Автоматика и телемеханика, № 7, 2014
© 2014 г. Е.А. КАЗАКОВЦЕВА (martynova87@mail.ru) (Омский государственный университет), В.В. СЕРВАХ, д-р физ.-мат. наук (svv_usa@rambler.ru) (Омский филиал Института математики СО РАН)
КРЕДИТОВАНИЕ И АНАЛИЗ НАДЕЖНОСТИ РАСПИСАНИЙ В ЗАДАЧЕ КАЛЕНДАРНОГО ПЛАНИРОВАНИЯ ПРОЕКТОВ1
Продолжены исследования авторов по задаче максимизации прибыли при календарном планировании инвестиционных проектов с учетом реинвестирования получаемого дохода и возможности использования кредитов. Построены соответствующие модели, описана ситуация, когда только часть работ выполняется за счет собственных средств и кредитов, а остальные - за счет реинвестирования получаемого дохода. Проводится исследование задачи календарного планирования, в которой поступления от выполнения работ являются случайными величинами. Исследуются риски, связанные как с недополучением ожидаемого дохода, так и с невыполнением проекта. Предлагается подход к оценке надежности расписаний выполнения работ.
1. Введение
Теория расписаний, возникшая в конце 50-х гг. XX в., в настоящее время стала важной составляющей организационных, производственных и экономических процессов. Огромную роль в становлении этого направления комбинаторной оптимизации сыграла Белорусская школа, созданная Вячеславом Сергеевичем Танаевым. Работы [1-4] и многие другие являются источником получения качественной систематизированной информации, базой для дальнейших исследований. Первые результаты авторов по представленной в данной статье тематике были доложены на конференции в Минске в 2000 г. [5].
Задача календарного планирования заключается в определении сроков выполнения взаимосвязанных работ с учетом технологических и ресурсных ограничений. Многочисленные постановки этой задачи различаются критериями, видами и характером потребления ресурсов, технологическими ограничениями и другими параметрами [6]. В данной статье исследуются задачи, связанные с реализацией производственных инвестиционных проектов. Отметим, что такие проекты, как правило, носят долгосрочный и среднесрочный характер, и большинство ресурсов может быть трансформировано в финансовый ресурс, который является складируемым. В [7] показано, что задача со складируемыми ресурсами и критерием общего времени завершения работ проекта полиномиально разрешима. Однако задача максимизации прибыли
1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты № 12-01-00184a и № 12-01-00122) и гранта целевой программы СО РАН (интеграционный проект № 7Б).
проекта КР-трудна в сильном смысле [8]. Кроме того предполагается, что полученный от выполнения работ доход реинвестируется. Реинвестирование также делает задачу КР-трудной в сильном смысле даже для критерия общего времени завершения работ [9].
Одним из важных аспектов инвестиционных проектов является кредитование. Будем рассматривать две принципиально разные постановки. В первой из них выделенные на проект кредиты фиксированы. В такой ситуации выплаты по кредитам влияют на прибыль, но в постановке сохраняются ограничения на ресурсы, а кредиты можно рассматривать как обычный ресурс. При этом задача остается КР-трудной в сильном смысле. Во второй постановке в любой момент времени допускается привлечение кредитных средств в любом объеме. В этом случае ограничений нет, но за дополнительные ресурсы приходится платить.
Другой составляющей инвестиционных проектов является риск, связанный либо с недополучением прибыли, либо с полным провалом проекта. Требуется построить такое расписание выполнения работ проекта, которое гарантировало бы его завершение и высокую вероятность получения планируемого размера прибыли. В данной работе предложен подход к оценке рисков заданного расписания.
В разделе 2 описана постановка задачи календарного планирования с ограниченными ресурсами и критерием чистой приведенной прибыли. Модель с кредитами строится в разделе 3. Приведена интересная и важная модель кредитования для случая технологически независимых работ. Получены условия, при которых для максимизации прибыли выгодно кредитовать только часть проекта, а остальную часть финансировать за счет реинвестирования дохода, поступающего от выполнения работ. В разделе 4 дан иллюстративный пример рисков, введено понятие надежности расписания выполнения работ, определяется вероятность невыполнения проекта. Подход к оценке рисков в задаче с кредитами предложен в разделе 5.
2. Задача календарного планирования с ограниченными ресурсами
и NPV критерием
Под инвестиционным проектом будем понимать множество взаимосвязанных работ V = {1, 2, ...,п}, направленных на получение прибыли. Взаимосвязь задается технологией выполнения работ проекта и определяется частичным порядком Е на множестве V. Рассматривается единственный вид ресурса - финансовый. Предполагается, что на начало года £ = 1, 2,... ,Т имеются фиксированные финансовые ресурсы в объеме К (£), где Т - период планирования проекта. Эти величины могут включать и предварительно выделенные кредиты с соответствующими выплатами процентов. В такой ситуации допускаются отрицательные значения К (£). Длительность работы ] € V равна pj, а потребность в капиталовложениях составляет к^ (т), т = = 1, 2,... ,pj. Здесь т означает год, отсчитываемый от момента начала работы, а £ - от начала выполнения всего проекта. Доход, получаемый от выполнения работы, распределен по времени и задан размерами поступлений cj(т).
При реализации финансовых операций предполагается, что имеется альтернативное безрисковое ликвидное размещение капитала под ставку го. Разместив капитал Ко в момент to под ставку го, к моменту t он увеличится до величины Kt = Ко(1 + ro)i-i°. Тем самым капитал Kt в момент времени t эквивалентен капиталу в момент to- Операция приведения к определенному моменту времени называется дисконтированием и позволяет сравнивать деньги в разные моменты времени.
Величина
NPV = у ^ilL
называется чистой прибылью работы j € V, приведенной к началу ее выполнения (Net Present Value). Если NPVj > 0, то работа приносит прибыль. Это означает, что вложенный в эту работу капитал приносит доход больше, чем его альтернативное безрисковое размещении под ставку го.
Обозначим через Sj момент начала выполнения работы j € V. Вектор S = = (si,S2,... ,sn) называется расписанием выполнения работ проекта. В силу целочисленности длительностей pj и дискретности потока платежей достаточно рассмотреть расписания с целыми Sj. Обозначим через Nt = = {j € V | Sj ^ t < Sj + pj} множество работ, выполняемых в интервале [t, t + 1), t € Z+. Расписание S допустимое, если:
• сохраняется заданный частичный порядок выполнения работ
Si + Pi ^ Sj, (i,j) € E;
• в каждый момент времени с учетом реинвестирования дохода и размещения свободного капитала под ставку го финансовых ресурсов достаточно для выполнения работ проекта
t* t* t*
k3(t-s,) у Ktt) у у Ф-Sj) t* = 0,l,...,T-l.
^ ^ (1 + roY ^(1 + roY ^^ (1 + roY
t=о jeNt v ' t=o v 0J t=о jeNt v '
В данном неравенстве учитывается возможность размещения свободного капитала под ставку го.
Требуется определить допустимое расписание выполнения работ, при котором общая приведенная прибыль будет максимальной. Чтобы просуммировать прибыль от всех работ, требуется величины NPVj привести к моменту времени t = 0. Тогда целевая функция будет выглядеть следующим образом:
NPV(S) = У , NPV{--> max.
fyr (1 + гоУ
Задачу календарного планирования с критерием NPV впервые сформулировал Расселл [10] в 1970 году. Различные постановки рассматривали Эл-маграби, Херроэлен, Дэмеулемеестер, Паттерсон, Улусой, Янг [6, 11-15] и многие другие авторы. Отметим также работы новосибирских авторов, например [16].
3. Модель задачи с кредитами
Опишем модель задачи календарного планирования при наличии возможности использования кредитов. Задача с кредитами рассматривалась ранее в [17], где, в частности, показано, что любой долгосрочный кредит может быть заменен последовательностью годовых кредитов. Это позволило ввести только один дополнительный тип переменных О(Ь) - размер кредита, взятого в год Ь.
Через N = { ; € V | Sj ^ Ь < Sj + pj} обозначим множество работ, выполняемых в интервале [Ь,Ь + 1), Ь € 2 +. Тогда модель с кредитами и реинвестированием прибыли имеет вид:
построить расписание выполнения работ Я = (sl, S2,..., sn), при котором
• соблюдается технологический порядок выполнения работ
Si + Pi ^ Sj, (г,;) € Е;
• в каждый момент времени Ь* € сохраняется положительный платежный баланс с учетом взятых кредитов, выплат по ним, реинвестирования дохода и размещения свободного капитала под ставку г0:
V ( к{г) + V ф-83)-к3(1-83) р^)-(1 + г)Р(г-1) .
• чистая приведенная прибыль с учетом выплат по кредитам достигает максимального значения:
„рую = V ыру> + V т-а+гЩ1-1) ^ (1 + '•»)•'' ¿1 (1 + го)*
где Т - горизонт планирования проекта, ^(0) = 0 и О(Т) = 0. Заметим, что при = 0, Ь = 0,1,..., Т, получается рассмотренная выше модель с ограниченными ресурсами.
Задача календарного планирования при возможности использования кредитов не является тривиальной и представляет определенный интерес для математиков. До сих про неизвестна ее вычислительная сложность. В [17] приведен пример, когда кредиты выгодно использовать при ставке по кредиту выше относительной прибыльности каждой работы. Другой интересный факт заключается в том, что раннее расписание выполнения работ может быть не оптимальным даже для случая, когда внутренняя норма прибыли каждой работы больше ставки по кредиту. В данном разделе продолжены исследования этой задачи. Построена модель ситуации, в которой одинаковые технологически независимые работы только частично финансируются за счет кредита, а остальные - за счет реинвестирования дохода. Это наводит на мысль, что вопрос оптимизации объемов кредитования в задаче календарного планирования является достаточно сложным.
Целью построенной далее модели является обоснование необходимости оптимизации кредитных заимствований. Рассмотрим проект, в котором имеется N идентичных и технологически независимых работ единичной д
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.