МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА <3 • 2008
УДК 539.375
© 2008 г. Е.В. ЛОМАКИН
КРУЧЕНИЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ТЕЛ С ИЗМЕНЯЮЩИМИСЯ ДЕФОРМАЦИОННЫМИ СВОЙСТВАМИ
Проведен анализ результатов экспериментальных исследований эффективных деформационных свойств поврежденных, пористых и других неоднородных материалов и изучены основные закономерности их поведения при деформировании. Рассмотрены возможные варианты определяющих соотношений, учитывающих зависимость свойств рассматриваемых сред от условий нагружения или условий деформирования, а также взаимосвязь сдвиговых и объемных деформаций. Поскольку традиционная постановка задач кручения тел, обладающих такими свойствами, не может быть использована, то на основе анализа уравнений совместности деформаций и соотношений между деформациями и перемещениями, представленными в цилиндрической системе координат, получены выражения для перемещений в соответствующей обобщенной форме, справедливой не только при решении задач кручения. Исследована зависимость распределения перемещений, деформаций и напряжений при кручении от параметра, характеризующего чувствительность деформационных свойств материалов к изменению вида напряженного состояния. Показано, что при кручении цилиндра круглого поперечного сечения депланация сечения не происходит, как и в классическом решении, но распределения перемещений, деформаций и напряжений существенным образом отличаются от известных решений.
1. Экспериментальные зависимости и определяющие соотношения. При исследовании деформирования многих материалов проявляется чувствительность их свойств к виду напряженного состояния, которая выражается в зависимости диаграмм деформирования от соотношения между компонентами тензора напряжений в процессе нагружения. Данная зависимость определяется, как правило, особенностями структурного строения материалов, наличием микротрещин, пор, включений, армирующих элементов и других видов неоднородности. Эти эффекты проявляются у горных пород, бетона, чугуна, конструкционных графитов, огнеупорных керамик, некоторых композитных материалов.
На основе анализа экспериментальных данных для различных материалов установлено, что при описании зависимости их деформационных свойств от вида напряженного состояния может быть использован параметр £ = о/о0, где о = 1/3о;; - гидростатическая
компонента напряжений, о0 = ^/2/3 SjSj - интенсивность напряжений, Sj = o¡j - о5у - де-виатор напряжений [1]-[3].
На фиг. 1 приведены обобщенные диаграмы зависимости между интенсивностью напряжений о0 (МПа) и интенсивностью деформаций е0 = J2/3e^e^, где e¡j = e¡j - 1/3е5у -девиатор деформаций, е = e¡¡ - объемная деформация, полученные на основе экспериментальных данных для белого мрамора, приведенных в [4]. Эксперименты проводились в условиях пропорционального нагружения сплошных цилиндрических образцов
0.001 0.002 0.003 е<<
£<, • 10-3
Фиг. 1
Фиг. 2
при действии осевого сжимающего напряжения и бокового давления. Диаграмма 1 получена при одноосном сжатии (£ = -0.333), диаграммы 2-7 получены в условиях пропорционального трехосного сжатия, которым соответствуют следующие значения параметра £ = -0.407 (2), -0.464 (3), -0.55 (4), -0.63 (5), -0.79 (6), -1.39 (7). Аналогичные диаграммы можно привести для различных горных пород и общее свойство их заключается в отсутствии единой диаграммы зависимости между интенсивностью напряжений и интенсивностью деформаций. При этом отсутствует и единая диаграмма зависимости между гидростатической компонентой напряжений о и объемной деформацией е.
На фиг. 2 приведены обобщенные диаграммы деформирования графита АРВ, определенные на основе испытаний трубчатых образцов при разных условиях пропорционального нагружения (о0 [МПа]). Диаграммы 1-4 получены при одноосном растяжении (£ = 0.333), одноосном сжатии (£ = -0.333), сдвиге (£ = 0) и равномерном двухосном растяжении (£ = -0.667), соответственно. Наблюдается значительное расхождение диаграмм, соответствующих разным условиям пропорционального нагружения. Диаграммы деформирования графита обладают определенной нелинейностью, но эта нелинейность существенно меньше нелинейности диаграмм деформирования горных пород.
Уравнения связи между напряжениями и деформациями, отражающие наблюдаемые эффекты, могут быть получены на основе соответствующего представления для потенциала деформаций (дополнительная работа), который в случае активного нагружения имеет вид [2]:
Ф = 1/2( А + В )о0+ [ 1 + к(£)]£ (о,), А = ЩеГ1 ' В = 3 (1 ¿2У) (1.1)
Первое слагаемое в потенциале (1.1) представляет собой потенциал для линейно упругого тела. Функция g(о0) характеризует нелинейность обобщенных диаграмм деформирования и обычно аппроксимируется степенной функцией g(о0) = к о, /я, которая
хорошо соответствует результатам экспериментальных исследований. В частности, для исследованных горных пород я = 6, для графитов я = 4. Диаграммы, соответствующие
этим значениям показателя п, представлены на фиг. 1 и 2 сплошными линиями. Соотношения между деформациями и напряжениями имеют вид
е^ = дФ/до^ = 3/2 [ А + Ь(£) коП-2 ] Б^ + 1/3 [В + Л(£) к оП-2 ]О5,7 (1 2)
Ь(£) = 1 + к(£) - к'(£)£/п, Л(£) = к'(£)/(£ п) .
Штрихом обозначено дифференцирование по параметру £. На основе (1.2) можно получить выражения для интенсивности деформаций е0 и объемной деформации е:
ео = [ А + Ь(£) к о"-2 ]о о, е = [ В + Л(£) к о"-2 ]о (1.3)
Из второго соотношения (1.3) следует, что объемная деформация зависит не только от среднего напряжения о, но и от интенсивности напряжений о0. При к© = 0 из (1.2) и (1.3) следуют соотношения деформационной теории пластичности с линейно упругим изменением объема, но в общем случае объемная деформация связана со сдвиговыми деформациями.
Для некоторых материалов обобщенные диаграммы деформирования обладают слабой нелинейностью, как, например, для графитов, диаграммы деформирования которых подобны представленным на фиг. 2. Серия слабонелинейных диаграмм может быть аппроксимирована серией прямолинейных диаграмм в определенном диапазоне деформаций. Такая аппроксимация упрощает расчеты и позволяет исследовать характерные особенности поведения рассматриваемых сред, а в некоторых случаях получать решения краевых задач в аналитическом виде. Определяющие соотношения при такой аппроксимации могут быть получены из (1.1) и (1.2), полагая показатель степени п = 2 в функции #(о0). Тогда потенциал деформаций имеет вид [5]:
Ф = 1/2[ 1 + £(£)]( А + В£2 )оо2 (1.4)
где С(£) = [1 + к(£)](А + В£2)-1. При С(£) = 0 потенциал (1.4) совпадает с потенциалом деформаций для классического линейно упругого тела. Полученные на основе (1.4) соотношения между деформациями и напряжениями имеют вид
е1} = 3/2ю(£) Бц + 1/3О(£)о5,7
ю(£) = -1/2 (А + В £2 )£(£)£ + А [ 1 + £(£)] Ц.5)
О(£) = 1/2( А + В £2 )С (£)/£ + В[ 1 + СО
Функции ю(£) и О© связаны соотношениями
ю(£) + £ 2О(£) = (А + В £2)[ 1 + £(£)], ю'(£) + £2 О'(£) = 0 (1.6)
Соотношения (1.5) можно разрешить относительно напряжений, вводя параметр у = е/е0. Определяя на основе (1.5) зависимости между объемной деформацией е и средним напряжением о, а также между интенсивностью деформаций е0 и интенсивностью напряжений о0, находим связь между параметрами £ и у, которую можно представить в виде
у = О(£)/ю(£)£ (1.7)
Используя равенства (1.6) и (1.7), соотношения (1.4) и (1.5) можно представить в виде
и = 1/2 [ 1 + п(у)]( 1/А + у2/В )ео2 о = 2/3 у ( у ) е и + ¥ ( у ) е 5
у(у) = - 1/2 (1/А + у2/В )п' (у)у + 1/А [ 1 + п(7)] (1.8)
¥(7) = 1/2( 1/А + 72/В )п'(7)7-1 + 1/В [ 1 + П(7)]
Для функции ю(£) иногда используется линейная аппроксимация или кусочно линейная. В случае линейной функции ю(£) = А + С£ соотношения существенно упрощаются, что позволяет проводить наглядные качественные исследования особенностей деформирования сред, свойства которых зависят от вида напряженного состояния. При этом, согласно (1.6), функция 0(£) = В + С/£, параметр £ = (Ау - С)(В - Су)-1 и соотношения (1.8) имеют вид
о^ = [2/3(В - Су)е^ + (А - С/у)е5,7](АВ - С2)-1 (1.9)
Функции ю(£) и 0(£) или у(у) и ¥(у) описывают непрерывную зависимость упругих свойств среды при непрерывном изменении параметра вида напряженного состояния £ или параметра вида деформированного состояния у. Для частного вида определяющих соотношений (1.5) и (1.8), представленных в виде (1.9), решение краевых задач единственно при С2 < АВ. При С = 0 определяющие соотношения (1.9) совпадают с соотношениями для линейно упругого тела.
2. Определение перемещений при кручении. Классическая постановка задач кручения цилиндрических тел, основанная на гипотезах Сен-Венана [6], для рассматриваемых материалов не может быть использована вследствие взаимосвязи процессов сдвигового и объемного деформирования [7]. Поэтому при определении перемещений в цилиндрической системе координат будем исходить из общих представлений
иг = ф1 (г, д, г), ид = Ф2(г, д, г), и1 = ф3(г, д, г) (2.1)
Компоненты тензора деформаций могут быть представлены в следующем виде: егг = 1/2(ЭиГ / Э г + Эиг/Э г) = 1/2 (дф^дг + Эф3/Э г)
е
дг
1/2(дид/Эг + г ^и;/Эд) = 1/2(Эф2/Эг + г :дф3/Эд)
егд = 1/2(г диг/дд + дид/дг - ид/г) = 1/2(г Эф^Эд + Эф2/Эг - ф2/г) (2.2)
едд = г 1Эид/Эд + иг/г = г :дф2/Эд + ф^г егг = Э иг/Эг = Эф!/ Э г, егг = Э иг/дг = Эф3/Эг
Функции ф; (г, д, г) должны удовлетворять уравнениям совместности деформаций, которые в цилиндрической системе координат имеют вид
2 Э/Эгдг + е) _1 Экг _1 ЭХг _ е дд = < 2Э^ТТ _ ЭЛг _ ЭИЬ?
_: + е _ - ~ гг__гг _ дд = < 2 г г _ гг _ - - гг = <<
гЭгI Эд гг) " г Эг " г2 э д2 " Эг2 " ' ЭгЭг " дг2 " Э г2 =
2 д ГЭегд + ^ +1 _Э(е __ )_1 дЧг_Э^дв
гд -»- ^ / г\ ч А гг ~дд _ /л
г дд "Э7 + Т ) + г эг(егг -2едд) - ~Эг2~ = 0
1_Э_(дгг _ ^ + д
г дд\ дг г уд г
1Г _ де
г д д ) ' дг
дг д д + дг (егд едг)
0 (2.3)
_Э_ Г Эедд + е д д ~ егг ) +1 _Э_ Г1Э егг дедг е д г дег д
дгV дг г у гдд1.г дд дг г дг
2
1 _э_где_г_де_г ег_г)__э_г2 дед) э е йг
гд д1. дг д г + г у дгV г£гд + д г ) + э г2 + дгI г
0
Предположим, что стержень достаточно длинный и граничные условия на боковой поверхности не зависят от продольной координаты г. Тогда дефо
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.