КОНВЕКЦИЯ В КОЛЛОИДНОИ СУСПЕНЗИИ В ЗАМКНУТОЙ ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ ЯЧЕЙКЕ
Б. Л. Смородин* И. Н. Черепанов
Пермский государственный национальный исследовательский университет 614990, Псрлт, Россия
Поступила в редакцию 11 августа 2014 г.
Проведено численное моделирование обнаруженных экспериментально [1] колебательных режимов конвекции коллоидной суспензии наночастиц с большим аномальным коэффициентом термодиффузии в подогреваемой снизу замкнутой горизонтальной ячейке. Доказано, что источником колебательных режимов (бегущих волн) служит неоднородность концентрации вблизи вертикальных границ полости, возникающая за счет взаимодействия термодиффузионного разделения и конвективного перемешивания. Установлена зависимость числа Рэлея на границе существования режима бегущих волн от аспектного соотношения замкнутой полости. Определены пространственные характеристики возникающих бегущих
DOI: 10.7868/S0044451015020157 1. ВВЕДЕНИЕ
Конвекция коллоидных суспензий представляет собой объект интенсивного исследования, особенно в последнее десятилетие [1 10]. Интерес к этой проблеме связан, в частности, с возможностью управлять тепло- и массопереносом за счет обнаруженной в эксперименте бистабилыгости конвективных состояний [1,2], что может быть использовано в различных технологических ситуациях.
Коллоидные частицы, плотность которых превышает в несколько раз плотность среды носителя, подвержены гравитационной сегрегации, влияющей на характер конвективных течений [2,5,8,9]. Нано-частицы, стабилизированные сурфактантом, обладают положительным коэффициентом термодиффузии. В случае подогрева слоя снизу наночастицы в состоянии механического равновесия мигрируют к верхней холодной границе, усиливая неустойчивую стратификацию. Если при этом термодиффузионный поток превышает гравитационное оседание, то устанавливается стационарная конвекция, если преобладает гравитационное оседание, в некотором интервале чисел Рэлея существуют волновые режимы [10].
E-mail: bsmorodin'fflyandex.ru
Коллоидная суспензия, частицы которой ионно стабилизированы, обладает отрицательным коэффициентом разделения смеси. В этом случае при нагреве снизу термодиффузионная сегрегация и гравитационная седиментация направлены в одну сторону: в отсутствие конвективного перемешивания тяжелые наночастицы оседают и собираются у нижней нагретой границы слоя. В двухкомпонентной модели конвекции коллоидной суспензии (среда носитель примесь наночастиц) [5] учитывается не только конвективное перемешивание и разделение смеси, связанное с термодиффузией коллоидных частиц, но и гравитационная стратификация суспензии. Однако в случае больших по модулю значений коэффициента разделения смеси и в случае тонких слоев, толщина которых много меньше седиментационной длины [7], гравитационным оседанием частиц можно пренебречь и рассматривать только термодиффузионное разделение и конвективное перемешивание [6].
Большое различие в размерах молекул и коллоидных частиц, и, следовательно, большое различие диффузионных времен приводит к различному поведению конвективных течений в коллоидных суспензиях и молекулярных смесях на больших временах. Известно, что состояние механического равновесия горизонтального слоя в молекулярных бинарных смесях с коэффициентом разделения смеси -ф < —1 устойчиво, конвекция в этом случае
по возникает. Экспериментальные исследования конвекции коллоидной суспензии с параметром разделения -гр < ^7.5 в замкнутой ячейке [1] продемонстрировали существование долгоживущих колебательных режимов течения. В работе [1] отмечалось, что наблюдаемые результаты лишь частично объясняются известными теориями.
В данной работе представлены результаты численного изучения конвекции коллоидной суспензии, заполняющей замкнутую горизонтальную ячейку и обладающей отрицательной термодиффузией. Анализ нелинейных течений на основе предложенного в работах [9,10] подхода показывает возможность существования не только переходных, но и устойчивых колебательных режимов конвекцнн. Изучено влияние аспоктного соотношения ячейки на границу области существования бегущей волны. Критическое значение числа Рэлоя, при котором колебательный режим становится устойчивым, хорошо согласуется с экспериментальными данными [1].
2. СИСТЕМА УРАВНЕНИИ И МЕТОД РЕШЕНИЯ
Рассмотрим коллоидную жидкость, заполняющую прямоугольную ячейку с высотой Н и длиной 13,, находящуюся в поле тяжести На твердых идеально теплопроводных непроницаемых границах : 0. : I) (/г толщина слоя) поддерживаются разные постоянные температуры Т(0) = в/2 и Г (/г) = —0/2, что задает градиент температуры в жидкости, направленный вниз. В неподвижной жидкости неоднородность концентрации коллоидных частиц создается благодаря отрицательному эффекту термодиффузии Соре, наночастицы мигрируют к горячей границе. Введем систему координат следующим образом: ось х направлена вдоль длинной стороны ячейки, ось г перпендикулярно слою. На боковых границах ячейки поддерживается линейное распределение температуры.
В приближении Буссиноска [11,12] предполагается линейная зависимость плотности суспензии от температуры и концентрации:
р = ро(1- aST + МС).
(1)
где Ро средняя плотность; 6Т, 6С отклонение температуры и концентрации тяжелой компоненты от своих средних значений Г*, и С*: а, в коэффициенты соответственно теплового и концентрационного расширения.
Рассмотрим случай большой аномальной термодиффузии, когда содимонтационный и термодиффузионный потоки сонаправлонны. Если при этом гравитационная седиментация мала, то она, как отмечалось выше, не изменяет характер течения и ей можно пренебречь.
После использования безразмерных переменных на основе следующих масштабов: расстояния /г, времени /г1'/ \. скорости \//г, температуры 0, концентрации п0 /. давления р\2/Ь2 (г/ и \ коэффициенты соответственно кинематической вязкости и температуропроводности) система уравнений конвекции смеси, приведенная к безразмерному виду, в приближении Буссиноска запишется следующим образом:
ду
dt дт ~dt д£ dt
div v = 0
(vV)v = — V/> — i'rAv- IV R(7" — (")(!. (vV)T = AT, e= (0,0,1), (vV)C = Le [Л(С-И'Г)],
(2)
где V скорость жидкости, р отклонение давления от гидростатического.
Система уравнений (2) содержит следующие безразмерные параметры: Рг = /.'/ \ число Прандтля, Ье = I)/ \ число Лыоиса, И = да&1г'/число Рэлоя, ф = 5'т/?/П: параметр разделения смеси, £> коэффициент диффузии, 5'т коэффициент термодиффузии Соре. Кроме того, параметром задачи является аспектиоо соотношение горизонтального и вертикального размеров ячейки Ь = /3.//г.
Наличие аномальной термодиффузии приводит к тому, что концентрация тяжелой примеси становится больше в более нагретой жидкости. При увеличении разности температур увеличивается и интенсивность термодиффузиионного разделения.
Рассматривается случай твердых и идеально теплопроводных горизонтальных,
0 < х < L: v(x, 0) = v(x, 1) = 0, Т(х,0) = 0.5, Т(х, 1) = —0.5, н вертикальных,
0 < г < 1: с(0,г) = v(L,z) = 0, Г(0, г) = T(L, г) = 0.5-г,
границ слоя. Граничным условном для концентрации является обращение в нуль нормальной составляющей потока вещества на твердых горизонталь-
на)
(ЗЬ)
ас
дг
,дТ п = 0
при
= 0.1.
(4а)
и вертикальных,
дс дт
—--Ь 'Ф~г~ = 0 при .(; = 0. Ь. (4Ь)
дх дх
границах. Уравнения (2) с граничными условиями (3), (4) удовлетворяют условию отсутствия конвекции и допускают решение, при котором жидкость покоится. Распределения температуры и концентрации в состоянии механического равновесия не зависят от горизонтальной координаты и линейно зависят от вертикальной координаты:
Го = 0.5-г, С0 = -ф(0.о-г). (5)
При подстановке равновесных распределений температуры и концентрации (5) в уравнение для плотности (1), записанное в безразмерной форме, мы получим равновесное распределение плотности и его вертикальный градиент в коллоидной суспензии:
р= 1 - «©(Г - С) = 1 - «0(0.5 - г)(1 + </•),
др/д: = п&(1 + ф).
Видно, что при ■ф = — 1 градиент плотности обращается в нуль. Это говорит о том, что плотность является постоянной во всей ячейке. При нагреве снизу, в > 0 и ф < — 1, градиент плотности направлен вниз, что соответствует устойчивой вертикальной стратификации плотности. Таким образом, состояние механического равновесия с распределениями температуры и концентрации (5) является устойчивым относительно бесконечно малых возмущений даже при очень больших значениях градиента температуры.
Однако результаты эксперимента [1] свидетельствуют о том, что в случае однородного распределения концентрации наночастиц (при отсутствии начального градиента концентрации) в коллоидных суспензиях возможно существование устойчивых течений. Возникновение существенных неодно-родностей концентрации происходит за диффузионное время. Для коллоидных жидкостей отношение характерного теплового тт и диффузионного то = Л2/тг2Г? [13] времен тт/то = \/1) ~ 104. В связи с этим на временах много меньших диффузионного времени течения коллоидной суспензии схожи с течениями однородной жидкости. Однако возникающая в неоднородном тепловом поле за счет больших значений параметра разделения смеси большая неоднородность концентрации изменяет распределение сил плавучести и, как следствие, приводит к возникновению волновых режимов. Для получения ин-
формации о конечно-амплитудных течениях и нахождения областей параметров, в которых они существуют, необходимо решать нелинейную задачу (2) с граничными условиями (3), (4).
3. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ.
УСТАНОВЛЕНИЕ ВОЛНОВОГО РЕЖИМА
Для коллоидных жидкостей характерны малые значения коэффициента диффузии. Например, в случае коллоидной суспензии Hyflon MFA величина D = 1.30 • Ю-' см2/с [1]. Таким образом, характерное время, за которое протекают диффузионные процессы, то = h2/tt2D, очень большое. Для ячейки высотой h = 0.29 см, которая использовалась в экспериментальной работе [1], {то)max = h2/ir2D « « 6.47-104 с « 18 ч. Однако при установившемся конвективном течении диффузионные процессы протекают не только па масштабах толщины всей ячейки, но и в тонких пограничных слоях. Переходные процессы, возникающие при изменении вн
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.