КРИСТАЛЛОГРАФИЯ, 2010, том 55, № 6, с. 997-1002
= ТЕОРИЯ
УДК 535.3
Посвящается памяти Б.Н. Гречушникова
КРИСТАЛЛЫ С ОТКРЫТОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ ВОЛНОВЫХ ВЕКТОРОВ: ОСОБЕННОСТИ ОТРАЖЕНИЯ И ВОЗМОЖНОСТИ СОЗДАНИЯ
ПЛОСКИХ ЛИНЗ © 2010 г. О. С. Ерицян, А. А. Лалаян, О. М. Аракелян, А. А. Папоян, Р. Б. Костанян*
Ереванский государственный университет, Армения E-mail: alalayan@ysu.am * Институт физических исследований НАН Армении, Ереван Поступила в редакцию 19.10.2009 г.
Исследована частотная зависимость коэффициента отражения кристалла MgF2 в области частот 200—800 см-1 при различных ориентациях оптической оси. Проведено сравнение результатов измерений с расчетными. Сравнение подтверждает открытый характер поверхности волновых векторов для необыкновенной волны. Это дает возможность фокусировки расходящегося пучка при его преломлении на плоской границе, перпендикулярной к оптической оси кристалла. Приведены расчеты по фокусирующему действию плоскопараллельной пластины кристалла MgF2.
ВВЕДЕНИЕ
В последнее время наблюдается большой интерес к средам с одновременно отрицательными диэлектрической и магнитной проницаемостями [1—7]. Этот интерес имеет как теоретический аспект, так и прикладной, заключающийся, в частности, в возможности создания плоских линз [8, 9] на основании упомянутых выше сред, которые могут быть созданы искусственно [3, 10].
Одна из задач настоящей статьи — показать, что плоские линзы могут быть созданы также на основании других типов сред, а именно, из немагнитных анизотропных оптически одноосных кристаллов, у которых одна из компонент диэлектрического тензора положительная, а другая — отрицательная. Такие среды впервые рассмотрены в [11]. Показано, в частности, что поверхность волновых векторов (ПВВ) у них имеет необычный вид, а именно является не замкнутой поверхностью, а открытой. Кристаллы, у которых компоненты диэлектрического тензора имеют разные знаки, в силу открытого характера ПВВ обладают рядом неординарных оптических особенностей, в частности, во взаимной ориентации волнового вектора и вектора Пойнтинга [12], что дает возможность фокусировки пучка с помощью плоскопараллельной пластинки. Отметим, что, как показано в [13, 14], разные знаки у компонент диэлектрического тензора имеют место, например, у природных кристаллов М§Б2, КМ§Б2 и 1Ю2.
В задачу настоящей статьи входит изучение особенностей отражения от поверхности кри-
сталла М§Б2, обусловленных присутствием отрицательной компоненты у (штрихом обозначена действительная часть), и, следовательно, открытым характером ПВВ.
ГРАНИЧНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ПЛАСТИНКИ
Пусть плоскопараллельная пластинка из одноосного кристалла занимает область 0 < г < d в вакууме. Плоская монохроматическая волна
Е' (г, 0 = Е' ехр ''(кхх + к- ®0 (1)
падает под углом 0 из области г < 0 на границу кристалла г = 0. Рассмотрим граничную задачу о прохождении световой волны через пластинку и отражении от нее.
В пластинке распространяются четыре волны: две прямые, идущие от первой границы (I = 0) пластинки ко второй и отличающиеся поляризациями (обыкновенная и необыкновенная волна), и две обратные, также различающиеся поляризациями. Поля прямых волн обозначены ниже индексом "+", поля обратных волн — индексом " — ". Обыкновенные волны отмечены индексом "о", необыкновенные волны — индексом "е".
Выразим с помощью волнового уравнения х- и у-проекции электрического поля каждой из волн через ¿-проекцию:
F
2 2 / + \2 kxsin 9cosф(е± -S||) + (kz ) cosф ;
kezkx&\\
Е -
Eey —
(k+el)2 e_L + kx2(CQS2 фБ || + sin2 фБ j)
tg^Eez, (2)
Е±х = - Е±у = -е18ф ^,
кх кх
где ф — угол между оптической осью кристалла и осью х, бц — компонента тензора диэлектрической проницаемости в направлении оптической оси кристалла, б ± — компонента тензора диэлектрической проницаемости в перпендикулярном к этой оси направлении.
С использованием соотношений (2) граничные условия непрерывности тангенциальных проекций полей принимают вид
ауЕу = А, /,] =1, 2, 3, 4, (3)
где
E2 — Eez 1 Е3 — Eo
Ел = E„
E — E
Нами рассмотрены два случая: I — оптическая ось кристалла лежит в плоскости поверхности пластинки хОу (плоскость границы) и составляет угол ф с осью х; II — оптическая ось кристалла перпендикулярна к поверхности пластинки.
В случае I коэффициенты aу равны: an = (a+x + b+ey cos 0), an = (a+, cos 0 - b^),
b + = _ c (k+z)2s ± + k2(s ± sin2 ф + S||Cos2 ф) (5)
ex Ю kxE|| '
b + c (keZ)2s ± + k2(s ± sin2 ф + sncos2 ф)
-'ey
Ю
kxSii
kez —
k 2
2 kx
i 2 . 2 Л cos ф sin ф
V s^ s!i yj
6|b
а Ai равны:
A1 = 2E'x, A2 = 2E'y cos 0, A3 = 0, A = 0. (6) Коэффициенты a2i в (4) получаются из an заменой k+z на k-z (k-z = -keZ). Коэффициенты a3i равны:
a3i = (a+x + bOy cos 0), a32 = (aOy cos 0 - bOX) a33 = (a+x - b+y cos 0)e'kozd, a34 = (a+y cos 0 + b+Jelk°d,
(7)
где
a+x = » b+y = , aOy = ctg9,
kx С kx kx
koz i + _ 1 + ko
b+x = ckozctg9, koz = J^ s± - kl
ю kx
(8)
ai3 = (a+x - b+y cos 0)e
ai4 = (a+y cos 0 + b+x)e'kad,
где 8 — угол падения,
+ _
aex =
+ _
aey
kl sin2 ф(£± -£||) + (ke+.)2Sx
kezkx&\\
(k+fs ± + k2(s ± sin2 ф + бц cos2 ф)
kezkxs\\
tgф,
(4) Коэффициенты а4г- получаются из а3г- заменой к+
на к— (к- = -к+).
В случае II оптическая ось лежит в плоскости падения и составляет угол ф с осью г. В этом случае ограничимся ситуацией, когда падающая волна имеет ^-поляризацию. При такой поляризации в пластинке возбуждается только необыкновенная волна, вследствие чего вместо системы из четырех уравнений (3) имеем систему из двух уравнений. Ненулевые коэффициенты ау в (3) равны:
c 2k+
a11 = 1 + A+, a21 = 1 - A+e ezd, a21 = 1 + Aa22 = 1 - A~e ezd, A1 = 2E'x, A2 = 0, A1 = (Kz - axkx), (9)
ю
2 2 ± (в± cos ф + Бц sin ф^ + (s± - S||)kez sin ф cos ф
2 2 ± ' (Бц cos ф + в± sin ф^^ + (в± - s||)kx sin ф cos ф
(10)
где
kez —
x
1 1
sin ф cos ф ±
ill)_
Ю
cos
cos
sin
sin
S |S||
(11)
где ф — угол между оптической осью и осью г.
a
c
лех 7500 " (а) У?
5000 - // /
1 ^2500 1 1 / 1 [ 1 1
-7500 ! -2500// -2500 2500 7500 " \
^ -5000 - х^Х
-7500 -
^х 8000 (б)
4000 | 1 \ / 1 1
-8000 -4000 / / - 4000 4000 8000 \ ^-ег
8000 - \\
Рис. 1. Сечение поверхности волновых векторов однородных необыкновенных волн в кристалле плоскостью, проходящей через оптическую ось. Частота па-
1
Я, %
100 75 50 25
0
400 500
0 700 800 ю, см-1
дающей волны ю = 2/0 см е^ = —7.309, е_1_ =
= 0.998277, Еу = 6.862, Еу = 0.297; к'е, к'; - действительная и мнимая части волнового вектора.
На рис. 1а приведена зависимость х- и г-про-екций действительной части к; волнового вектора к; = к; + 'к; однородной необыкновенной волны в кристалле от угла р между к';х и оптической осью кристалла, параллельной оси г. По оси х отложено к';х, а по оси г — к';г. Рисунок можно рассматривать также как полярную диаграмму зависимости модуля к'а от угла р: модуль к'а равен модулю радиус-вектора, проведенного из начала координат в данную точку М. На рис. 1б показана та же зависимость для мнимой части к;'. Поверхности, описывающие зависимости к;х и к;г от направления ка в пространстве, получаются вращением вокруг оси г приведенных на рис. 1а, 1б за-
Рис. 2. Частотная зависимость коэффициента отражения для кристалла при угле падения 9 = 20°. Точками указаны экспериментальные значения, сплошная линия — расчетная кривая. Оптическая ось кристалла перпендикулярна его поверхности.
мкнутых кривых. Параметры кристалла на частоте падающей волны ю = 270 см-1 следующие: Е ^ = —7.309, е " = 0.998277, Е у = 6.862, Е;[ = 0.297. Как видно из рисунков, поглощение действительно замыкает ПВВ, но остаются области с вогнутыми поверхностями, характерные для гиперболоида вращения.
ЭКСПЕРИМЕНТ. СРАВНЕНИЕ С РАСЧЕТНЫМИ РЕЗУЛЬТАТАМИ.
ОБСУЖДЕНИЕ
Измерения коэффициента отражения проводились на спектрофотометре '^ресогё" М-80 в спектральной области (200—800) см-1. Ориентированные образцы кристалла М§Б2 были вырезаны в форме плоскопараллельных пластин толщиной 1 мм.
На рис. 2 приведен частотный спектр коэффициента отражения в области от 200 до 800 см-1 в случае, когда оптическая ось перпендикулярна поверхности кристалла и угол падения 0 = 20°. Заштрихованы над осью частот области, в которых еV < 0, а под осью частот - области, в которых Еу < 0. На рис. 3 представлены результаты, аналогичные рис. 2, но при угле падения 70°.
В обоих случаях коэффициент отражения в областях, где еV < 0, становится намного больше, чем в средах с замкнутой поверхностью волновых векторов. Рисунок 4 соответствует случаю, когда 0 = 20°, а оптическая ось лежит в плоскости поверхности кристалла. При этом частота фиксирована, а угол у между оптической осью и линией пересечения поверхности кристалла с плоско-
А П
стью падения меняется в пределах от 0 до -(рис. 4). С увеличением у коэффициент отраже-
R, %
100 75 50 25
0
300 400 500 600 700 800 ©, см
-1
Рис. 3. Частотная зависимость коэффициента отражения для кристалла при угле падения 0 = 70°. Точками указаны экспериментальные значения, сплошная линия - расчетная кривая. Оптическая ось кристалла перпендикулярна его поверхности.
ния, в отличие от обычных сред с положительным s', убывает.
ФОКУСИРОВКА ПУЧКА ПРИ ЕГО ПРЕЛОМЛЕНИИ НА ПЛОСКОЙ ГРАНИЦЕ КРИСТАЛЛА С ОТКРЫТОЙ ПВВ
Пусть оптическая ось кристалла перпендикулярна его границе и при этом 8ц < 0, s± > 0. Тогда, как показано в [11], поверхность волновых векторов для необыкновенной волны представляет собой гиперболоид вращения. Такая форма ПВВ приводит к тому, что тангенциальные компоненты волнового вектора и вектора Пойнтинга в преломленной необыкновенной волне имеют противоположные знаки [15]. Указанная картина представлена на рис. 5.
Если Sj Ф 1, из-за инерционности процессов поляризации в веществе должно иметь место поглощение, т.е. Sj имеет также мнимую компоненту. Учет поглощения, как показано в [15], ''замыкает'' ПВВ (рис. 1), однако указанная особенность тангенциальных компонент векторов ke и Se остается.
Расчет с учетом поглощения приводит к следующим выражениям для проекций SeT и Sez вектора Пойнтинга, усредненного по периоду волны:
Ю I |2
Sez =
SeT
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.