ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА, 2010, том 73, № 5, с. 909-925
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ И ПОЛЯ
КРАТКОЕ ВВЕДЕНИЕ В ПЕТЛИ ВИЛЬСОНА И БОЛЬШИЕ Я
© 2010 г. Ю. М. Макеенко*
Институт теоретической и экспериментальной физики, Москва, Россия Поступила в редакцию 29.06.2009 г.
Дается краткое педагогическое введение в петли Вильсона, решеточные калибровочные теории и 1/М-разложение КХД.
1. ВВЕДЕНИЕ
Ниже дается краткое педагогическое введение в методы, используемые при непертурбативных исследованиях КХД и других калибровочных теорий. Основное внимание уделено петлям Вильсона, как на решетке, так и в непрерывном пределе, которые играют важнейшую роль в современных формулировках калибровочных теорий, и методу 1/Ы-разложения.
Для более глубокого изучения предмета можно порекомендовать учебник [1], который содержит подробные ссылки. В настоящем обзоре мы ограничимся ссылками только на несколько классических статей.
2. ПЕТЛИ ВИЛЬСОНА
Петли Вильсона суть фазовые факторы в абеле-вых или неабелевых калибровочных теориях. Петли Вильсона являются наблюдаемыми в квантовой теории (в отличие от классической, где наблюдаемы только напряженности электрического и магнитного полей) благодаря эффекту Ааронова— Бома. Петли Вильсона играют центральную роль в решеточной формулировке калибровочных теорий. КХД можно полностью переформулировать через петли Вильсона явно калибровочно-инвариантным образом. Аналоги петель Вильсона оказываются чрезвычайно полезными при решении различных матричных моделей.
2.1. Фазовые факторы в КЭД Абелев фазовый фактор определен формулой
U = exp
ie J dzuAu(z)
(1)
При калибровочном преобразовании
Л^г) ^ Л^г) + ^а(г) (2)
абелев фазовый фактор преобразуется согласно
и[Гух] ега(у)и[ГуХ]е-га(х). (3)
Волновая функция в точке х преобразуется при калибровочном преобразовании следующим образом:
ф) е1а(х)ф), (4)
следовательно, фазовый фактор преобразуется как произведение ^(у)^ (х):
и[Гух] - >(у)^(х)". (5)
После умножения на фазовый фактор волновая функция в точке х преобразуется как волновая функция в точке у:
и[ГухМх) &
и аналогично
ХФУ
(6)
(7)
Фазовый фактор осуществляет параллельный перенос в электромагнитном поле, и чтобы сравнить фазы волновой функции в точках х и у, нужно сначала выполнить параллельный перенос вдоль некоторого контура Гух из х в у. Результат зависит от формы контура, если только Л^(г) не есть чистая калибровка (напряженность поля (г) зануляется). Однако для пространств, которые не являются односвязными, имеют место тонкости (эффект Ааронова—Бома).
2.2. Пропагаторы во внешнем поле Рассмотрим квантовую частицу в классическом электромагнитном поле. Чтобы ввести электромагнитное поле, дц следует заменить на ковариантную производную:
E-mail: makeenko@itep.ru
du
Vu = du - ieAu (x).
(8)
г
yx
Рис. 1. Схема эксперимента, демонстрирующего эффект Ааронова—Бома.
Для пропагатора имеем
2.3. Эффект Ааронова—Бома
С(х,у,А) = ^ J йте~^
(9)
Ъх^(Ь) ехр
)=Уч
т
I лиЦг) +
+ге (Их^(г)А^(х(г))
Показатель экспоненты есть просто (евклидово) действие классической частицы во внешнем электромагнитном поле. Представление (9) пропагатора скалярной частицы во внешнем электромагнитном поле в виде интеграла по путям восходит к Фейнману.
Уравнение (9) можно по-другому переписать в виде
С(х,у; А) =
(10)
ЕехР
-В^АГуА+ге ! АхМДх)
где параметрически-инвариантный интеграл по М представлен в форме контурного интеграла вдоль траектории Гух:
Ах» = Аг х^(г).
(11
Амплитуда перехода квантовой частицы в классическом электромагнитном поле дается суммой по путям от абелевого фазового фактора (1).
Поперечные компоненты электромагнитного поля описывают фотоны. Продольные компоненты "калибруют" фазу волновой функции, т.е. позволяют сравнивать ее значения в различных точках пространства-времени, когда электрон помещен во внешнее электромагнитное поле.
В квантовой механике сама волновая функция не является наблюдаемой. Наблюдаема только разность фаз, например, с помощью явления интерференции. Разность фаз зависит от значения фазового фактора для данного пути Гух, вдоль которого осуществляется параллельный перенос.
Фазовые факторы наблюдаемы в квантовой теории, в отличие от теории классической. Это проявляется в эффекте Ааронова—Бома [2], принципиальная схема которого изображена на рис. 1. Электроны не проникают внутрь соленоида, где сконцентрировано магнитное поле. Тем не менее между пучками электронов, прошедших через две разные щели, возникает разность фаз. Интерференционная картина меняется при изменении величины электрического тока.
Разность фаз зависит от (вещественной части) фазового фактора
ехр
х ехр
ге ! йх^А^(х)
Г+
г ух
(12)
= ехр
-г^ йх^А^(х)
г ух
ге £ Ах^А^(х)
х
0
х
0
0
г
г
ух
X
г
ехр
ге <1а,и Г,
е
гвИв
где замкнутый контур Г составлен из Гу+Х и Г-у.
Итоговое выражение не зависит от формы Гу+Х и
Г-Х, а определяется только ИБ — магнитным потоком через соленоид.
2.4. Теории Янга—Миллса
Современные теории фундаментальных взаимодействий суть калибровочные теории. Принцип локальной калибровочной инвариантности был введен Г. Вейлем для электромагнитного взаимодействия по аналогии с общей ковариантностью в эйнштейновской теории гравитации. Обобщение на неабелеву калибровочную группу было дано в 1954 г. Янгом и Миллсом [3].
Важную роль в калибровочных теориях играет фазовый фактор, который задает параллельный перенос во внешнем калибровочном поле. Как уже сказано, фазовые факторы наблюдаемы в квантовой теории, в отличие от теории классической.
Принцип локальной калибровочной инвариантности основан на калибровочном преобразовании ^4.) поля материи ф, имеющем вид
ф'(х) = П(х) ф(х).
ф(х)
Здесь &(х) е С и С является полупростой группой Ли, которая называется калибровочной группой (С = Би(3) для КХД). Уравнение (13) показывает, что ф принадлежит фундаментальному представлению С.
Для унитарной калибровочной группы П-1(х) = &(х),
А,(х) ~" А,(х) = = П (х) А, (х) & (х) + № (х) (х).
Удобно ввести эрмитову матрицу А,(х): [А, (хГ = д £ А, (х) [1Т,
а
(17)
(13)
(14)
в то время как для других групп Ли в приведенных ниже формулах следует заменить О^(х) на 0-1(х). Эрмитово сопряжение уравнения (13) дает
ф^(х) ф'^(х) = ф^ (х) ^ (х). (15)
По аналогии с КХД калибровочную группу С = = Би(Ы) обычно ассоциируют с цветом, а соответствующий индекс г у поля фг(х) называют цветовым индексом.
Калибровочное преобразование (13) поля материи ф можно компенсировать преобразованием неабелева калибровочного поля А,, принадлежащего присоединенному представлению группы С:
(16)
где д — калибровочная константа связи.
Матрицы [га]гз являются генераторами группы С (а = 1,...,М2 - 1 для Би(Ы)), которые нормированы так,что
1х гагь = 5аЪ, (18)
где 1х — след по матричным индексам г и ].
Часто используется другая нормировка генераторов с дополнительным фактором 1/2, когда = что обусловлено историческими причинами, в частности, 1а = аа/2 для группы Би(2), где аа суть матрицы Паули. Это приводит к переопределению константы связи:д2 = 2д2.
Уравнение (17) можно обратить, что дает
1
АЦх) = -ЪА11 (х)1а.
Подставляя
П(х) = ега(х), получим для бесконечно малого а:
Здесь
5А,(х) =. Ч^а(х). а = д,а - г [А,, а]
(19)
(20)
(21)
(22)
обозначает ковариантную производную в присоединенном представлении группы С, а
ф = д,ф - гА,ф (23)
— ковариантную производную в фундаментальном представлении.Очевидно,что
^Б(х) = [^",Б(х)], (24)
где Б(х) есть матричнозначная функция х.
Действие КХД выглядит в матричных обозначениях как
(25)
Б [А, ф, ф] =
= у «Ах где
•Фъ (ди - ¿АО Ф + тфф +
1
47
= д А - диА, - г [А,, Аи] (26)
обозначает (эрмитову) матрицу напряженности неабелевого поля.
Это действие инвариантно относительно локальных калибровочных преобразований, поскольку
(х) П(х)Г,и(х)П^(х) (27)
или
ёГ^(х) — (х),а(х)\
[V (х) — гК [V (х),а(х)] (28)
для бесконечно малого калибровочного преобразования.
Для абелевой группы С — и(1) воспроизводятся формулы для КЭД.
2.5. Неабелев фазовый фактор (петля Вильсона)
Чтобы сравнить фазы волновых функций в разных точках, необходимо определить, как осуществляется параллельный перенос в неабелевом поле. Соответствующее обобщение абелевой формулы (1) есть
и [Гух] — Р ехр
г Лц(г)
(29)
Хотя матрицы Л^(г) и не коммутируют, упорядоченная по пути экспонента в уравнении (29) определена однозначно. Это становится ясным, если переписать фазовый фактор в эквивалентном виде
Р ехр
Р ехр
г у Л^(г)
Гух Т
г У йи[(г)Л[ (г(г))
. о
(30)
Упорядоченная по пути экспонента в уравнении (29) понимается следующим образом:
Т
и[Гух] —Ц[1 + гЛИ[(1)Л[Ш)] . (31)
4=0
Воспользовавшись (11), уравнение (31) можно также записать в виде
и[Гух] — П [1 + г^Л[(г)].
(32)
геГу
Если контур Гух дискретизован, неабелев фазовый фактор аппроксимируется как
и [Гух] — (33)
м
Иш
М—>оо
п
1=1
1 + г(ъ - ъ-1УЛ[
Zí + ¿¿-1 2
что очевидным образом воспроизводит (32) в пределе г-1 ^
Неабелев фазовый фактор (29) является элементом самой калибровочной группы С, в то время как Л[ принадлежит алгебре Ли группы С.
При эрмитовом сопряжении матрицы перестраиваются в противоположном порядке:
и^[Гух] — и [Гху]. (34)
Здесь Гух означает, что контур ориентирован из х в у, а Гху — противоположную ориентацию из у в х. Противоположные ориентации приводят к обратному порядку умножения матриц в упорядоченном произведении.
Фазовые факторы обладают "зигзаг"-симмет-рией
и [Гух]и [Гху] — 1, (35)
которая является следствием упорядоченного векторного интеграла.
Матрица Лц в дискретизованном фазовом факторе (33) выбрана расположенной в центре г-го интервала, чтобы удовлетворить уравнению (35) при конечной дискретизации.
При калибровочном преобразовании (16) и[Гух] изменяется как
и [Гух] &(у) и [Гух] & (х). (36) Данная формула вытекает из того факта, что
[1 + idz¡Л[(г)] [1 + idz¡Л'¡(z)] — (37)
— П(г + dz) [1 + idz¡ Л[(г)] & (г).
Это можно доказать, подставив (16) в определение (32) и заметив, что &^) и сокращаются в промежуточных точках z.
Как следствие (36), поле Щ(х), параллельно перенесенное с помощью ма
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.