ИЗВЕСТИЯ РАИ. ТЕОРИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ, 2007, № 2, с. 87-93
= ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ
УДК 517.977.56
КРИТЕРИЙ ОПТИМАЛЬНОСТИ В ЗАДАЧЕ УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ СОБОЛЕВСКОГО ТИПА*
© 2007 г. М. В. Плеханова, В. Е. Федоров
Челябинск, Челябинский государственный ун-т Поступила в редакцию 27.02.06 г., после доработки 20.07.06 г.
Получены необходимые и достаточные условия решения задачи оптимального управления с квадратичным функционалом качества для системы, состояние которой описывается линейным вырожденным уравнением в гильбертовых пространствах. Данные результаты использованы при исследовании задачи оптимального управления для уравнения Дзекцера эволюции свободной поверхности фильтрующейся жидкости.
0. Введение. Абстрактной формой многих начально-краевых задач для уравнений и систем уравнений в частных производных, возникающих в естествознании и технике [1-3], является задача Коши х(0) = х0 для дифференциального уравнения
ЬХ( г) = Мх( г) + у (г) + Ви( 0, (0.1)
где Ж, Щ, ^ - гильбертовы пространства, операторы Ь е 2,(Ж; Щ), В е Щ) (т.е. линейные и непрерывные), кегЬ Ф {0}, а сильно (Ь, д)-секто-риальный [3, 4] операторМе С1(Ж; Щ) (т.е. линеен и замкнут с областью определения ^шМ, плотной в Ж, действует в Щ). В работе будут исследованы задачи вида
и е Цэ, (0.2)
/(х, и) — М (0.3)
для систем, описываемых уравнением (0.1). Здесь х - решение уравнения, и - функция управления, Пэ - выпуклое и замкнутое множество допустимых управлений, 3 - квадратичный функционал.
Задачи оптимального управления (0.1)-(0.3) с условием Коши и квадратичным функционалом 3 в конечномерных пространствах рассматривались во многих работах, например, [5-7]. В них, в частности, отмечается, что в таких задачах управление осуществляется не только самими функциями управления, но и их производными. В [8, 9] подобные задачи исследованы в бесконечномерных пространствах в случаях (Ь, ^-ограниченного и сильно (Ь, д)-секториального оператора М, т.е. когда существуют соответственно аналитическая группа и аналитическая в секторе полугруппа однородного уравнения (0.1). Аналогичные результаты получены авторами в более общем слу-
* Работа поддержана грантом РФФИ (код проекта 07-01-96030-р_урал_а) и грантом Президента Российской Федерации для молодых российских ученых - докторов наук (код проекта мД-4312.2006.6).
чае сильно (Ь, />)-радиального оператора М, предполагающем существование сильно непрерывной полугруппы [10]. В [11] такого рода исследования проведены с использованием понятия слабого решения, а в [12] рассмотрена задача с модифицированным начальным условием.
В статье для задач оптимального управления удалось отказаться от многих ограничений, учитываемых в [8-11]. Как известно, разрешимость задачи Коши для вырожденного уравнения (0.1) предполагает выполнение условия совместности [3, 4, 6, 8-11], которое заключается в том, что начальное значение х0 задачи Коши должно принадлежать некоторому аффинному многообразию, определяемому правой частью уравнения (0.1). В [8-11] множество допустимых начальных значений задачи Коши и пространство функций управления были сужены таким образом, чтобы упомянутое условие совместности выполнялось автоматически. Мы использовали метод исследования, удобный для установления существования и единственности решения задач оптимального управления системами, описываемыми некорректными задачами [13, 14]. Это позволяет получить более общий результат о разрешимости задачи (0.1)-(0.3) с условием Коши, чем в [8-11], в том смысле, что выбор пространства функций управления уже не предполагает разрешимости задачи Коши для уравнения (0.1) при каждой функции управления. Для существования решения задачи оптимального управления достаточно лишь выполнения так называемого условия нетривиальности [13, 14], т. е. существования хотя бы одной пары функций (х, и), удовлетворяющей условию Коши, уравнению (0.1), требованию (0.2) и упомянутым условиям согласования с заданными х0 и у.
Центральным результатом работы выступает формализация критериев оптимальности для сформулированных задач управления, под которыми подразумеваются необходимые и достаточные
условия на оптимальную пару (x, U) в терминах со-
3) существует плотный в ty, линеал ty такой,
U M), y
const( y)
M(XL -M)-1 L\Цp)(M)y||ty < -
ix - a П*
- a
k = o
4) для всех X, Ц0, ць ..., ц e SL 0(M),
К p)(M )(X L - M )H a( ty-X)
<
к
пряженной задачи и вариационного неравенства, - л
получаемые с помощью принципа Лагр'анжа. Для что пРи люОых л, Мо, •••, М е ^е(М), у е ^ распределенных систем, разрешенных относительно производной по времени, подобные результаты были в свое время приведены в монографиях [1315]. Отыскание необходимых (или необходимых и достаточных) условий экстремума является, как отмечено еще в классической монографии [15], одним из этапов исследования задачи оптимального управления. Следующими этапами должны стать изучение структуры и свойств уравнений, выражающих эти условия, и составление конструктивных алгоритмов для численного нахождения экстремума.
Результаты исследований использованы при рассмотрении задачи оптимального управления для конкретной системы, описываемой уравнением эволюции свободной поверхности фильтрующейся жидкости.
1. Сильно (Ь, д)-секториальный оператор. Введем необходимые в дальнейшем обозначения
Ик(0, Т; X) = Ик(Х), к е Ч = {0} и Ч
ix - a Пк
-a
k = 0
Теорема 1 [4]. Пусть оператор M сильно (L, р)-секториален. Тогда
I. X = X0 © X1, ty = ty0 © ty1 ;
II. Lk e ä(Xk; tyk),Mk e Cl(Xk; tyk), k = 0, 1;
H°(X) = L2(X),
pL(M) = {ц e € : (*L - M)-1 e ä(ty; X)},
p
RL», p)( M) = n(^kL - M)-1 L,
k = 0 p
lL*p)(M) = ПL(^kL -M)-1,
k = 0
III. имеются операторы M01 e ä(ty0; X0), L-1 e e ^(ty1; X1);
IV. оператор G = M-1 L0 e ä.(X0) нильпотентен степени не больше p e N0;
V. существует аналитическая в секторе полугруппа {Xt e 2,(X) : t > 0} однородного уравнения LX (t) = Mx(t);
VI. инфинитезимальным генератором анали-
= kerRL, p)(M), ty0 = kerLL, rt(M),
тической полугруппы ся оператор L-1 M1 e Cl(X1).
{X e ^(X1) : t > 0}
являет-
= imRL* p)( M), ty1 = imLL*, p)(M),
Lt = LI
IX^
domMk = domM n
Mk = Ml domMk,
k
k = 0, 1.
Оператор M называется сильно (L, p) = секто-риальным, если:
1) За e R 30 e (n/2, n),
S^M) = {ц e € : |arg(ц - а)| < 0, ц* а } с p L (M);
2) 3K > 0 V* e S^M), k = Ö^p,
max{| p)(M)\X)' IK, p)( M)ll a( ty)} < к
Здесь X - сужение оператора X на Xх. Проектор вдоль X0 на Xх обозначим через Р, а вдоль на - через Q.
Рассмотрим задачу Коши
х(0) = Хо (1.1)
для уравнения
ЬХ( г) = Мх( г) + у (г), г е( 0, Т). (1.2)
Функцию х е Я1(Х) назовем сильным решением задачи (1.1), (1.2), если она почти всюду на (0, Т) удовлетворяет уравнению (1.2) и условию (1.1) в том смысле, что
lim || x(t) - x,
t ^ 0+
0X
= 0.
П*
k=0
-a
Существование и единственность сильного решения задачи (1.1), (1.2) доказаны в [10].
0
стве Zk = {z е Я1® : Li -Mz е H(^)}, в котором зададим норму lili Zk = liliHi(^ + + l|LZ- Mz\H(^. Лемма 1. Пространство Zk гильбертово от-
Теорема 2 [10]. Пусть оператор М сильно (Ь, р)-секториален. Тогда при любых у е Нр + Х(Щ) и
с0 е My =
х е Ж : (I - P) x =
X GmM-0l (I - Q)y(m)(0)
существует единственное сильное решение задачи (1.1), (1.2) вида
х(t) = - X GmM) (I - Q)y(m)( t) +
m = 0
t
-J X - sLl Qy( s) ds + Xx0.
+
LX(t) = Mx(t) ■
■y (t) + Bu( t), u е Нэ,
x (0) = Xo
J (x, y) = 1II x - w"2
+ -||u - u0
Iff* (
ff'( Ж)
inf,
(3.1)
(2.2)
(2.3)
носительно скалярного произведения (х, г) г =
= (х, г)Н1(Ж) + <Ьх -Мх, Ьг - Мг)нк{щ) .
Доказательство. Выполнение аксиом скалярного произведения очевидно. Докажем полноту пространства 2к. Выберем фундаментальную в 2к последовательность {хп}. Тогда при п, т —»- ^ стремится к нулю выражение
Ilx„ xJhÍ( Ж)
+ |L ( xn - xm ) - M( xn - x„
Iff*.
2. Задача оптимального управления. Предполагается, что заданы гильбертовы пространства Ж, Щ, Ч и операторы Ь е 2,(Ж; Щ), В е 2.(4; Щ), М е С1(Ж; Щ). При условии сильной (Ь, р) -секто-риальности оператора М рассмотрим следующую задачу оптимального управления:
где w е НХ(Ж), и0 е Нк(Ч),у е № + Х(Щ) - заданные функции, х0 е Ж - заданный вектор, непустое выпуклое замкнутое подмножество Нэ пространства Нк(Ч) - множество допустимых управлений, к е е {0, 1, ...,р + 1}, N> 0.
Для х0 е Ж, у е Нр + Х(Щ) множество функций
и е Нр + *(Ч), таких, что
р
X ОтМ-\1 - б)Ви'т\0) = -(I - Р)х0-
т = 0
р
- X ^МО1 (I- б)у(т)(0),
т=0
обозначим через Нд(х0, у).
Замечание 1. Множество Нд(х0, у) может оказаться пустым или, напротив, совпасть со всем НР + !(Ч).
Из вида уравнения (2.1) и предположений относительно функций и, у следует, что сильные решения этого уравнения естественно искать в простран-
Отсюда в силу полноты пространств следует существование элементов
lim xn = x е Hl( Ж),
n ^ ж
y = lim (LXn - Mxn) е H(%).
n ^ ж
Так как xn —► x при n —► ж в пространстве НХ(Ж), то xn —- x при n —► ж в L2(^), следовательно, L x n ^ L x при n -- Ж в L2(%). Поэтому
при n, стремяшемся к бесконечности, имеет место сходимость Mxn —Lx - y в L2(%). Таким образом, множество значений t е (0, T), при которых Mxn(t) не сходится к Lx (t) - y(t), в % имеет меру нуль. Учитывая замкнутость оператора M, получим, что для почти всех t е (0, T) x(t) е domM и Mx = Lx -y е L2(%). Отсюда Lx -Mx = y е Hk(%).
Введем в рассмотрение оператор ут: НХ(Ж) —► —► Ж, действующий по правилу yx = x(t), т е [0, T]. Очевидна непрерывность оператора ут: НХ(Ж) —-
— Ж.
Замечание 2. Понятно, что пространство Zk непрерывно вложено в НХ(Ж). Поэтому и отображение ут: Zk —- Ж непрерывно.
Множество Ж пар (x, u) е Zk х Hk(4), удовлетворяющих условиям (2.1), (2.2), назовем множеством допустимых пар задачи (2.1) - (2.3). Ее решением является пара (x, U) е Ж, для которой
J( x, U) = in^J(x, u).
(x, u) е Ж
Функционал J назовем коэрцитивным, если для любого R > 0 множество {(x, u) е Ж : J(x, u) < R} ограничено в Zk х Hk(4).
Теорема 3. Пусть оператор M сильно (L, />)-секториален и Нэ n Hd(x0, y) Ф 0. Тогда существует единственное решение (x, u) е Zk хHk(4,) задачи (2
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.