные линейным распределением температуры на границах слоя, была монография [3]. В [4] дан обзор плоскопараллельных адвективных течений для различных граничных условий, в монографии [5] описаны адвективные течения во вращающемся слое жидкости. Несмотря на прошедшие 60 лет, по-прежнему эти решения используются для описания более сложных задач о движениях двухслойной жидкости [6]. В [7] представлены геофизические приложения. К сожалению, описанный выше подход не позволяет описывать течения, возникающие вблизи экстремумов температуры, где первая производная по горизонтальной координате обращается в ноль.
В данной работе показывается, что в рамках точных (согласно классификации, представленной в [8]) решений уравнений конвекции проблема описания теплообмена при параболическом нагреве границы сводится к решению нелинейной системы нестационарных одномерных уравнений.
1. Постановка задачи. Рассмотрим плоский бесконечный слой несжимаемой жидкости шириной к с твердыми горизонтальными границами, помещенный в однородное поле тяжести. Движение жидкости описывается уравнениями конвекции в приближении Буссинеска [1] в декартовой системе координат Оху1
+ (уу)у = -VР + vAv - ga Т
(Ну у = 0
(1.1)
дТ + Т = %М дг л
где V (г, х, у, г) = (их,иу , иг) — скорость, Т (г, х, у, г) — отклонение температуры от равновесного значения, Р (г, х, у, г) — отклонение давления от гидростатического, деленного на среднюю плотность р0, V — кинематическая вязкость, а, х — коэффициенты теплового расширения и температуропроводности, g = -^п, g — ускорение силы тяжести, п = (0,0,1) — единичный вектор, направленный по вертикали вверх, А = д2/дх2 + + д2/ду2 + д2/дг2 — оператор Лапласа.
На нижней границе слоя поддерживается постоянная температура, равная температуре отсчета
г = 0: их = иу = и, = 0, Т = 0 (1.2)
а на верхней задан локализованный источник тепла. Если описывать течения вблизи максимума температуры, то достаточно задать граничные условия вида
г = И: Ох = Оу = и, = 0, Т = 0^1 -^ (1.3)
где 0 — максимальная разность температуры, Ь — горизонтальный масштаб движения. Следуя [9], решение задачи (1.1)—(1.3) ищется в виде
Ух = и (г,г)х, Уу = 0, У, = w(г,г), Т = Т (г,г) + Т (г,г)х2 Р = Р0 (г,г) + Р (г,г)х2
При х = 0 горизонтальные компоненты скорости Ух = Уу = 0, поэтому движение жидкости там чисто вертикальное. Компонента V антисимметрична по х, а слагаемое Т1х2 — симметрично относительно вертикальной оси.
Выбрав в качестве единиц измерения длины, времени, скорости, температуры и
давления соответственно к, к2/у, gа0И2/V, 0, р^а@И, введем функцию ф = ди/дг — аналог вихря скорости, избавимся от давления и получим искомые уравнения в безразмерном виде
+ 0г ф + w ^1 = 2Т1 + д4 (1.5)
дг I дг дг) дг2
Ц + Ф = 0 (1.6)
дг
дТ1 + вг Г-2 ^ + w дЩ= -1 д-Т (1.7)
дг У дг дг) Рг дг
(~22
2
дТ . „.....дТ0 1
дг
Граничные условия определены как
д-Т° + 2Т1 | (1.8)
г = 0: w = — = 0, Т0 = 0, Т = 0 (1.9)
дг
Фиг. 1. Профили компонент скорости: 1 — и, 2 — w (а); температур: 1 — Т0 и 2 — Т1 (б); изолинии функции тока у = х* (в) и температуры Т = Т0 + х1Т1 (г) при 5 = 1, Ог = 0, Рг = 6.7
* = 1:* = = 0, То = 1, Т = -52 (1.10)
д *
где Ог — число Грасгофа, Рг — число Прандтля: Ог = g а0 И 3/ V2, Рг = у/х, 8 = Н/Ь. При Ог = 0 задача (1.4)—(1.6) имеет стационарное аналитическое решение
Т =-52;, То = 82 ¿±2!, и = 82 *( -1)(5*2 + 5* -4)
3 60 (1.11)
52 !2 ( - 1)2 ( + 2)
* = -8 —--—---
60
На фигуре 1, а, б представлены профили скорости и температуры при 5 = 1. Вертикальная компонента скорости отрицательна, горизонтальная меняет знак в центре
слоя при * = -0.5 + л/Л05 « 0.524696, следовательно жидкость в слое при х = 0 движется вертикально вниз вдоль оси *, слева от нее жидкость вращается по часовой стрелке, а справа — против часовой (фиг. 1, в). При |х| < 1 температура в рассмотренной прямоугольной области выше температуры отсчета и только вблизи левой и правой границ становится отрицательной (фиг. 1, г).
2. Численные расчеты. Нелинейная задача (1.5)—(1.10) при Ог ф 0 решалась численно методом сеток. Эволюционные уравнения (1.5), (1.7), (1.8) считались с помощью явной конечно-разностной схемы методом установления. Вертикальная компонента скорости находилась в узлах сетки с помощью метода прогонки [10]. Значения аналога
Фиг. 2. Профили 70, Т\, и, ^ (а—г) при 5 = 1, Рг = 6.7 и неотрицательных значениях Ог = 0.80 (1, 2)
вихря скорости на границах слоя вычислялись по формуле Вудса [11]. В качестве начальных значений для сеточных функций бралось решение (1.11).
Расчеты проводились на сетке в 200 узлов при Рг = 6.7 и 5 = 1, число Грасгофа варьировалось. В интервале 0 < Ог < 85 отрицательный минимум температуры 71 убывает в верхней части слоя с ростом числа Грасгофа (фиг. 2, б). При |х| < 1 область, где температура ниже температуры отсчета, уменьшается слева и справа (фиг. 3, б), как и зона положительной температуры, скорость возрастает (фиг. 2, в, г, 3, а).
При отрицательном значении числа Грасгофа с ростом |Ог| температура 70 начинает резче убывать от 1 на верхней границе и до 0 на нижней (фиг. 4, а). Значение 71 увеличивается в верхней и уменьшается в нижней части слоя (фиг. 4, б). При |х| < 1 область, где Т < 0, расширяется слева и справа (фиг. 3, г). Абсолютная величина скорости увеличивается (фиг. 4, д, ж).
Расчеты показали, что при Ог < -352 и Ог > 85 течение становится неустойчивым.
Производился анализ числа Нуссельта [11, 12], характеризующего интенсивность теплообмена на верхней и на нижней Ми- границах в зависимости от числа Грасгофа
Ми
= г дТ
\ дг
йх = -
г=1
2 дТО+2 дТ
. дг 3 дг _
г=1
Ки- = |
дТ дг
йх =
г=0
2 дТ0+2 дТ
_ дг 3 дг _
г=0
Фиг. 3. Изолинии функции тока и температуры в прямоугольной области {|х| < 1,0 < г < 1} при Ог = 10 (а, б) -350 (в, г) для 5 = 1, Рг = 6.7
Фиг. 4. Профили 7), 7, и, w (а-г) при 5 = 1, Рг = 6.7 и отрицательных значениях: Ог = -1, -200, -350 (1-3)
Расчеты показывают, что с ростом Ог число монотонно возрастает по линейному закону = 0.6666668 + 0.00259923Ог. При Ог = - 256.486267 число Нуссельта меняет знак с отрицательного значения на положительное (фиг. 5). Число Ми- отрицательно, монотонно растет по абсолютной величине по нелинейному закону.
Nu
0
-2
-4
■400
■200
0 Gr
Фиг. 5. Зависимость Ки+ от Ог на верхней (1) и нижней (2) границах при —350 < Ог < 85
Заключение. В рамках точных решений уравнений конвекции описаны течения и вычислен теплообмен в тонком слое несжимаемой жидкости при локализованном нагреве границ. Показано, что при небольших числах Грасгофа направление теплового потока меняет знак. Непосредственно в точке экстремума (Ог = 0) получено аналитическое решение задачи. В совокупности с известными решениями, описывающими теплообмен при линейном распределении температуры границ, результаты позволили рассчитывать тепловой поток через тонкую щель при произвольно заданном нагреве тонкого слоя жидкости, заключенного между теплопроводными массивами.
Работа поддержана в рамках тематического плана НИР ПГНИУ № 5.5061.2011, а также грантом РФФИ (№ 12-01-00023-а).
1. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1972. 392 с.
2. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Непомнящий А.А. Устойчивость конвективных течений. М.: Наука, 1989. 319 с.
3. Остроумов Г.А. Свободная конвекция в условиях внутренней задачи. М.: Гостехиздат, 1952.
4. Андреев В.К. Решения Бириха уравнений конвекции и некоторые его обобщения // Препринт №1-10, Красноярск: ИВМ СО РАН, 2010, 68 с.
5. Аристов С.Н., Шварц К.Г. Вихревые течения адвективной природы во вращающемся слое жидкости. Пермь: Изд-во Перм. гос. ун-т, 2006. 155 с.
6. Бекежанова В.Б. О смене форм неустойчивости стационарного течения двухслойной жидкости в наклонном канале // Изв. РАН. МЖГ. 2011. № 4. С. 24-34.
7. Кирдяшкин А.Г. Тепловые гравитационные течения и теплообмен в астеносфере. Новосибирск: Наука, 1989. 81 с.
8. Аристов С.Н., Князев Д.В., Полянин А.Д. Точные решения уравнений Навье-Стокса с линейной зависимостью компонент скорости от двух пространственных переменных // Теоретические основы химической технологии, 2009. Т. 43. № 5. С. 547-566.
9. Аристов С.Н. Вихревые течения в тонких слоях жидкости // Автореферат дисс. на соискание учен. степени д. физ.-мат. наук, Владивосток: ИАПУ, 1990. 32 с.
10. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978, 591 с.
11. Берковский Б.М., Полевиков В.К. Вычислительный эксперимент в конвекции. Минск.: Изд-во Университетское, 1988. 16
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.