Письма в ЖЭТФ, том 102, вып. 1, с. 56-59
© 2015 г. 10 июля
Коротковременная динамика трехмерной полностью фрустрированной модели Изинга
В. А. Мутайламов+1\ А. К. Муртазаев+*
+Институт физики ДНЦ РАН, 367003 Махачкала, Россия
* Дагестанский государственный университет, 367025 Махачкала, Россия
Поступила в редакцию 3 июня 2015 г. После переработки 9 июня 2015 г.
С ипользованием метода коротковременной динамики изучена критическая релаксация из низкотемпературного упорядоченного состояния трехмерной полностью фрустрированной модели Изинга на простой кубической решетке. Исследованы частицы с периодическими граничными условиями, содержащие N = 262 144 спинов. Вычисления проводились стандартным алгоритмом Метрополиса метода Монте-Карло. Получены значения статических критических индексов намагниченности и радиуса корреляции. Рассчитана величина динамического критического индекса для исследованной модели.
БО!: 10.7868/80370274X15130111
Исследование динамических критических свойств спиновых систем является одной из актуальных задач современной статистической физики и физики фазовых переходов. К настоящему времени в этой области достигнуты существенные успехи, обусловленные проведенными теоретическими и экспериментальными исследованиями. Тем не менее построение строгой и последовательной теории динамических критических явлений на основе микроскопических гамильтонианов является одной из центральных проблем современной теории фазовых переходов и критических явлений, которая все еще далека от своего решения.
В последнее время для изучения критической динамики моделей магнитных материалов стал успешно применяться метод коротковременной динамики (short-time dynamic) [1-5], в котором в рамках модели А (классификация классов универсальности динамического критического поведения Хальперина и Хоэнберга [6]) исследуется критическая релаксация магнитной модели из неравновесного состояния в равновесное. Традиционно считается, что универсальное скейлинговое поведение имеет место только в состоянии термодинамического равновесия. Однако было показано, что для некоторых динамических систем оно может реализовываться на ранних этапах их временной эволюции из высокотемпературного неупорядоченного состояния в состояние, соответствующее температуре фазового перехода [7]. Такое поведение реализуется по истечении некоторого
-^e-mail: vadim.mut@mail.ru
отрезка времени, который является достаточно большим в микроскопическом смысле, но остается малым в макроскопическом. Аналогичная картина наблюдается и в случае эволюции системы из низкотемпературного упорядоченного состояния [1,2].
Используя метод ренормгрупп, авторы [7] показали, что вдали от точки равновесия после микроскопически малого отрезка времени для к-то момента намагниченности реализуется скейлинговая форма
МЮ(Ь,т,Ь,т0) =
= В-к13/1,М{к\Ъ-Ч, Ь1/1,т, Ь^Ц Ьж°то0), (1)
где М- к-й момент намагниченности; £ - время; г - приведенная температура; Ь - линейный размер системы; Ь - масштабный фактор; ¡3 иг/ - статические критические индексы намагниченности и радиуса корреляции; г - динамический критический индекс; хо - новый независимый критический индекс, определяющий скейлинговую размерность начальной намагниченности то о.
При старте из низкотемпературного упорядоченного состояния (тоо = 1) в критической точке (г = 0), в предположении в уравнении (1) Ь = для систем с достаточно большими линейными размерами Ь теория предсказывает степенное поведение намагниченности в коротковременном режиме:
С1 = —. (2)
Коротковрешенная динамика трехмерной полностью фрустрпрованной модели Нзпнга
57
Логарифмируя обе части уравнения (2) и беря производные по г при г = 0, получаем степенной закон для логарифмической производной:
1
<9т1п М(1,
Г
Сц =
(3)
Для кумулянта Биндера рассчитываемого
по первому и второму моментам намагниченности, теория конечно-размерного скейлинга дает следующую зависимость при г = 0:
ит =
(.му-
-1 ~*с
Си =
(4)
Таким образом, в ходе одного численного эксперимента метод коротковременной динамики позволяет с использованием соотношений (2)—(4) определить значения трех критических индексов: /3, V и г. Кроме того, зависимости (2), построенные при различных значениях температуры, дают возможность найти величину Тс по их отклонению от прямой линии в двойном логарифмическом масштабе.
Нами с использованием данного метода исследована критическая релаксация из низкотемпературного упорядоченного состояния трехмерной полностью фрустрпрованной модели Изинга на простой кубической решетке. Данная модель была впервые предложена Вильяном [8] в двумерном случае на квадратной решетке для описания спиновых стекол. В дальнейшем она была обобщена для трехмерного случая Бланкштейном [9]. Схематически эта модель приведена на рис. 1.
Интерес к данной модели обусловлен тем, что при изучении фрустрированных систем основное внимание уделяется моделям на треугольной и гексагональной решетках, тогда как свойства моделей на кубической решетке исследованы мало. В том числе практически не изучено динамическое критическое поведение таких систем.
Гамильтониан фрустрпрованной модели Изинга может быть представлен в виде
н — — — ^^ JikSi.Sk, 5';. — ±1,
(5)
а,к)
где Бг - изинговский спин в узле решетки г; 1ц. - обменное взаимодействие между спинами для ферромагнитных (.1 > 0) и антиферромагнитных (.1 < 0) связей. Фрустрации в этой модели обусловлены конкуренцией обменных взаимодействий [8].
Исследовалась частица кубической формы с периодическими граничными условиями, содержащая Ь х Ь х Ь элементарных ячеек в каждом кристаллографическом направлении. Рассматривалась система с линейным размером Ь = 64, содержащая
Рис. 1. Полностью фрустрированная модель Изинга на простой кубической решетке. Белым цветом отмечены ферромагнитные связи (7 > 0), черным - антиферромагнитные (7 < 0)
N = 262 144 спинов. Данная величина Ь была выбрана как минимально необходимая для того, чтобы исключить влияние конечных размеров на получаемый результат [1].
Вычисления проводились стандартным алгоритмом Метрополиса метода Монте-Карло. Релаксация системы осуществлялась из начального низкотемпературного полностью упорядоченного состояния со стартовым значением намагниченности то = 1 в течение времени ^тах = 1000. В качестве единицы "времени" брался один Монте-Карло шаг на спин. Релаксационные зависимости вычислялись 50 000 раз. Полученные данные усреднялись между собой.
Критические температуры определялись по зависимости намагниченности от времени (2), которая в точке фазового перехода должна представлять собой прямую линию в двойном логарифмическом масштабе. Отклонение от прямой линии определялось методом наименьших квадратов. За критическую принималась температура, при которой это отклонение было минимальным. При определении Тс анализировались кривые намагниченности с шагом ДТ = 0.0001 в единицах обменного интеграла кьТ/\1\.
Логарифмическая производная в точке фазового перехода вычислялась аппроксимацией методом наименьших квадратов по трем зависимостям намагниченности от времени, построенным при температурах Тс — 0.01 , Тс и Тс + 0.01. На рис. 2 эти кривые приведены в двойном логарифмическом масштабе в
58
В. А. Мутайламов, А. К. Муртазаев
Рис. 2. Зависимости намагниченности от времени при трех значениях температуры
интервале времени t = [100; 1000] (здесь и далее все величины приводятся в условных единицах). Рисунок наглядно демонстрирует влияние температуры на поведение кривой намагниченности.
Полученные нами зависимости намагниченности, ее логарифмической производной и кумулянта Биндера от времени в критической точке в двойном логарифмическом масштабе в интервале времени I = [1; 1000] представлены на рис. 3, 4 и 5
Рис. 3. Зависимость намагниченности от времени в точке фазового перехода
соответственно. Точками на рисунках показаны результаты моделирования, а сплошными линиями -их аппроксимации методом наименьших квадратов по формулам (2), (3) и (4). Анализ графиков показал, что степенное скейлинговое поведение исследованной системы реализуется с момента времени порядка I = 100. Поэтому аппроксимации всех кривых проводились в интервале времени I = [200; 1000].
Рис.4. Зависимость производной логарифма намагниченности от времени в точке фазового перехода
Рис.5. Зависимость кумулянта Биндера от времени в точке фазового перехода
В таблице приведены полученные нами значения критической температуры, статических крити-
Критическая температура и критические индексы полностью фрустрированной модели Изинга
Параметр Данная работа [10] [И] [12]
тс 1.3487(1) 1.344(2) 1.355(2) 1.347(1)
/3 0.22(3) 0.21(2) - 0.25(2)
V 0.54(3) 0.55(2) 0.55(2) 0.56(2)
X 2.21(3) - - -
ческих индексов намагниченности и радиуса корреляции и динамического критического индекса. Для сравнения там же приведены результаты работ [1012], в которых исследовались статические критические свойства полностью фрустрированной модели Изинга. Как видно из таблицы, полученные нами для критической температуры и статических критических индексов результаты хорошо согласуются с данными этих работ. Значение динамического крити-
Коротковременная динамика трехмерной полностью фрустрированной модели Изинга
59
ческого индекса близко к теоретически предсказанному для анизотропных магнетиков (г = 2, модель А [6]). Отметим, что величина динамического критического индекса для исследованной модели получена впервые.
Результаты работы демонстрируют эффективность применения метода коротковременной динамики к изучению критических свойств трехмерных моделей с фрустрацией. Достоинством данного метода является то, что он позволяет в рамках одного численного эксперимента получить не только значение динамического критического индекса, но и значения статических критических индексов и критической температуры. Кроме того, при таком подходе не проявляется критическое замедление, поскольку пространственный радиус корреляции остается небольшим в коротковременном отрезке даже вблизи критической точки [7].
1. A. Jaster, J. Mainville, L. Schulke, and В. Zheng, E-Print a
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.