КОСЫЕ СОЛИТОНЫ, ГЕНЕРИРУЕМЫЕ ТЕЧЕНИЕМ ПОЛЯРИТОННОГО КОНДЕНСАТА МИМО ПРЕПЯТСТВИЯ
А. М. Камчатное* С. В. Корнеев
Институт спектроскопии Российской академии паук Ц2190, Троицк, Московская обл., Россия
Поступила в редакцию 1 февраля 2012 г.
Рассмотрено формирование косых солитонов течением поляритонного конденсата мимо препятствия. Из-за конечности времени жизни поляритонов течение поляритонного конденсата оказывается неоднородным, что существенно изменяет условия, необходимые для генерации косых солитонов, по сравнению с условиями, найденными ранее для течения атомного конденсата. В частности, установлено, что в по-ляритонном случае косые солитоны могут генерироваться дозвуковым течением конденсата в согласии с результатами недавнего эксперимента [9]. Геометрическая форма и другие параметры косых солитонов рассчитаны аналитически в рамках модели нелинейного уравнения Шредингера с затуханием, аналитические результаты подтверждены численным моделированием.
1. ВВЕДЕНИЕ
Полупроводниковые микрорезонаторы, в которых сильная связь между экситонами, возбужденными в помещенных в микрорезонатор квантовых ямах, и фотонными модами ведет к формированию так называемых микрорезонаторных поляритонов, привлекли в последнее время большое внимание в связи с проблемой конденсации поляритонов и другими аналогичными эффектами твердотельной физики (см., например, обзоры [1, 2]). Поляритеты имеют чрезвычайно малую массу тро/ порядка Ю-4 массы электрона, благодаря чему их конденсация становится возможной при температурах порядка нескольких градусов Кельвина и даже выше. Все параметры конденсата могут управляться с помогцыо резонансного лазерного излучения, и это преимущество поляритонного конденсата по сравнению с атомным использовалось в экспериментах по макроскопической когерентности поляритонов [3 5], образованию в конденсате квантованных вихрей [6], сверхтекучему течению конденсата мимо препятствий [7 10] и других незатухающих со временем течений [11].
Различные режимы течения атомного конденсата мимо препятствия в двумерной геометрии могут быть охарактеризованы соответствующим значени-
*Е-таП: катсЬ'Олкап.troitsk.ru
ем числа Маха М = и.о/сЙ, где и0 скорость течения однородного конденсата вдали от препятствия и сй скорость звука в этом конденсате [12]. Можно выделить следующие режимы: а) при 0 < М < 0.43 течение является сверхтекучим и наличие препятствия не приводит к генерации каких-либо возбуждений [13, 14]; б) при 0.43 < М < 1 течение генерирует на препятствии вихри, что соответствует обычному механизму потери сверхтекучести; в) при 1 < М < 1.44 становится возможным черепковское излучение звуковых волн, что ведет к формированию интерференционной картины вне конуса Маха в виде так называемых «корабельных волн» [15 18], генерация вихрей по-прежнему эффективна и вихри располагаются внутри конуса Маха в виде наклонных вихревых дорожек; г) при М > 1.44 вихревые дорожки трансформируются в косые солитоны [19], оказывающиеся эффективно устойчивыми, что объясняется переходом от абсолютной неустойчивости томных солитонов к их конвективной неустойчивости [20 22].
Диссипативная природа поляритонов существенным образом изменяет свойства волновых структур, генерируемых течением поляритонного конденсата мимо препятствия. Например, амплитуда черепковских волн быстро затухает при удалении от препятствия даже при наличии накачки поляритонов, как это было предсказано в работе [23] и подтверждено экспериментально в [7]. Еще сильнее ситуация в
течении иоляритониого конденсата меняется вне области накачки [9] или же при свободном распространении конденсатного облака [10]. Как было обнаружено в работе [9], устойчивые косые солитоны образуются уже дозвуковым течением с числом Маха М га 0.6 и упомянутая выше область 0.43 < М < 1 становится в поляритонном случае чрезвычайно узкой. Следует отметить, что в этом эксперименте конденсат был существенно неоднородным — его плотность уменьшалась с увеличением расстояния от области накачки вследствие диссипативных эффектов, а скорость течения увеличивалась благодаря наличию градиента давления. Таким образом, число Маха М стало в этом случае функцией от пространственной координаты. В настоящей работе мы разовьем теорию косых темных солитонов, генерируемых в неоднородном конденсате, и покажем, что затухание поляритонов существенно ослабляет условие перехода к конвективной неустойчивости темных солитонов в том смысле, что оно не выполняется лишь в конечной области пространства при числе Маха натекающего на препятствие конденсата, меньшем критического (М < 1.44). (Размер этой области увеличивается с уменьшением затухания и в пределе нулевого затухания эта область занимает все пространство, что воспроизводит результаты [20, 21] для атомного случая.) Таким образом, при дозвуковом течении конденсата, падающего на препятствие, и при достаточно большом затухании неблагоприятная для устойчивости косых солитонов область становится настолько узкой, что ее размер оказывается порядка ширины солитона. На таких расстояниях неустойчивость солитона никак не проявляется, что и объясняет результаты эксперимента [9].
2. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
Поляритоны имеют конечное время жизни и для поддержания их стационарной плотности необходима накачка. При уровне накачки выше определенного порога и соответствующем повышении концентрации поляритонов в состоянии с наименьшей энергией размер области пространственной когерентности поляритонов резко увеличивается и когерентность может распространиться на все поляритонное облако [3, 4]. Следовательно, состояние поляритонов в этом случае можно описать единой волновой функцией ф, динамика которой, с учетом отталкивающего взаимодействия между поляритонами, описывается уравнением Гросса-Питаевского. Затухание солитонов можно учесть с помощью дополнительного
30 х
Рис.1. Распределение плотности поляритонного конденсата в области х > 0 при значении коэффициента затухания 7 = 0.02. Препятствие расположено в точке х = 1.0, у = 0 и моделируется потенциалом 17, соответствующим непроницаемому диску с диаметром, равным единице. Параметры течения на границе области накачки: ро = 1.0, ио = 0.65. Белые линии показывают расположение солитонов согласно аналитическим формулам
(см. (9) и (13))
члена вида д^ = —7^ и в результате мы приходим к уравнению для динамики конденсата вне области накачки, которое запишем в стандартных безразмерных переменных:
11( т)ф — ¿7
(1)
где II(г) — потенциал препятствия, А — двумерный (г = (х,у)) оператор Лапласа, соответствующий реализуемой на практике геометрии микрорезонатора, составленного из двух плоских брэгговских зеркал с расположенной между ними квантовой ямой. В соответствии с экспериментом [9] мы предполагаем, что поляритонный конденсат создается в области х < 0 с плотностью ро и скоростью течения щ. Следовательно, в области х > 0 он эволюционирует согласно уравнению (1) и при х = 0 удовлетворяет граничному условию
Ф\х=о = л/роехр(ги0х).
Пример численного решения этой задачи показан на рис. 1. Аналогичное распределение плотности конденсата было найдено в численном решении более общей модели [24]. Однако простая модель (1) достаточна для нашей цели дать описание косых солитонов с учетом затухания поляритонов и к тому же
659
3*
она допускает более полное аналитическое исследование, так что мы ограничимся здесь этой моделью. Из рис. 1 видно, что плотность конденсата уменьшается с ростом х и косые солитоны образуются при дозвуковой скорости течения. Из-за неоднородности конденсата солитоны искривлены. Таким образом, наша задача развить аналитическую теорию этих эффектов и дать оценки главных параметров течения и генерируемых солитонов.
Удобно преобразовать уравнение (1) к гидродинамической форме с помогцыо подстановки
4' =
которая дает
ехр
u(r',t)dr'
Pi + V(pu) = -27 р,
u, + (u- V)u+Vp+V ( = -V£7.
(2)
(3)
(4)
Тогда граничные условия сводятся к следующим:
Р = Ро, и п,) при х = 0.
(5)
Уравнение (1) с 7 = 0, U(г) = 0 и однородной плотностью фона р = рь имеет решение в виде темного солитона, которое в системе отсчета с покоящимся конденсатом («о = 0) может быть записано как
/ л /, 1 - У2/Рь \ р„(.к, t) = рь < 1--^—. -} ,
\ 7)] J (6)
",(■>■■ I) = V'(l - рь/p„(xJ)),
где x координатная ось в направлении движения солитона. Найденное в работе [19] решение в виде косого солитона может быть получено из (6) преобразованием в систему отсчета, где солитон покоится, так что его скорость V компенсируется нормальной к солитону проекцией скорости течения. Нам надо найти, каким образом этот солитон деформируется в неоднородном конденсате и как изменяются условия его устойчивости. Обратимся сначала к вычислению распределений плотности и скорости в области неоднородного течения.
3. ТЕЧЕНИЕ ЗАТУХАЮЩЕГО КОНДЕНСАТА
Нас интересует стационарное течение, так что производные по времени в уравнениях (3), (4) равны
нулю. Если зависимость от координаты х не слишком быстрая, то в так называемом гидравлическом приближении дисперсионными членами тоже можно пренебречь и свести систему (3), (4) к уравнони-
(ри)х = -27 Р-
mi.
рх = 0,
(7)
где предполагается, что фоновое течение в пренебрежении наличием препятствия происходит лишь вдоль оси х. Всегда найдется такое значение .1:1, что при х > .г-1 это условие выполняется и течение с хорошей точностью можно считать гладким. Тогда в качестве начальных условий можно взять значения плотности р = р\ и скорости и = «1 при х = .1:1 и решать упрощенную систему (7), которая легко сводится к единственному уравнению
(р\/«1 + 2(pi - Р) ) =-2-)р
(8)
для плотности. Его решение с граничным условием р = р\ при х = XI дает распределение плотности рь(х) при х > XI. В неявном виде это решение выражается формулой
х = xi + (y/pi/l')X(pb/pi
О)
где
Х(р) = — (Mi — [M'l+2(1—р)]1/2)+(M'l + 2)1Z2 х
х 111
Mi = и,
{M'l + 2)1/'2 - Ml
(M? Щ и
2)!/2 _ [Д/2 + 2(1 - p)} 1/2
(10)
иь(рь) = \J-ul + 2(^1 - рь) (И)
фоновое распределение скорости течения. Эти формулы определяют распределения плотности рь и скорости течения иь как функции от х. Е
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.