МЕХАНИКА
ТВЕРДОГО ТЕЛА № 2 • 2014
УДК 539
© 2014 г. А. Д. ЧЕРНЫШОВ
КРУЧЕНИЕ УПРУГОГО СТЕРЖНЯ С ПОПЕРЕЧНЫМ СЕЧЕНИЕМ В ВИДЕ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА, ТРАПЕЦИИ, ТРЕУГОЛЬНИКА
ИЛИ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФОРМЫ МЕТОДОМ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ К ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ОБЛАСТИ
Преобразованием координат область поперечного сечения стержня переводится в прямоугольную, для которой спектры собственных функций и собственных значений известны. Представляя функцию кручения в виде обобщенного ряда Фурье, решение сводится к замкнутой линейной системе алгебраических уравнений относительно коэффициентов разложения. Показано, что используемые ряды Фурье абсолютно сходятся, так как коэффициенты разложений убывают по кубическому закону в зависимости от номера слагаемого. Доказана теорема о сходимости приближенного решения в виде конечной суммы ряда Фурье к точному решению. Приведено обобщение на случай сечения стержня произвольной формы.
Ключевые слова: упругий стержень, сечение, параллелограмм, трапеция, треугольник, быстрые ряды Фурье.
1. Сечение стержня в форме параллелограмма. К настоящему времени известны решения задач о кручении упругого стержня для некоторых частных примеров [1, 2]. В монографии [3] предлагается решать подобные задачи при помощи нахождения конформного отображения данной области на область круга, что удается сделать в ограниченных случаях. В книге [4] приведено большое количество решений, где отдельные участки границы сечения стержня совпадают с координатными линиями ортогональной системы. В работе [5], в задаче о кручении, учитывается возможность появления осевой сжимающей силы и изгибных моментов, в [6] при кручении описывается эффект осевых остаточных деформаций, в [7] пространственная задача о кручении, растяжении и изгибе с помощью специальных преобразований сведена к двумерной для области поперечного сечения стержня. В [8] приводятся разрывные решения для жесткопластических стержней. В данной работе задачу о кручении упругого стержня предлагается решать с помощью теории спектральных разложений.
Существуют различные эквивалентные постановки задачи о кручении упругого стержня, из которых выберем ту, когда за неизвестную принимается функция напряжений. Данная функция удовлетворяет уравнению Пуассона с нулевыми условиями на границе односвязного сечения стержня О:
Классы функций Соболева—Лиувилля и условие гладкости в (1.1) будем использовать в связи с последующими разложениями и в равномерно сходящийся ряд Фурье [9]. Запишем уравнения сторон параллелограмма (фиг. 1):
2, Щ г = 0, и е Ьар+2 (О), и е С(3) (О), (х,
(1.1)
х = 0, х = 2а, у = кх, у = кх + 2Ь
(1.2)
Фиг. 1
Сделаем замену переменной
(х, у) ^ (х, 5), 5 = у - кх (1.3)
Область ^ при использовании переменных переходит в прямоугольную Ог (с
нижним индексом прямоугольника):
0 < х < 2а, 0 2 Ь, (х, £) еАг (1.4)
Дифференциальное уравнение и граничные условия из (1.1) в новых переменных принимают вид
ихх - 2ки*. + (1 + к2=-2, и € Ьа;2 (Ог), и € С(3) (ОГ)
и\х =0 = и1х=2а = и5=0 = и5=2Ь = 0 (x, 5) € Ог .
Решение уравнения (1.5) для областей с кусочно гладкой границей принадлежат к
классу гладких интегрируемых функций и е (Ог), и е С(3) (Ог), поэтому уравнение (1.5) относится к классу самосопряженных неотрицательных расширений эллиптических операторов [9]. Задаче (1.5) можно поставить в соответствие вспомогательную задачу о собственных функциях и собственных значениях (СФЗ) для оператора Лапласа [9] в переменных (к, для области Ог:
().. + (&т,п )рр + ^т,п&т,п = 0, (x, е ^г
' хх ', ' , ' (1.6) С \ = С \ = С \ = С \ = 0
"т,п1х =0 = т,п\х=2а = тп1 р=0 = т>п1 р=2Ь =
Обе проблемы (1.5) и (1.6) сформулированы для одной и той же области Ог с одинаковыми нулевыми граничными условиями. Для прямоугольника Ог в данном случае СФЗ имеют точные выражения [10]:
г, ■ тпх • пп£ ,, - (тл\2 [пп\ -ч
От,п = 0 ^ х < 2а, 0 2Ь, Хт, = (—) + (—) (1.7)
В соответствии с методом, предложенным в работе [11], функцию напряжений представим рядом Фурье
<ю 2а 2Ь
и = X Лт^т^ Ат,п = ^Ь I ^ I (1.8)
(т,п)=1 0 0
В [9] доказано, что для функций U е (Qr) ряд Фурье равномерно сходится в Qr. Представление решения в форме (1.8) заведомо удовлетворяет граничным условиям, остается найти коэффициенты Amn.
Решение задачи для параллелограмма в постановке (1.5) обладает свойством симметрии: каждой точке Mx(xb yx) в Q соответствует симметрично расположенная относительно диагоналей параллелограмма точка M2(x2, y2). Координаты точек Mx, M2 связаны равенствами
Xi + x2 = 2a, yi + y2 = 2ak + 2b, ^ = yi - kxx, = 2b - (Mb M2) eQ (1.9)
Векторы касательных напряжений в этих точках равны по величине и направлены в противоположные стороны, а функция кручения U должна принимать одинаковые значения
U (Mi) = U (M2) (1.10)
Отсюда имеем
Gm,n (Mi) = Gm,n (M2) ^ Sin тПХ- sin = sin^^Sin
2a 2b 2a 2b
Выражая x2, через x:, ^ при помощи (1.9), получим
. mnx\ . nníi , A\m+n • mnx\ . nn£i
Sin--Sin-= (-i) Sin--Sin——
2a 2b 2a 2b
Это равенство будет выполнено, если четность m и n одинаковая. Поэтому собственные функции из (1.7), удовлетворяющие свойству (1.10), будут иметь вид
Gm'n = Sin-Sin—-, 0 < x < 2a, 0 <q< 2b
a b
G(Jl = Sin (2m - i) — Sin (2n -i)^, m, n = i,2,... m,n \ >2a У '2b
(1.11)
Учитывая (1.11), ряд Фурье (1.8) перепишем в более удобной форме
ад
и = ^ (Ат,п^т,п + Вт,п^1п^п) (1.12)
(т,п)=1
Использование свойства симметрии (1.10) позволило сократить число неизвестных коэффициентов Фурье в два раза, так как ряд (1.12) содержит в два раза меньше коэффициентов по сравнению с рядом (1.8). Следует отметить, что ряд Фурье (1.12) обладает дополнительным свойством — он сходится не только внутри, но и на границе области Ог. Подобные ряды по синусам для гладких функций допускают почленное дифференцирование, после чего получаются ряды по косинусам, которые для гладких функций также допускают почленное дифференцирование [12]. Таким образом, ряд Фурье (1.12) можно дважды почленно дифференцировать по каждой из переменных x, ^ во всей области Ог. Третий раз почленно дифференцировать ряд (1.12) нельзя, так как
(ихх , иг ^ 0. Покажем, что ряд (1.12) абсолютно сходится в Ог и обладает высокой скоростью сходимости. Для этого запишем коэффициенты Фурье через двукратные интегралы
2а 2Ь 2а 2Ь
Атп = \ | йх [ Втп = \ [ йх [ Ж^й \ (1.13)
аЬ аЬ
Введем вспомогательные обозначения
2b
An (x) = 1 J U (x, t) sin nn ^ dt, An (0) = An (2a) = 0
b 2b b (L14) Bn (x) = 1 JU (x, t)sin (2n - 1)n2bdt, Bn (0) = Bn (2a) = 0
b J v 7 v '2b
0
через которые выразим коэффициенты Фурье
Атп = 1 I Ап (х)яптпхйх, Вщп = 1 |Вп (х)яп(2т - \)п^йх (1.15)
а а а 2а
о о
Выражения для Ап(х) и Вп(х) после трехкратного интегрирования по частям с помощью граничных условий для и, указанных в (1.1), приводятся к виду
2 2Ь
Ап (х) =-Ь-3 А* (х), А* (х) = и-- (х,2Ь) - (х,0) - Гесзпп\ п П 0 ь
,2
(2n -1)3 п3
Bn (x) = b 3 3 B* (x),
2b
B* (x) = -U^ (x,2b) - U^ (x,0) - J U^ c os (2n -1) п
0
Повторно используя трехкратное интегрирование по частям и граничные условия для An (x) и Bn (x) из (1.14), получим окончательный вид Amn, Bm n:
a _ a2b2 a* B __64a2b2_„*
Am,n _ 3 3 6 Am,n, Bm,n _ 3 \3 6 Bm,n
m n n (2m -1) (2n -1) n
2a
A*,n _ A*xx (2a) - A*xx (0) - I A*xxx (x)cos mn xdx (1.16)
a
0
2a
Bin _ -Btxc (2a) - B*xx (0) - I B*xxx (x) cos (2m -1) n x dx
2a
0
Полученные выражения для коэффициентов Am n, Bm n остаются справедливыми для любой формы сечения стержня и не зависят от преобразования (x,y) ^ (x, . Данное преобразование влияет только на дифференциальное уравнение и на конкретные значения указанных коэффициентов, где необходимо потребовать, чтобы (Е,y, Е,x, Е,xx) е C(Qr). Кубическая зависимость Amn, Bmn от номеров да-1, и-1 в (1.16) обеспечивает абсолютную сходимость ряда (1.12) во всей области Qr и высокую скорость его сходимости. Из (1.16) следуют оценки
(A1,2, А2Л)~10-4, A22 ~ 10-5, (B1,2, B21) ~ 10-3, В^Ю-4 (1.17)
Это означает, что при вычислении напряжений с точностью до 10-2 в ряде (1.12) достаточно удерживать всего четыре слагаемых с коэффициентами A11, B11, B12, B21. Если же
учитывать семь коэффициентов А, х, А, 2 , А21 , В1 х, В1 2 , В2 1, В2 2 , то, в соответствии с оценкой (1.17), точность повысится на порядок. При этом все остальные коэффициенты следует считать равными нулю.
Таким образом, трудоемкость при реализации предлагаемого метода по сравнению с численными методами гораздо меньше и позволяет быстрее получить решение задачи с высокой точностью, которое, к тому же, имеет аналитический вид (1.12).
Для нахождения коэффициентов Ат п, Вт п подставим Uиз (1.12) в (1.5)
^^ Ат ,п
(т , п)=1
т\ + (1 + к2) П'
/-|(1) . т; тп х с
2 IСтп + 2к—008тп—008пп-2 1 аЬ а I
+ ^^ Вт,п
Вт
(2т-1) + (1 + к 2) ^ 2 '
4а 2
+ к
(т,п)=1
(2т - 1)(2п - 1)
4Ь
ст +
ит,п ^
(1.18)
2аЬ
008(2т - 1)пх008(2п - 1)^ v ; 2а v ' 2Ь
Так как и е 1Хр+2 (£1г), то левая и правая части равенства (1.18) принадлежат классу Хр (£1г), и потому их можно разлагать в соответствующие ряды Фурье по СФЗ в области Ог. Для
этого обе части уравнения (1.18) умножим на С^, затем на Ср2 и проинтегрируем по Ог. В результате будем иметь замкнутую систему линейных алгебраических уравнений относительно Ар5, Вр,5:
% + (1 + к2) ^
Ар,в +
32кр$ (2т -1) (2п -1) Вт п (т,п)=1 [4Р2 - (2т - 1)2] [452 - (2п - 1)2]аЬ
= 0
I
(т,п)=
+ П
32ктп (2р -1) (25 -1) Ат п :1[4т2 - (2р -1)2] [4п2 - (25 - 1)2]аЬ
(1.19)
(2р -1)2
4а 2
+ (1 + к2)
(25 -1)2
4Ь2
Вр,5 -
32
п2 (2р -1)( -1)
(р, 5)- 1,2,
Ограничиваясь в системе (1.19) и в суммах (1.12) конечным числом слагаемых, получим приближенное решение задачи (1.1). При его построении пришлось выполнять некоторую совокупность математических действий, ограничивать количество слагаемых в суммах и количество уравнений в системе (1.19). Поэтому возникает вопрос, будет ли конечная сумма из (1.12) при неограниченном увеличении числа слагаемых переходить в решение задачи (1.1) (или эквивалентной ей задачи (1.5)). В этой связи докажем теорему о сходимости к точному решению.
Теорема. Если (ихх,их^,и^^, Еу, Ех, Ехх) е С(1) (£1г) и коэффициенты Ар
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.