МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА № 6 • 2013
УДК 539.3
© 2013 г. А. В. ЗВЯГИН
КРИТИЧЕСКАЯ СКОРОСТЬ В КОНТАКТНОЙ ЗАДАЧЕ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ ТРАНСЗВУКОВОЙ СКОРОСТИ ДВИЖЕНИЯ ШТАМПА
В работе рассмотрена динамическая контактная задача при наличии сил трения в трансзвуковом интервале скоростей движения штампа, когда скорость штампа превышает скорость поперечных волн, но при этом меньше скорости продольных волн. Показано существование критической скорости, при переходе через которую решение меняет свою структуру и характер поведения на границах области контакта. Величина этой скорости в л/2 раз больше скорости поперечных волн. Существование такой скорости, возможно связано со скоростью поверхностных волн в условиях стесненной деформации.
Ключевые слова: контактная задача, упругость, сухое трение, трансзвуковое движение, поверхностные волны.
1. Введение. Контактные динамические задачи теории упругости при наличии трения необходимы для исследования процессов, сопровождающих взаимодействие подвижных поверхностей. Они присутствуют как в технике (трущиеся подвижные детали), так и в геофизических процессах при относительном проскальзывании плит земной коры. Одним из важнейших параметров для данного класса задач является относительная скорость проскальзывания. В дозвуковом диапазоне движения эти задачи представлены в монографиях [1, 2]. Современные исследования [3—5] показали необходимость решения таких задач для трансзвукового диапазона скоростей движения — "скорость штампа меньше, чем скорость продольных волн, но больше, чем скорость поперечных волн". Известно, что при дозвуковом движении критической скоростью является скорость поверхностных волн Рэлея. При переходе через эту скорость резко меняется режим взаимодействия среды с поверхностью штампа [1]. В работе решается задача о трансзвуковом движении штампа. В процессе исследований показано, что в данном диапазоне есть своя критическая скорость, равная по величине >/2 Ь, где Ь - скорость поперечных волн в упругой среде. При переходе через эту скорость так же, как и при переходе скорости волн Рэлея, меняется характер взаимодействия штампа и среды. В работе показано, что данная скорость является скоростью поверхностных волн в случае стесненной деформации. Следует отметить, что в работах [3], [5] также отмечено теоретически и установлено экспериментально появление такой скорости в задачах движения трещин плоского сдвига вдоль ослабленных поверхностей раздела.
2. Постановка задачи и основные уравнения. Рассмотрим движение штампа при наличии сухого трения вдоль границы упругой полуплоскости. В неподвижной системе координат наблюдателя (х' о' у') (фиг. 1) плоскопараллельное движение упругой среды удовлетворяет волновым уравнениям для потенциалов продольных ф(х', у', t') и поперечных х', у' , t') волн [1]:
Фиг. 1
5ф = ^ 2 дг '2
д ф + д ф дх,2 ду,2
2
^ = 6 2
л
дV + дV
дх'2 ду'2
2
\
(2.1)
а (X + 2ц)/р, 6 =
где a, Ь — соответственно скорость продольных и поперечных волн, р — плотность среды, X, ц — упругие модули Ламе, t' — время. Поле перемещений выражается через потенциалы формулами Ламе
их =дф/дх '+ду/ду', иу = дф/ ду '-ду/дх' (2.2)
Подстановка перемещений (2.2) в выражения для деформаций и закон Гука, позволяют найти выражения для напряжений
= Х
/%2 .,2 ^ д ф + д ф
2 я '2
ду
дх'
а уу =Х
д ф + д ф
п .2 .2 дх
ду'
(-22 -а \ д ф + д у
дх '2
дх' ду
д 2ф дV
ду '2 дх' ду
(2.3)
а ху = Ц
2
д ф
д2у д
дх' ду' ду,2 дх '2,
Вдоль границы упругого полупространства с постоянной скоростью движется жесткий штамп с заданным уравнением контура у = / (х). В системе координат (хоу), связанной с движущимся телом (фиг. 1), х' = х - V0t, у' = у , t' = I движение будем считать установившимся. В этом случае операторы дифференцирования заменятся по следующим формулам:
5ф _ _ д. д _ ддх _ V —
дх' дх ду' ду д1 дх д1 дх Поскольку в этом случае производные потенциалов связаны уравнениями движения (2.1):
_ - " ------• I/ „ I/ ~
(2.4)
((2 - 1)) = (м2 - ) = <Ц, М = V0, М2 = ^
у ' дх ду к дх2 ду2 а Ь
а Ь
компоненты вектора скорости V и тензора напряжений в можно представить выражениями
Ух _ К
{^2 -л2 \ { -,2 -,2 \
^ _тл д ф д ¥
дхду дх2
2 + дх дхду
У у _ Уо
£хх _ (2 + М2 - 2М1)) + 2^ (2.5)
Ц у ' дх2 дхду
£уу _-(2 - М22)) - ^ _ (2 - М22))
Ц у ;5х дхду ц дхду v ;5х
Полученные выражения (2.5) для напряжений уже позволяют говорить о величине скорости, для которой М2 = 42, как особой или "критической", поскольку при её переходе меняются знаки вклада потенциалов в усилия оух, оуу на поверхности контакта.
Рассмотрим случай движения тела штампа со скоростью, которая больше скорости поперечных волн, но меньше скорости продольных волн (М2 = У/Ь > 1, Мг = У/а < 1). В этом случае решение уравнений движения представляется в виде
ф = Яе Ф(х + ;ау), а =41 - М12 у = ^(х-ру), в = VМ22 - 1 При этом компоненты вектора напряжений на границе у = 0 будут в силу (2.5) равны
суу/ц = - (2 - М22) Яе Ф''(х + ;ау) + 2В ^''(х - ву)
/ ^ (2.6) сху/ц = -2а 1т Ф'' (х + ;ау) - (2 - М2) ¥'' (х - ву)
На поверхности, свободной от усилий, компоненты вектора напряжений (2.6) равны нулю. Из (2.6) получим
-(2 - М22)ЯеФ'' (х) + 2рЧ'' (х) = 0, -2а 1тФ'' (х) - (2 - М22)Ч"(х) = 0
Эти граничные условия будут выполнены, если
(2 - М2) / 2Ч2
у''(х) = Ь-ЯеФ ''(х), (2 - М22) ЯеФ ''(х) + 4ав 1тФ ''(х) = 0 (2.7)
2р
Для жесткого штампа с заданным уравнением контура у = / (х) граничными условиями будут заданная вертикальная составляющая скорости среды и связь между компонентами вектора усилий — закон сухого трения Кулона—Мора Уу = У0/ '(х), о ху(х) = -ко уу(х). Это приводит к следующим уравнениям в области контакта:
-а 1т Ф ''(х) - ¥ ''(х) = / '(х)
- 2а 1т Ф ''(х) - (2 - М22) ''(х) = -к [- (2 - М22) Яе Ф ''(х) + 2р ¥ "(х)]
Исключение функции ¥ ''(х) из первого уравнения приводит к соотношениям ¥ ''(х) = -а 1т Ф ''(х) - / '(х)
к(2 - М22)ЯеФ''(х) + а((22 + 2рк) 1тФ''(х) = (2 - М22 -рк)/'(х) (2.8)
Из (2.7), (2.8) следует, что функция Ф ''(г) на границе полуплоскости должна удовлетворять условию
В(х) =
[а (М 22 + 2в к), если |х| <
< Ь
|4аР,
х > Ь
(2.9)
А(х) Яе Ф'' (х) + В(х) 1т Ф'' (х) = g(x)
к (2 - М2), если |х| < Ь
А(х) = [ ' ,
/ 2\2 I I
(2 - М2 ) , если |х| > Ь
[(2 - М22 - в к) / '(х), если |х| < Ь [0, если |х| > Ь
Таким образом, функция определяется решением задачи Римана—Гильберта (2.9) с разрывными кусочно-постоянными коэффициентами. Отметим, что все коэффициенты в левой части положительны, за исключением одного к (2 - М2), знак которого
л
существенно определяется скоростью движения. Если скорость такова, что М2 > 2 этот коэффициент имеет положительный знак, в противном случае — он имеет отрицательный знак.
Задача Римана—Гильберта имеет два решения, удовлетворяющие физическим условиям стремления к нулю на бесконечности. Они отличаются расположением особенностей в точках смены типа граничных условий (х = ±Ь). Выбор конкретного решения в физической задаче требует дополнительных исследований. В контактной задаче дополнительным требованием к решению является положительный знак давления или, что то же самое, отрицательный знак напряжения ауу в области контакта. Кроме того решение не должно содержать неинтегрируемых особенностей. Изменение знака коэффициента будет приводить к выбору решения в смысле его поведения в особых точках, каковыми являются точки разрыва коэффициентов в граничных условиях.
3. Построение решения. Будем строить решение (1.9) непосредственно сведением к задаче Дирихле. Для этого будем искать функцию в форме
Ф ''(г) = х,(г)Т (г), ' г - Ь4
Х1(г) =
г + Ь
I = (1;2) X2(г) =
г + Ь г - Ь
(3.1)
В (3.1) предполагается, что функция Т(г) является аналитической в верхней полуплоскости и убывает на бесконечности. В тригонометрической форме записи получим
Х1(г) =
г - Ь
г + Ь
е'В1П, X 2(г) =
г + Ь
г - Ь
Ю2и
Выберем аргументы 91, 92 по правилу (фиг. 2). Тогда на границе полуплоскости у = 0 получим
81 =
2л/0, если |х| > 0
8 = ■
(л + 2лт1 )п, если |х| < 0' [(-л + 2лт1 )п, если |х| < 0
2л/0, если |х| > 0
Перепишем граничное условие (2.9) в форме
Яе
А - В
1_ А + 1В
В X \ет,ПТ (х)
Е(х) А +1В
(3.2)
Фиг. 2
На границе полуплоскости имеют место равенства
-Й51
Л - iB Л + iB
а (М22 + 2в к)
е ,201, 5Ь = аг^—Ц-тт , 51 =8Ь + 2пт1, если |х| < Ь
к (2 - М22)
е i20o, 5-ь = arctg—4ав—2, 50 = 5-Ь + 2л/0, если Ы > X
(2 - М2)
Перепишем (3.2) с учетом полученного равенства
'[е""^'ЩАЩ«С, х > Ь
Яе I
Рассмотрим функцию Х^г). Подберем целые числа таким образом, чтобы степень экспоненты стала одинаковой в обоих полученных равенствах, при условии, что решение должно быть интегрируемым
5 Ь + 2пт1 + п (п + 2п/1) = 5-Ь + 2пт0 + п (п + 2п/0)
п = 5Ь -5-Ь + 2п(т1 -т0), п = 5Ь-5Ь, т1 = т0 = 0, /1 = 0, /0 = 1 2п(/0 - /1) 2п
5Ь + 2пт1 + п (п + 2п/1) = 5-Ь + 2пт0 + п (п + 2п/0) = 5Ь + пп = 35Ь - 5-Ь = 5
Тогда граничное условие примет регулярную форму 1
Яе
[ейТ(х)]
—-«(х), -да < х < 0
n (л + iв)
Таким образом, проблема сведена к решению задачи Дирихле для аналитической
функции е1 8Т (г). Это означает, что решение задачи может быть представлено в виде
интеграла Коши [6]
Ь
1
еъТ (г) = 1 Г
тт* *
т 5ь |Х1 (Л + iB)(х - г)
Отсюда следует решение для функции Ф ''(г):
Ф ''(г) = МТ4 8 =
+ Ь) т \ Х1
-Ь
Х (Л + iB)(х - г)'
2
(3.3)
Построенное решение имеет интегрируемую особенность в точке г = —Ь. Если использовать в качестве множителя функцию Х^г), аналогично получим решение, имеющее особенность в точке разрыва граничных условий г = Ь:
Ь
Ф ''(г) =
г + Ь)" е-8, г «(х^х § _ 5ь + 5-ь
п Л I
г - Ь) т ^|Х2 (Л + iB)(х - г)'
(3.4)
Таким образом, в наличии имеются два формально построенных решения. Дальнейший выбор зависит от возможности физической реализации конкретного решения, поскольку в физической задаче давление под штампом должно быть положительно, т.е. должно быть выполнено неравенство ауу(х) < 0, -Ь < х < Ь .
Найдем выражение для давления под штампом. Для этого воспользуемся формулами Сохоцкого—Племеля для граничных значений интеграла типа Коши [6] в (3
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.