Автоматика и телемеханика, № 8, 2010
© 2010 г. А.А. НЕСЕНЧУК, канд. техн. наук
(Объединенный институт проблем информатики НАН Беларуси, Минск)
КОРНЕВОЙ МЕТОД СИНТЕЗА УСТОЙЧИВЫХ ПОЛИНОМОВ ПУТЕМ НАСТРОЙКИ ВСЕХ КОЭФФИЦИЕНТОВ
Решается задача синтеза асимптотически устойчивого полинома на основе исходного неустойчивого. С целью ее решения вводится понятие расширенного (полного) корневого годографа полинома, который позволяет наблюдать динамику всех его коэффициентов одновременно, выделять корневые траектории, вдоль которых изменяются значения каждого коэффициента, устанавливать их взаимосвязь, что дает возможность использовать эти траектории в качестве "проводников" для перемещения корней в желаемые области. Значения коэффициентов, обеспечивающие устойчивость полинома, выбираются из найденных на указанных траекториях интервалов устойчивости как ближайшие к значениям соответствующих коэффициентов неустойчивого полинома или по какому-либо иному критерию, например обеспечения требуемого запаса устойчивости. Сфера применения корневого годографа, который традиционно используется для синтеза характеристических полиномов посредством вариации только одного параметра (коэффициента) полинома, расширяется на синтез полиномов путем изменения всех коэффициентов и с многими изменяющимися коэффициентами. Рассматриваются примеры применения разработанного алгоритма для синтеза устойчивых полиномов с постоянными и интервальными коэффициентами.
1. Введение
В области исследования и синтеза характеристических полиномов динамических систем существует значительное количество известных подходов и методов. Впервые необходимое и достаточное условие устойчивости систем до третьего порядка было сформулировано Джеймсом Максвеллом в 1868 г. Появившиеся позднее критерии устойчивости [1, 2] Рауса - Гурвица, Михайлова, Найквиста, Боде и ряд других позволили проверять устойчивость систем порядка п, причем частотный критерий Найквиста явился первым критерием, который можно было использовать для синтеза путем оценки степени устойчивости системы. Среди современных методов синтеза наряду с частотными [1, 2] можно отметить метод модального управления [3], позволяющий задавать желаемое расположение корней, корневого годографа [1, 2, 4-6], а также методы последовательной оптимизации контуров [7] и пространства состояний [1, 2], используемые для структурного синтеза, и ряд других.
Представляют большой интерес задачи об устойчивости, решаемые в современных постановках в робастном варианте. Основные результаты и направления в этой области изложены в книге [8].
Методы, предназначенные для анализа и обеспечения робастных свойств полиномиальных семейств, можно выделить в отдельную группу. Наиболее эффективное решение задачи исследования интервального семейства полиномов было предложено в [9], где в общем случае задача сводилась к рассмотрению только четырех определенных полиномов семейства с фиксированными коэффициентами. В работах [10-12] рассматриваются частотные критерии гурвицевой робастной устойчивости, позволяющие определить размах возмущений коэффициентов номинально устойчивого полинома для различных типов неопределенностей и классов систем. Гурвицева робастная устойчивость полиномов исследуется также в работах [13] и др. авторов [14, 15]. Корневой подход к проблеме излагается в [6, 16, 17].
Одной из сложных задач синтеза устойчивых полиномов и полиномиальных семейств является задача о нахождении ближайшего к заданному неустойчивому устойчивого полинома, которая ставится в [8]. Вариант решения близкой задачи синтеза устойчивого интервального полинома на основе заданного неустойчивого при расположении начальных точек семейства корневых годографов полинома в левой полуплоскости рассмотрен в [18], где устойчивость достигается простой настройкой граничных значений интервала изменения свободного члена полинома. Неустойчивый полином задается границами изменения действительных коэффициентов. В [19] на основе использования годографа Цыпкина - Поляка решается задача оценки расстояния от данного неустойчивого полинома до ближайшего устойчивого. Здесь определяется радиус неустойчивости заданного номинального неустойчивого полинома в частотной области.
В настоящей работе метод корневого годографа используется для нахождения устойчивого полинома на основе исходного неустойчивого путем последовательной настройки (корректировки) значений всех или некоторых коэффициентов исходного полинома. Данный метод снимает установленное в [18] ограничение на расположение начальных точек годографов полинома, т.е. может быть применен для произвольного полинома с коэффициентами из некоторой области вещественного пространства.
2. Постановка задачи
Определим характеристический полином вида
(1) дп(з) = вп + а^"-1 + ... + а„_1в + ап,
где а^ - действительные коэффициенты полинома, ] = 1, п.
Сделаем в уравнении (1) замену переменного, в = а + гш, и, выделив мнимую и действительную части, перепишем его относительно свободного члена в форме функции комплексного переменного
ап = -Т7~Т = f(s) = и(ст,ш) + п'(а, ш),
где и(а,ш) и у(а,ш) - действительные функции двух независимых переменных а и ш; у>(в) и ф(в) - полиномы комплексного переменного в.
Тогда при условии —то < ап < запишем уравнение корневого годографа
(2) ю(а,ш)= 0
и уравнение параметра [6]
(3) ап = и (а, ш).
Предположим, что полином (1) неустойчив и требуется настроить его коэффициенты таким образом, чтобы перевести его в устойчивое состояние, т.е. построить на его основе устойчивый полином. Эффективным средством синтеза устойчивых полиномов является метод корневого годографа. Однако, как известно, классический метод корневого годографа позволяет варьировать (настраивать) только один коэффициент полинома, а этого далеко не всегда бывает достаточно. Поэтому задача состоит в том, чтобы обобщить метод корневого годографа на случаи вариации произвольного количества коэффициентов и решить таким образом проблему синтеза (по определенному критерию) асимптотически устойчивого полинома на основе заданного неустойчивого. Для ее решения вводится понятие расширенного (полного) корневого годографа полинома.
3. Основные исходные положения
Под корневым годографом будем понимать корневой годограф Теодорчика -Эванса (КГТЭ) полинома [4-6].
Определение 1. Параметром или свободным параметром корневого годографа [18] алгебраического уравнения (полинома) назовем коэффициент этого уравнения или параметр динамической системы, описываемой этим уравнением, варьируемый по определенному закону с целью построения корневого годографа.
Если корневой годограф имеет параметр аи (] = к), то назовем этот годограф годографом относительно параметра (коэффициента) аи.
Определение 2. Свободным корневым годографом алгебраического уравнения (полинома) назовем корневой годограф этого уравнения, параметром которого является его свободный член.
Определение 3. Начальной точкой корневого годографа назовем точку, в которой начинается ветвь годографа и параметр годографа равен нулю.
Утверждение 1. Число асимптот свободного корневого годографа равно п.
Следствие 1. Каждая из п ветвей свободного корневого годографа стремится к или —ж, что определяется знаком ветви.
Следствие 2. Количество начальных точек свободного корневого годографа равно п.
(4)
4. Расширение полинома
Запишем следующую систему полиномов:
s + аЛ = gi(s) s2 + ais + a2 = g2(s)
sr + aisr-i + ... + av-is + av = gr¡ (s)
„n-l
E„
где
(5)
(6)
+ aisn 2 + ... + an-2s + an-i = gn-i(s) sn + aisn-i + ... + an-is + an = gn(s),
gr(s) = sr + aisr i + ... + ar-is + .
gr-i(s) = (gr(s) - ar)/s;
(4.1)
(4.2)
(4.n - 1) (4.n)
1] - порядковый номер полинома в системе (4), равный его степени, = 1,??; а^ -коэффициенты, ] = 1,?у.
Полиномы системы (4) имеют общие коэффициенты, но не общие корни.
Определение 4. Систему полиномов вида (4) назовем расширением полинома (1) или расширенным полиномом (1).
Определение 5. Расширенным или полным корневым годографом полинома (1) назовем совокупность свободных корневых годографов всех полиномов его расширения.
Определение 6. Полином дп-х(в) (6) назовем порождающим по отношению к полиному дп(в) (5), а корневой годограф полинома дг— х(в) относительно аj -порождающим годографом по отношению к свободному корневому годографу полинома дп(в).
гю 8 6 4 2
-10 -8 -6 -4 -2
Р1
Р2 *—1-
0 2 о -10 -8 Л
гю 8 6 4 2
-4 -2 -2
-4
-6
Р1
3 2 1
р2 р2 р2
0 2 о -12-10 -8 -6
гю 8 6 4 2
-4 -2 -2
-4
1 -6
+ -8
Р1
0о
а
+
+
+
3
+
2
Рис. 1.
Утверждение 2. Каждая начальная точка свободного корневого годографа полинома дп(в) (5) 'расширения (4) (за исключением расположенной в начале координат) при вариации некоторого коэффициента аj этого полинома в пределах определенного интервала значений, а^ < а^ а^, перемещается вдоль своей уникальной траектории, представляющей собой одну из ветвей корневого годографа полинома дп-1(в) (6), построенного относительно этого коэффициента, а ее текущее положение определяется в точке этой ветви, соответствующей текущему значению а^.
Следствие 3. Если полином дп-1(в), который является порождающим по отношению к полиному дп(в), асимптотически устойчив, то все начальные точки свободного корневого годографа порождаемого полинома дп(в), за исключением нулевой, располагаются в левой полуплоскости корней:
У в*-1 [Ие в*-1 < 0 ^ Ие р* < 0] , а их значения равны соответствующим значениям корней полинома дп-1(в):
(7) в*-1 = р*,
где в* - корни полинома дп(в); в*-1 - корни полинома дп-1(в); р* - начальные точки свободного годографа полинома д-п(в), значение каждой из которых равно соответствующему значению корня в*-1; / - порядковый номер корня (начальной точки), 1-1 = 1,1]— 1 •
Далее в качестве порождающего по отношению к свободному годографу дп(в) будем рассматривать свободный годограф дп-1(в).
Утверждение 2 иллюстрируется рис. 1-3. Ветви годографов на этих рисунках показаны утолщенными линиями, начальные точки - крестиками и буквой р, нижний индекс которой обозначает порядковый номер точки, а верхний - порядковый номер годограф
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.