МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА № 1 • 2013
УДК 531.44
© 2013 г. В. Ф. ЖУРАВЛЁВ
КУРСОВЫЕ АВТОКОЛЕБАНИЯ ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНЫХ ВАГОНОВ
В материале [1] приведена видеозапись движения порожнего грузового железнодорожного состава. На записи наглядно видно, что некоторые вагоны подвержены угловым автоколебаниям в горизонтальной плоскости (виляние). В этом же материале перечислены основные причины подобной "отрицательной динамики" вагона. Все приведенные причины связаны с теми или иными дефектами изготовления вагона.
Ниже показано, что указанный тип автоколебаний возможен даже в случае совершенно идеального вагона, в котором никаких дефектов вообще нет. Показано, что при определенном сочетании параметров возможна неустойчивость прямолинейного (невозмущенного) движения вагона типа флаттер. Ранее [2, 3] такой тип автоколебаний железнодорожных вагонов не изучался.
Ключевые слова: железнодорожный экипаж, устойчивость, автоколебания.
Приведенная в [1] видеозапись эксперимента показывает, что для описания наблюдаемых колебаний вагона достаточно рассмотреть вагон как систему с двумя степенями свободы, отвечающим угловым колебаниям в горизонтальной плоскости (виляние) и боковым колебаниям. Присутствие остальной части железнодорожного состава представлено двумя растягивающими рассматриваемый вагон силами, действующими со стороны предшествующих и последующих вагонов вдоль линии движения. Движение будет предполагаться прямолинейным и равномерным. Никаких внешних возмущений нет.
На фиг. 1 показаны силы, действующие на колесо при его движении по рельсу: нормальная реакция N уравновешивающая вес, горизонтальная реакция реборды Я и сила сухого трения ¥, пропорциональная реакции Я, если движение осуществляется с постоянной скоростью. На фиг. 2 показан вагон, где эти силы повторены для каждого колеса.
Будем рассматривать динамику вагона по двум степеням свободы — поворот на угол а и боковое смещение вдоль оси х.
Вычислим вначале моменты всех приложенных к вагону сил:
М1 =-(к/ + 1Щ; М 2 = (-к/ + I )Я2
М3 = (к/ -1)Я3; М4 = (к/ +1)Я4
где к — полуширина вагона, а I — его полудлина, / — коэффициент сухого трения.
Реакции реборд очевидно зависят от а и х. Ограничимся линейной частью этих зависимостей:
Я1 = й1 + Ьпа- Ь21х, Я2 = й2 - ¿12а- ^х
Я3 = а3 + Ь13а + Ь23х, Я4 = а4 - Ь14а + Ь24х
Фиг. 1
Фиг. 2
Выражение для полного момента сил, приложенных к вагону со стороны рельсов, получится таким:
М = М1 + М2 + М3 + М4 = -(к/ + /)(а1 + Ьпа - Ь21х) + (-к/ + /)(а2 - Ь12а - Ь22х) + + (к/ - /)(а3 + Ь13а + Ь23х) + (к/ + 1)(а4 - Ь14а + Ь24х) = = - [(к/ + Оа - а4) + (к/ - 1)(а2 - аъ)] -
- [(к/ + !)(Ьп + ¿14) - (к/ - />(¿12 + Ь1з)]а + + [(к/ + /)(Ь21 + Ь2А) + (к/ - ¡)(Ь22 + Ь2з)]х
Выражение для боковой силы, действующей на вагон, следующее
Я = Я1 + Я2 - Я3 - Я4 = а1 + а2 - а3 - а4 + (Ь11 - Ь12 - Ь13 + Ь14)а -
- (Ь21 + Ь22 - Ь23 - Ь24)х
Отсчет координат а и х выберем так, чтобы а = х = 0 было положением равновесия М = Я = 0. Тогда -а1 - а2 + а3 + а4 = -а1 + а2 - а3 + а4 = а1 + а2 - а3 - а4 = 0, что влечет: а1 = а4, а2 = а3. Обозначив
- [(к/ + /)(ЬП + Ь14) - (к/ - /)(Ь12 + Ь1з)] = сц
[(к/ + /)(Ь21 + Ь24) + (к/ - /)(Ь22 + Ь2з)] = С12 (1)
Ь11 - Ь12 - Ь13 + Ь14 = с21> - Ь21 - Ь22 + Ь23 + Ь24 = с22
выражения для момента и для боковой силы можно представить в виде М = с11а + с12х, Я = с21а + с22х
Следует еще учесть момент и боковую силу, действующую на вагон со стороны предыдущего и последующего вагонов:
МТ = -21Т а = -с1а, Ят = -с2 х
Уравнения колебаний вагона имеют вид
I а = М + Мт, тХ = Я + ЯТ
где т — масса вагона, J — момент инерции вагона вокруг вертикальной оси, проходящей через центр масс. Или иначе
I а + с1а = с11а + с12х, тХ + с2х = с21а + с22х (2)
Разложим матрицу
С = Г(с1 - сП)/1 - сп/I ' \-с21/т (с2 - с22)/т на симметрическую и кососимметрическую части С = К + N, (КТ = К, Nт
К = {к11 к12 1 = 1(С + Ст), N = (0 = 1(С - СТ)
1*21 к22) и 0) 2 '
Матрица K представляет собой матрицу потенциальной (консервативной) части сил и моментов, приложенных к вагону. Ее компоненты таковы: k11 = (с — сп)/Л,
*12 = *21 = к = -(тс12 + /с21)/2/т, *22 = (с2 - с22)/т.
Матрица N представляет собой матрицу циркулярных (собственно неконсервативных) сил, обычно ответственных за появление флаттерной неустойчивости. Выпишем выражение для коэффициента п:
П = тс12 - 1с21 (3)
21т
Исходные уравнения (1) перепишутся в виде
а + к11а + к12х - пх = 0, х + к21а + к22х + па = 0 (4)
Приведем эти уравнения к нормальным координатам [4, 5] консервативной части системы (п = 0). Для этого вычислим характеристический определитель этой части системы
= ц2 - (кц + *22)ц + кпк22 - к2 = 0
к11 -Ц к12 к21 к22 - Ц Корни характеристического уравнения следующие
щ,2 = 1/2[(к11 + к22) -V(к11 - к22))2 + 4к2 (5)
Если det К > 0, то эти корни вещественные, т.е. система при этом условии является колебательной. Корни и ц 2 представляют собой квадраты собственных частот колебаний вагона в горизонтальной плоскости.
Для нахождения модальных столбцов надо решить две системы:
Гкц-Ц1 к12 Vкп\ = 0 (кп-Ц2 к12 Vк12^ = 0
I к21 к22 Л к21 , I к21 к22 2 .Л к22 у^
Обе системы вырожденные. Их однопараметрические решения имеют вид
, _ Ц1 - к22 к к _ Ц 2 - к11 к
к11 =-;-k2l, к22 --;-к12
к к
с произвольными вещественными к21 и к12. Эти произвольные постоянные можно
найти из условия нормировки модальных столбцов к? = кЦ + к221 = 1 и к| = к^ + кг2 = 1.
Это дает к21 = к[к2 + (ц1 - к22)2]-1/2 и к12 = к[к2 + (ц2 - к11)2]-1/2. Построенные два модальных вектора определяют ортогональную матрицу
Н = (к1 к2) = ^
кц кц к21 к22
= {[к2 + (щ - к22)2][к2 + (Ц2 - кп)2]}-1/2 ^ -к22 к
^ к Ц 2 - кц
позволяющую перейти в рассматриваемой системе от переменных а, х к нормальным координатам qh ^ по формуле
М = Н Гql 1. (6)
\х) \Я2у
Матрица системы (4) при преобразовании (6) переходит в матрицу С ^ НТСН = НТКН + НТМН = ^ 0 V0 -п
ч0 ц2) ^п 0 где п получается таким
П = 2 - к22)(^2 ~ к11) - к2 ^ п (7)
[к2 + (ц - к22)2][к2 + (ц2 - кц)2]
В новых переменных система (4) принимает вид
ql + ^ - пq2 = 0, ¿^2 + Ц2q2 + пql = 0 (8)
Она имеет следующее характеристическое уравнение
X4 - (ц + Ц2)^2 + Ц-1Ц-2 + п2 = 0
с очевидным решением
2Х2 = Ц + Ц2 ±4(Ц1 -Ц2)2 - 4п2 (9)
Для устойчивости системы (8) необходимо и достаточно, чтобы квадрат собственной частоты (9) был вещественным и положительным. Для этого необходимо и достаточно выполнения неравенства |ц1 - ц2| > 2 |й|. Или, имея в виду (3) и (7), получим критерий устойчивости в виде
|И1 -ц2 > [(^1 -2к22)(^2 - ^ - ^К12 - (10)
ш1[к + (ц1 - к22) ] [к + (ц2 - кп) ]
Данное условие показывает, что для повышения устойчивости вагона следует увеличивать разность квадратов частот собственных колебаний |ц1 - ц2| и уменьшать норму циркулярных сил |дас12 - /с21|.
Заметим, что норма циркулярных сил растет с ростом коэффициента с12, который в свою очередь увеличивается с увеличением коэффициента сухого трения / (см. (1)). Обычно принимаемый вид зависимости коэффициента сухого трения от скорости относительного проскальзывания [5] приводит к выводу, что повышение скорости движения состава увеличивает опасность возникновения изучаемой неустойчивости вагона.
Если условие устойчивости (10) не выполнено, то возникают интенсивные автоколебания (флаттер), амплитуда которых определяется различными нелинейными членами в уравнениях движения (2) или (4), которые на этапе исследования устойчивости учтены не были.
Не входившее в цели настоящего исследования изучение параметров азимутальных автоколебаний, возникающих в случае отсутствия устойчивости прямолинейного движения, имеет смысл для борьбы с эффектом вкатывания гребня колес на головку рельса.
Выполненное выше исследование устойчивости осуществлено без учета диссипа-тивных сил. Наличие этих сил приводит к расширению уравнений (8)
д 1 + ¿ц^ + ¿^д2 + цд - п^ = 0 (¿п d:
д 2 + ¿21?! + ¿22? 2 + Ц 242 + П 41 = 0 I ¿21 ¿22
»12
= О (11)
с симметрической матрицей диссипативных сил В, (¿21 = ¿12). Если положительно определенная матрица В является матрицей сферического типа О = ¿Е, где С — положительное число, а Е — единичная матрица, то легко показать, что система (11) является асимптотически устойчивой при любом С. Действительно, характеристический определитель системы (11) можно представить в виде
X2 + й X + ц + А
X2 + й X + ц - А
= (X2 + йХ + ц)2 -А2 + П2 = 0 (12)
2 2
где введены обозначения = ц + А, ц2 = ц - А. Видно, что при условии А - П > 0, совпадающем с условием (10), все корни уравнения (12) имеют отрицательные вещественные части.
В общем случае предел условия устойчивости при ||О|| = -у/¿121 + ¿122 + ¿21 + ¿22 ^ 0 не существует по совокупности трех компонент матрицы В, т.е. по ¿ц, ¿12 = ¿21, ¿22, что означает, что задача исследования устойчивости при малых диссипативных силах не является корректной по Адамару. Известно (см., например, [6—9]), что диссипа-тивные силы, вообще говоря, дестабилизируют удовлетворяющую условию (10) систему. Даже сколь угодно малые диссипативные силы в состоянии передвинуть границу области устойчивости на конечную величину. Тем не менее приведенное исследование устойчивости имеет смысл, поскольку если система не удовлетворяет условию (10), неустойчивость носит "взрывной" характер, почти не завися от наличия диссипативных сил. Если же условие (10) выполнено, то возможная неустойчивость, провоцируемая малыми диссипативными силами, является "вялой", она развивается очень медленно. При движении состава, из-за неизбежных дефектов пути, параметры колебательной системы (4) постоянно меняются, поэтому на временах, когда не выполняется условие (10) наибольший эффект имеют циркулярные, а не диссипативные силы.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Автоматизированная система обнаружения вагонов с отрицательной динамикой "АСООД". http://www.asood.ru/?ink=2
2. Лазарян В.А., Дуглач Л.А., Коротенко М.Л. Устойчивость движения рельсовых экипажей. Киев: Наукова думка, 1971. 196 с.
3. Черкашин Ю.М. Безопасность движения железнодорожного подвижного состава. М.: ИНТЕКСТ, 2010. 175 с.
4. Журавлёв В.Ф. Основы теоретическ
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.