ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ
Физико-математические науки
Математика
Математическая логика, алгебра и теория чисел
Галканов А.Г., кандидат технических наук, доцент, зав. кафедрой Московского государственного гуманитарно-экономического университета
КРИТЕРИЙ ПРИВОДИМОСТИ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ К ПОЛНОМУ КВАДРАТУ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ
Сформулирован и доказан критерий приводимости квадратичной формы к полному квадрату. С применением этого критерия получены необходимые и достаточные условия положительной полуопределённости симметрической и несимметрической квадратичных форм.
Ключевые слова. Критерий, приводимость, матрица, квадратичная форма, положительная полуопределённость, гиперплоскость.
A.G. Galkanov, Ph.D., Associate Professor, Head of the Department of Mathematics, Moscow state humanitarian-economic University
THE CRITERION OF REDUCTIBILITY OF QUADRATIC FORM TO COMPLETE THE SQUARE AND ITS APPLICATIONS
Formulated and proved a criterion of reducibility of a quadratic form to complete the square. Using this criterion, the necessary and sufficient conditions for positive semi-defmiteness of the symmetric and asymmetric quadratic forms.
Keywords. Criterion, reducibility, matrix, quadratic form, positive semi-defmiteness, hyper plane.
1. Обозначения и основные понятия
N = {1,2,..., n}; ве Mn - ноль вектор; x = (, x2,..., xn )e Mn ; Vi g N [st =±1]; A = J ai — действительная симметрическая матрица, где Vi G N [ aii > 0]; К — множество
квадратичных форм, приводимых к полному квадрату; Ф — множество положительно полуопределённых симметрических квадратичных форм;
__n n
Vi G N VJ G N (j >i) pv = ; 8n = ^^ p2.
i=1 j=2
j >i
Рассмотрим симметрическую квадратичную форму
г п п
Р(х) = ,
/=1 7=1 (1)
V/Е N V/ е N(7 Ф /)[аг] = а]г].
Определение 1. Если существует вектор § = (( §2,..., §п )е Мп, такой, что
/ \2 ( п \
Р(х) = Х §1X1 , то р называется формой, приводимой к полному квадрату.
V /=1 )
Определение 2. Если ух е Мп [р(х) > 0] Л Зе е Мп (с фв) [р(е) = 0], то р называется положительно полуопределённой квадратичной формой. Легко проверить, что форма (1) представима в виде
/ п _ \ п п
р( х) = Х^^х + 2ХХ р
V /=1
■Ухгх7 .
(2)
/=1 7=2 7 >/
В пространстве Мп введём гиперплоскость а формы (1) как множество точек, коор-
п
динаты которых удовлетворяют уравнению Х = 0:
/=1
I п
а = < х: Х^УОЦХ, = 0, хе
(3)
/=1
2. Критерий приводимости квадратичной формы к полному квадрату
Теорема 1. р(х)еК о дп = 0. Доказательство.
дп = 0 о V/ Е N V/Е N(7 > /)[р7 = 0] О
/ \ 2
п
4
о V/ Е N V/ Е N(7 >/)
а7 =£,7аиа7,
п
о р(х) = Х£г\1ах1 о р(х)еК
V /=1 )
Следствие 1. Если хотя бы один из перекрёстных коэффициентов формы (1) равен нулю, то она не приводима к полному квадрату:
3/Е N 37 е N (7 > /)[ а7 = 0] ^ р(х) ¿К. Следствие 1 необратимо.
3. Применения
1. Квадратичная форма (1) положительно полуопределённа тогда и только тогда, когда она приводима к полному квадрату.
Доказательство. Достаточность.
п
8п = 0 о у/е N У7е N(7 >/)
а7 =£г£^агга77
п
о Р(х)= Х^у^х
V /=1
о
о Vx еа[р(x) = 0] л Vx е Mn \а[р(x) > 0] ^
^ Ух е Мп х) > 0] л Зсе Мп(с Фв)[^(с) = 0] ^ х) еФ. Необходимость. Пусть (р(х) е Ф. По определению 2 это означает, что
Ухе Мпх)>0] л Зсе Мп(сФв)[^(с) = 0]. За точку с Ф в возьмём с е а (с Ф в), что допустимо. Тогда
(2) ( п _ V п п (3) п п
0=^(с) = Х^л/ад + 2ЕЕ рсс. = 2ЕЕ р^с.,
V¿=1
У i=1 J=1
j >i
i =1 J =2 J >i
откуда для всех точек С еа (c Ф в) имеем: Vc еа (c Ф в)
ЁЁ PjcCj=0
i =1 J=2 J >i
что
возможно лишь при vi е N VJ е N (J > i) piJ = 0J о 8n = 0.
2. Глобальный минимум симметрической положительно полуопределённой квадратичной формы (1), равный нулю, достигается в точках гиперплоскости а: miliр(x) = р(x)| = 0.
xеKn х%еа
3. Для любой положительно полуопределённой квадратичной формы (1) справедлива V n л2
, если x £ а,
где коэффициенты £, £2,..., £n неодно-
формула р( x) =
V г=1 у
0, если х е а,
значно определяются из условий а. = £{£. ^аиа . (] > /).
4. Для коэффициентов любой положительно полуопределённой квадратичной
формы (1) справедлива формула а. = а иа., (] >1).
Рассмотрим действительную несимметрическую квадратичную форму
¥(х) = £<[Ъцх1х], В = \\Ь]\ ( ФЬр), У е N[ > 0].
i=1 j=1
(4)
b + ь.
Пусть в = —-—. Тогда ¡3Ü = Ьи, /Зи = вп и форма (4) равносильна симметриче-
j 2 J
ским квадратичным формам
x)=ёёд,*Л. (в, =в)
i=1 j=1
¥( x) = Ё b»x? + 2£ХД
iiJxixJ.
(5)
(6)
i=1
i=1 J=2 J >i
Полагая V/ е N Vj е N ( > /)" ^ = в-£1£^у[Ъ~Ъ
^ _ п ,_ Л2 п
¥(х) = Хъ&х I + 2ХХ%
перепишем (6)
7х/х7 .
V /=1
/=1 7=2
7 > /
I п
По аналогии с (3) введём гиперплоскость П = ] х : Х£,л[Ых , = 0, х <
=1
5. Несимметрическая квадратичная форма (4) положительно полуопределённа тогда и только тогда, когда форма (5) приводима к полному квадрату.
6. Глобальный минимум несимметрической положительно полуопределённой квадратичной формы (4), равный нулю, достигается в точках гиперплоскости
П: ттКх) = щ(х) = 0.
хеМ" 'хЕП
7. Для любой положительно полуопределённой формы (4) справедлива формула
"г п У
/ \ Х^л/Ах I , если х¿ п,
у/(х) = V) где коэффициенты £, £2,..., £п неоднозначно
0, если х е п,
определяются из условий Ъ^ + Ь71 = 2££7. уЬЬй (7 > /)
8. Если алгебраическая сумма хотя бы одной пары перекрёстных коэффициентов матри-
цы
В =
Ъ
равна нулю, то (4) не является положительно полуопределённой квадратичной
формой.
Рассмотрим систему действительных несимметричных квадратичных форм
¥к(х) = ХХъ^хх, В ^Ц ( фЪк]1), кЕ N, V*, /Е N[[// > 0]. (7)
/=1 7=1
Определение 3. Если
V*Е N VxЕ Мп [щ(х) > 0] Л Зее Мп(е Фв) V*е N[щк(е) = 0],
то (7) называется системой положительно полуопределённых квадратичных форм.
Если условие Vk Е N ^ + Ъкл = 2££ 4ЪыЪк]] (7 > /)
было необходимым и до-
статочным для положительной полуопределённости каждой квадратичной формы в (7), то этого, однако, оказалось недостаточным для положительной полуопределённости системы
(7).
Теорема 2. При положительной полуопределённости каждой квадратичной формы в (7) система квадратичных форм (7) положительно полуопределённа в том и только в том случае,
если матрица ¥= £к/ /^
является вырожденной.
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.