научная статья по теме КВАДРАТИЧНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМ ТОЖДЕСТВЕННЫХ ЧАСТИЦ В КВАНТОВОМ СЛУЧАЕ Математика

Текст научной статьи на тему «КВАДРАТИЧНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМ ТОЖДЕСТВЕННЫХ ЧАСТИЦ В КВАНТОВОМ СЛУЧАЕ»

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЦДООВ « V.^vtmiH Х»а'

И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА Том 144, № 2 август, 2005

ь,

•Л

'"3

Эй

/

ОС

jfc.O

J

\

© 2005 г. И. Брийе*, С. Гонера*, П. Косински*,

П. Мае ланка*, С. Гил л ер*

КВАДРАТИЧНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМ ТОЖДЕСТВЕННЫХ ЧАСТИЦ В КВАНТОВОМ СЛУЧАЕ

Рассмотрены квантовые динамические системы тождественных частиц, допускающих дополнительный интеграл движения, квадратичный по импульсам. Обнаружено, что существует подходящий способ упорядочения, который позволяет превратить классические интегралы движения в их квантовые аналоги. Рассмотрена связь этих интегралов с разделением переменных в уравнении Шредингера.

Ключевые слова: квантовые интегралы движения, модели Калоджеро-Сазерленда-Мозера, разделение переменных, симметрия sl(2, R).

, . , «flSti- "Mtb''-Т . "/í'OTí '

1. ВВЕДЕНИЕ *¡- 4v^uuq«syj.iiœ.P

В работе [1] Браден показал, что перестановочная симметрия налагает жесткие ограничения на вид потенциалов, допускающих полиномиальные по импульсам интегралы движения. Точнее, он доказал, что только система, допускающая интеграл движения третьего порядка с трансляционно-инвариантным старшим членом, является знаменитой моделью Калоджеро-Сазерленда-Мозера. 1 . /. лъ-М .м V - '

В предыдущей работе [2] мы исследовали классические системы тождественных частиц, обладающие квадратичными интегралами движения. Была получена полная классификация таких систем. В настоящей работе рассматриваются их квантовые модификации. 'л .*>' -i i KV гш .'«fi-ttoioii^rá"! . ?. J. : -, К

2. КЛАССИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ •)' 1' г,

Приведем основной результат работы [2]. Предположим, что выполнены следующие условия:

* Faculte des Sciences, Universite de Möns, 7000 Möns, Belgium

^Department of Theoretical Physics II University of Lódz, Pomorska 149/153, 90-236 Lódz, Poland. E-mail: cgonera@uni.lodz.pl; pmaslan@uni.lodz.pl

* Pedagogical University of Czestochowa, Armii Krajowey 13/15, 42-200 Czestochowa, Poland

r

-¡ЬК", КВАДРАТИЧНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ДВИЖЕНИЯ 291

1) гамильтониан Я имеет естественный вид: » о

1 "

пл-.ки-юыед ■ + И'^Н^снд««,. (1)

- »Г,-.-.-/ ¿=1 , .,,г

2) гамильтониан Я является трансляционно-инвариантным: в«.м»1г.ч- -" ¡л ■. Ухи. л;.-,

.«о, 10. {Я,Р}=.04. Р.= 5>; «и^тгЛ.-..^, (2)

.......- • — .-,-- а - - .Ч"1„ .

3) гамильтониан Я инвариантен относительно действия группы 5лг всех перестановок канонических переменных г = 1,..., ТУ;

4) гамильтониан Я допускает существование по меньшей мере одного интеграла движения, квадратичного по импульсам и функционально не зависящего от Я и Р.

Тогда общий вид потенциала V есть т .. ... ..... , ,

> » • ' ■ ' • > I , S 1

N

(3)

4i=i '

где V - трансляционно-инвариантная однородная функция степени 2, a U - произвольная дифференцируемая функция одной переменной.

Вид дополнительных интегралов зависит от потенциала. Если U = О (или, в более общем случае, U = const), любой квадратичный интеграл является линейной комбинацией следующих интегралов:

- - .л i О I. ** . ; / N V 4 1

h= [Y^4kPk)P-2QH, ,

,.v ' п., / / ' у ;

/ N \ / N \2 ' Г '

v. (4)

h = 2QP(Y, ЯМРк) - W2H - ( £ "i ;

где О = 9А: ■ Интегралы Д, /2, Д удовлетворяют соотношению

Д2 + Р2Д + 2Я/з = 0. (5)

В случае нетривиальной функции {/ существует один интеграл , га

"ИО // N \ \ / N \ 2 . ?. "^т

+ * ;».

9/fcpfc -

' к=1 '

, Lwwm -

(6)

где Я получается из Я заменой V V. •; * . <• т > и г: ,- .т

Мы показали, что приведенные выше интегралы связаны с разделением переменных в уравнении Гамильтона-Якоби. Точнее, они возникают в результате отделения радиальных переменных в координатах Якоби. Кроме того, в работах [3] объяснено, как эти интегралы связаны с конформной симметрией я1(2, М). й >¡¡5. >

/

292

И. БРИЙЕ, С. ГОНЕРА, П. КОСИНСКИ, П. МАСЛАНКА, С. ГИЛЛЕР

3. КВАНТОВЫЙ СЛУЧАЙ

Как видно из формул (4), (6), выражения для интегралов не могут быть прямо перенесены на квантовый случай, так как возникает проблема упорядочения. Однако, поскольку гамильтониан имеет естественный вид, можно ожидать, что связанные с разделением переменных в уравнении Гамильтона-Яноби интегралы возникнут в квантовом случае как постоянные разделения переменных в уравнении Шредингера.

Предполагая, что потенциал имеет вид (3), методом проб и ошибок можно найти правильный способ упорядочения для квантовых аналогов интегралов - /4:

= ^ ( £ (ЯкРк + РкЧк)^ Р + \Р ( + -<ЭН-Н<Э> -

к — 1 к—1 „,;■??,*■" •«•>5«IVч- -М-р < •"

, г, N ч , N \1

73 = 1 [^(ЯкРк+РкЯк))((ЭР + Р(Э) + (()Р + Р())[^(ЯкРк+Ркдк))\-

^к=1 ' 4=1 '

+ 4

1 (£ ^кРк + р++ +(£(9кРк + РкЯк))

Можно проверить непосредственно, что приведенные выше выражения являются эрмитовыми и коммутируют с гамильтонианом (для того чтобы /1, /2, /3 были постоянными движения, снова нужно положить V = V). ! ) г- ■ / >1 ¡'.

4. РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ

Как и в классическом случае, можно установить связь квадратичных интегралов с разделением переменных; соответствующим уравнением является теперь уравнение Шредингера. Отделим движение центра масс и введем полярные переменные в пространстве координат Якоби. Тогда интеграл /4 возникает в результате отделения радиальной переменной.

[КА, С. ГИЛЛЕР

[

не могут бьггь прямо пере-(тюрядочения. Однако, поить, что связанные с раэде-1лы возникнут в квантовом Шредингера.

и ошибок можно найти пра-гралов/х -/4:

■ЯН-НС,I

N >

\^{ЧкРк+РкЯк) ^

, N у

лп ^(ЯкРк+РкЯк)) + к=1 '

(^(ЯкРк + РкЯк)^ -

г

(7)

} 35"

выражения являются эрми-Д, ¡2, /3 были постоянными

1ЫХ

, квадратичных интегралов является теперь уравнение /лярные переменные в прос-результате отделения ради-

КВАДРАТИЧНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ДВИЖЕНИЯ

293

Действительно, определим переменные

1

:ч Г4<?<* »г.

Яi = Яi- -гт<2,

N \ , \

. Йи-.--¡Ь-

Рг=Рг~ ¿¿Р,

I ~

¡¿,Г > * -¿А'

^

N

Гп ¡сш;1 /I ■•> ■ - »к,

-"ко>< л'Ч. л. АЗД1 юе.-:« / Р • •■¡'

Ее

к=1

1 ^ (йк . , - Як\ ф -ЧЯ. ,

• Ч V

(8)

V;

Тогда гамильтониан может быть записан в виде

н- 1 р2 + М2 4. V + ^-2)(ДГ-4) Р 2 - -V (оЛ н - + 2? + 2Р» +--+ р2+и(Р )' х л (9)

■: ( / V

2Л^ ' 2р2 ' ' V*

где М2 - квадрат момента импульса в системе центра масс, т.е

! Л' ' "11 М2 = - ^ -

(10)

»',7 = 1

Мы также использовали потенциал общего вида (3), вследствие чего функция Р зависит только от угловых переменных. Из формулы (9) можно сделать вывод, что оператор

■с-

1 _2 1 2 /12(ТУ — 2)(ТУ — 4)

Р* - -Л, 2ЛГ 2^

V

(П)

отвечает за отделение радиальной переменной. Теперь можно проверить, что выражение (11) эквивалентно выражению

_1_ /12(ДГ-2)(Лг-4) 2Ы 8

5. СИММЕТРИЯ 5/(2,1)

(12)

Полученные для случая II = 0 результаты могут быть осмыслены с точки зрения симметрии в/(2, Ж) [3]. Определяя операторы

N ^ N

х = "£я1 У = ^^(якрк+ркяк),

к=1 к=1 легко убедиться, что вместе с оператором Я они образуют алгебру з1{2, Ж):

[У, Я] = 2гЙЯ, [У, X] = -21КХ, [Я, X] = -2Ш.

/ . ' •

294

И. ВРИЙЕ, С. ГОНЕРА, П. КОСИНСКИ, П. МАСЛАНКА, С. ГИЛЛЕР

Оператор Казимира этой алгебры является, разумеется, интегралом движения. Нетрудно видеть, что он равен /2:

I2 = XH + HX- Y2.

(14)

Для того чтобы объяснить смысл интеграла , заметим следующее. Любой интеграл движения I, который является однородной функцией натуральной степени п, задает вектор старшего веса для некоторого представления в присоединенном действии алгебры з/(2, К), [Н, I] = О, \У, I] = Шп1. Поэтому эволюция ближайшего к старшему вектора 3 = (г'Л)_1[Х,/] линейна по времени: \ ' / ^ . ,,

j=~[J,H] = -2 ni. iñ

(15)

Теперь, если I' - другой интеграл степени п', то из выражения (15) следует, что п'1'3 -п13' также является интегралом движения. Применяя это рассуждение к триплету (Н, У, X) и дублету (Р, С}), получаем .

Благодарности. Работа поддержана грантом К1Ш № 5Р03В06021." ~л ' 'л

ТЕОРЕТИК И MATEME ФИЗИКА Том 144, № 2 август, 2005

© 2005 Г.

PI

Pact чаюпщ| массы-

Ключев! ные задачи.

i , Список литературы

[1] Я. W. Braden. Rigidity, Functional Equations and the Calogero-Moser Model, solv-int/0005046.

[2] Y. Brihaye, S. Giller, C. Gonera, P. Kosinski, P. Maslanka. Czech. J. Phys. 2004. V. 54. JV» 11. P. 1185.

[3] P. I. Gambardella. J. Math. Phys. 1975. V. 16. P. 1172; G. Barucchi, T. Regge. J. Math. Phys. 1977. V. 18. P. 1149; S. Wojciechowski. Phys. Lett. A. 1977. V. 64. P. 273; C. Gonera, P. Kosinski. Acta Phys. Pol. B. 1999. V. 30. P. 907; C. Gonera. Phys. Lett. A. 1998. V. 237. P. 365.

V -Ц'. V»' • !." t -ЛУ • /

-si-Aquo ^¡['¡(".й^-мфко». .Kfaiiol Г' ИНэк-.'ч'пй жл да ч.гаи? -ч-г.,

, ' <4if33TOHOk|iae .SA^hjyi'Î'.-'I» (i i '' ««и

¡Í-

■rare- . »! • i • pv a' t.- .

иц'имряор.чд -ft-'t< • * , s-, t'-ал Viir*! s

' ' JVi

• У ЧЧ ( -. - i

Ï4-

• ai--

r ¡4 HQi#n¡. J ».(O ! '»JUuM* '-TP , Г' •

/ ' ' - '"i ;] «ñ^ - ,'Л

В 1993 г. дисперсией,

где и - скор волновой ск уделено пре кий точки з вдающаяся i показал, чт<

Форма ре известного г бой N взаиь С этого в большое вш довали reoN ния (1.1) бе; ля,перевода

* Area de F E-mail: pilará t Departan E-mail: prada

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Математика»