МЕХАНИКА
ТВЕРДОГО ТЕЛА № 3 • 2014
УДК 539.374
© 2014 г. Л. С. КОЗЛОВА, Б. Г. МИРОНОВ
КРУЧЕНИЕ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ СТЕРЖНЕЙ ПРИ ДЕЙСТВИИ ДАВЛЕНИЯ, ЛИНЕЙНО МЕНЯЮЩЕГОСЯ ВДОЛЬ ОБРАЗУЮЩЕЙ
В работе исследуется задача о предельном состоянии призматических стержней при кручении. Предполагается, что стержень находится под давлением, линейно меняющимся вдоль образующей. Определено напряженно-деформированное состояние стержня, построено поле характеристик.
Ключевые слова: кручение, напряжение, деформация, стержень, давление, характеристики.
1. Введение. В работах [1—3] рассмотрено кручение изотропных цилиндрических и призматических стержней в случае, когда боковая поверхность стержней свободна от касательных нагрузок, а также в случае, когда боковая поверхность стержня находится под действием внешнего переменного давления.
В настоящей работе рассматривается предельное состояние призматических стержней, находящихся под давлением, линейно меняющимся вдоль образующей.
2. Постановка задачи. Рассматривается призматический стержень, ориентированный в декартовой системе координат xyz, образующие которого направлены параллельно оси ^ Предполагается, что стержень закручивается вокруг своей оси (фиг. 1).
Пусть напряженное состояние, возникающее в стержне, характеризуется условием пластичности Мизеса
(о х - о y )2 + (о y - о г )2 + (о г - о х )2 + 6(т2ху + T2yz + T2XZ) = 6
(2.1)
К соотношению (2.1) присоединим три уравнения равновесия: да х/дх + дтху /ду + дтж/dz = 0 дт ху/дх + да у / ду + дт yZ/дz = 0 дт xz/дх + дт yz/ду + даz/дz = 0
Система соотношений (2.1), (2.2) является статически неопределимой. 3. Построение решения. Предположим, что
Xz + c, Тху = 0, Тyz = тyz(х, у), Тxz = тxz(х, у)
(2.2)
(3.1)
X = const, с = const
Согласно (3.1) из (2.1) и (2.2) получим
дт xz / дх + дт yz / ду = X, %2yz +x2xz = 1
2
(3.2)
Положим
т xz = cos ф, т yz = sin ф Подставляя выражения (3.3) в первое уравнение (3.2), имеем
(3.3)
- sin фдф/дх + cos фдф/ду = X
(3.4)
Система уравнений для определения характеристик (3.4) имеет вид
-dx/ sin ф = dy /cos ф = dф/ X (3.5) Из системы (3.5) следует
Xx = cos ф + c1, Xy = sin ф + c2 (3.6) Исключая из (3.6) ф, получим уравнения характеристик соотношения (3.4):
(x - q/X)2 + (y - С2/X)2 = 1/X2 (3.7)
Обозначим через L контур поперечного сечения стержня в плоскости ху (z = const). Пусть (x0, y0) е L и ф(x0, y0) = ф0. Тогда из (3.6) следует
Xx0 = cos ф0 + c1, Xy0 = sin ф0 + c2 (3.8)
С учетом (3.8) из (3.7) получим (фиг. 2):
(x - x')2 + (y - y')2 = 1/X2, x' = x0 - cos ф0/X, y' = y0 - sin ф0/X (3.9)
Пусть т = т xzi + т yzj — вектор касательного напряжения, где i, j — единичные векторы вдоль осей х и у. Согласно (3.3):
т yz/т xz = tgф (3.10)
т.е. ф — угол наклона касательного напряжения т к оси х. Из (3.5) следует, что вдоль характеристик (3.9):
dy/dx = - ctg ф (3.11)
Следовательно, вектор касательного напряжения т всегда направлен ортогонально к характеристике.
Предположим, что боковая поверхность стержня свободна от касательных усилий. Следовательно, вектор касательного напряжения т во всех точках контура L направлен по касательной к ней.
Таким образом, характеристики уравнения (3.4) в плоскости ху есть окружности радиуса 1/ , причем центры этих окружностей расположены на касательных к контуру L и расстоянии 1/ от точки касания. Согласно (3.6) и (3.8) из (3.5) имеем
Txz = cos Фо (x - Хо) , Tyz = sin фо + X (y - y0) (3.12)
где фо — угол, образованный касательной к контуру L в точке (x0, y0) и осью x.
Рассмотрим кручение призматического стержня, контур поперечного сечения которого обозначим L. В тех случаях, когда через данную точку сечения могут проходить две и более характеристики, имеет место линия разрыва напряжений. Рассмотрим соотношения на линии l разрыва напряжений. Разложим вектор касательного напряжения т на линии разрыва напряжений на две составляющие Tiz и т„z, направленные соответственно по касательной и нормали к ней.
Пусть y — угол, образованный касательной к линии разрыва напряжений и осью х. Тогда
Tiz = ТxzcosY + тyjSiny, т„z = тxzSÍny - тyzcosy (3.13)
Согласно (3.3) из (3.13) имеем
Tiz = cos (ф-у) , T„z =- sin (ф-у) (3.14)
Припишем компонентам слева от линии разрыва напряжений верхний индекс "плюс"
и справа от линии разрыва напряжений — индекс "минус". Из равенства т +z = т„z нормальных к линии разрыва напряжений получим
sin^ + -у) = sin^- -у) (3.15)
Из (3.15) имеем
dy/dx = - ctg 1/2(ф + + ф-) (3.16)
где dy / dx = tg у. Таким образом, для определения линии разрыва напряжений имеет место дифференциальное уравнение (3.16).
Рассмотрим случай, когда контур поперечного сечения L стержня образует произвольный угол 0, одна из сторон которого совпадает с отрицательной осью Ox и с вершиной в начале координат. Для определения напряженного состояния необходимо найти линию разрыва напряжений, которая согласно (3.16) имеет вид
, ,, x/2 sin 29- y sin2 9 + sin 9-v 1/X2 - (x sin 9 + y cos 9)2 .„
dy/dx =-2-1 2 2 -1 2 . 2 (3.17)
x sin 9 + y/2sin29-V1/X - y - cos 9-^1/X - (x sin 9 + y cos 9)
В этом случае линия разрыва напряжений l выходит из вершины этого угла и, согласно (3.17) ее уравнение имеет вид
x2/2sin 29 - 2xy sin2 9 - y2/2sin 29 + [(xsin 9 + y cos 9))/X2 - (x sin 9 + y cos 9)2 +
(3.18)
+ 1/X arcsin X (x sin 9 + y cos 9) + yV 1/X - y + 1/X arcsin Xy] = 0 В случае, когда 9 = п/3, имеем
dy/dx =_(V3x -3y)^W12 -3Х2 ■ (^x + y)2__(3.19)
(3 x + V3y) -Х- 4>/1 - X2 y2 - V 4 - X2 ■ (V3x + y)2
Уравнение линии разрыва следующее:
43х2/4 - 3/2ху -43у2/4 + (л/3х/2 + у/2) -У 1/Х2 - (У3х/2+у/2)2 + + 1/X2агс8ШХ(л/3х/2 + у/2) + уУ 1/X2 - у2 + 1/X2агс8ШХу = 0
На фиг. 3 построено поле характеристик и линия разрыва напряжений. На отрезке ВС касательное напряжение не сопрягается. Следовательно, вдоль отрезка ВС необходимо предположить наличие щели. Вектор касательного напряжения т направлен ортогонально к левому берегу щели по образующей стержня. Аналогично нормальная составляющая вектора касательного напряжения т к правому берегу щели направлена по образующей стержня вглубь щели. Решение не может быть продолжено за огибающие характеристик ABD, вдоль этих линий действуют касательные напряжения, направленные вдоль оси z, уравновешивающие перепад давления В случае, когда 9 = п/2, имеем
ау/ах = ~у + У1/^2 - *2 (3.21)
х -У 1/Х - у
Уравнение линии разрыва таково:
1/Х2 - х2 + уУ 1/Х2 - у2 + 1/Х2 (агезт Хх + агезт Ху) - 2ху = 0 (3.22)
На фиг. 4 построено поле характеристик и линия разрыва напряжений. В случае, когда 9 = 2п/3, имеем
¿у/ах =_-(^х + 3у) -Х + У12 - 3'2 ■ (Лх - у)2 (3.23)
(3 х - л/3у) -Х- ^/1 - X2 у2 + у 4 - X2 ■ (л/3х - у)2 Уравнение линии разрыва следующее:
—/3х2/4 - 3/2ху + л/3у2/4 + (43х/2 - у/2) -У 1/X2 - (У3х/2 - у/2)2 +
+ 1/Х агсзт ^3х/2 - у/2 + улЛ/Х1 - у + 1/Х агсзтХу = 0
На фиг. 5 построено поле характеристик и линия разрыва напряжений.
Рассмотрим случай, когда контур поперечного сечения L стержня — квадрат, сторона которого равна 2a. Характеристики уравнения (3.4) в плоскости ху — окружности радиуса 1/ |Х|.
(3.24)
УЬ A
Фиг. 5
Фиг. 6
Расположение характеристик и линий разрыва напряжений в случае, когда радиус окружности 1/ меньше a, приведено на фиг. 6.
На отрезках А1А2, В1В2, С1С2, ДД касательное напряжение не спрягается. Следовательно, вдоль них необходимо предположить наличие щели. Вектор касательного напряжения т направлен ортогонально к правому берегу щели по образующей стержня. Аналогично нормальная составляющая вектора касательного напряжения т к левому берегу щели направлена по образующей стержня вглубь щели. Решение не может быть продолжено за огибающие характеристик А1В1, В1С1, С1Д1 и АД. Вдоль этих линий действуют касательные напряжения, направленные вдоль оси z, уравновешивающие перепад давления а .
Случай, когда радиус окружности 1/равен a, представлен на фиг. 7. Кривые BB2, СС2, DD2 — линии разрыва напряжений.
На отрезках ОА2, ОВ2, ОС2, ОД2 касательное напряжение не спрягается. Вдоль них предполагается наличие щели. Вектор касательного напряжения т направлен ортогонально к правому берегу щели по образующей стержня. Аналогично нормальная составляющая вектора касательного напряжения т к левому берегу щели направлена по образующей стержня вглубь щели.
В предельном случае, при 1/ ^ +<», характеристики переходят в прямые, ортогональные контуру.
Линии разрыва напряжений принимают предельное положение в виде отрезков OA, OB, OC, OD (фиг. 8).
Деформированное состояние стержня определим из соотношений ассоциированного закона пластического течения. Из условия экстремума функционала
А = ехох+ ^ уОу + е £ + 2(е хуТ х
+ е г
ч 2
+ е XI)
- X - <3у)2 + (оу - Ог)2 + г - ах)2 + 6(хХу + тУг + Т2хг) - б)
(3.25)
ех = 2Ц (2ах -ау -аг), Еху = бцтху
е у = 2ц (-а х + 2а у - а г), е уг = бцт у
(3.26)
имеем
A
y
a
A / i i \ A2\
d2/
К \Ci í¿ B2
D
B
C
B
C
Фиг. 7
Фиг. 8
б г = (-с х - о y + 2а z), б = бцт
Согласно (3.1), из (3.25) и (3.26) получим
Б x Б y Б z Б xy 0
(3.27)
Считая деформации настолько малыми, что изменениями геометрии тела можно пренебречь, имеем, что при кручении напряжения в данной точке остаются постоянными по величине и направлению. В этом случае соотношения ассоциированного закона течения интегрируются. Так как в начальный момент закручивания все компоненты деформации равны нулю, то из (3.27) получим
= 0,
(3.28)
где e¡j — компоненты деформации в декартовой системе координат.
Используя соотношения связи между компонентами деформаций и компонентами перемещений, из (3.28) имеем
д и/дх = д и/ду = dw/dz, д и/ду + д и/дх = 0 (3.29)
(du/dz + dw/dy) cos ф = (du/dz + dw/дх) sin ф (3.30) Удовлетворим соотношениям (3.29), полагая
и = pyz, =-pxz, w = w (x, y), p = const (3.31)
С учетом (3.31) из (3.30) следует
-dw/дх sin ф + dw/dy cos ф = р (y sin ф + х cos ф) (3.32)
Система уравнений для определения характеристик соотношения (3.32) имеет вид
-йх/ sin ф = dy/ cos ф = dw/p (y sin ф + х cos ф) (3.33)
Из (3.33) вытекает, что характеристики уравнений (3.4) и (3.32) совпадают. Согласно (3.6) из
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.