КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА ГРАФЕНА С ОДНОМЕРНЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ
Д. С. Мисерева'ь, М. В. Энтинь*
а Новосибирский государственный университет 630090, Новосибирск. Россия
ьИнститут физики полупроводников им. А. В. Ржанова Сибирского отделения Российской академии наук
630090, Новосибирск, Россия.
Поступила в редакцию 29 марта 2012 г.
Изучены электронные состояния в графене с одномерным потенциалом. Получено приближенное решение при малом угле между импульсом падающего электрона и вектором градиента потенциала. Рассмотрены точно решаемые задачи о потенциале типа сглаженной ступеньки 1Т(х) = [гШ(;г/а) и потенциале с особенностью 1т(х) = —{7/(|х| + <1). Определены коэффициенты и фазы прохождения/отражения для разных потенциальных барьеров. Найдено квазиклассическое решение.
1. ВВЕДЕНИЕ
Поело открытия графона [1,2] ого изучение стало одной из наиболее популярных областей физики твердого тела. Высокая подвижность носителей делает графой перспективным материалом для электроники. Это привело к интенсивным попыткам создать электронные приборы на его основе [3], в частности, баллистические транзисторы с высокой подвижностью носителей в базе. Простейший баллистический транзистор можно представить как участок двумерной плоскости с контактами, в котором с помогцыо легирования или полевого электрода создан потенциал, зависящий от одной координаты. Частным случаем такой системы является р '/¿-переход. Простейшие задачи о прозрачности р '/¿-перехода рассматривались в работах [4 7]. В отличие от обычных полупроводников, в графене нулевая щель приводит к слабой изоляции р- и /¿-областей, что затрудняет создание ключа на основе графона.
В ряде работ последнего времени изучались состояния электронов во внешних полях: в одномерной прямоугольной яме [8], в стационарном однородном электрическом поле [9] (включая квазиклассическую оценку вероятности прохождения через этот переход [7,9]), в системе с треугольным барье-
ром [10]. В работе [11] аналитически рассмотрены задачи об электронных состояниях в магнитном поле с сингулярным векторным потенциалом. Электронный транспорт в экспоненциально убывающем поле изучен в работе [12]. Известны решения для графона в магнитном поле с вектор-потенциалом А(х) = (0Л11.(;,0) [13]. Вольт-амперная характеристика р /¿-перехода изучена в работе [14]. В обзоре [15] рассмотрены некоторые потенциальные задачи в графене.
В настоящей работе рассматривается поведение электронов в потенциальном поле, зависящем только от одной координаты х: и = 1'(х). В работе построены теория возмущений по малости поперечного импульса и квазиклассическое приближенно. Аналитически рассмотрены задачи о состояниях электрона в следующих потенциалах:
П(х) = 1Л Ь-.
и
и(х) =
и
Е-таП: опип'Шяр.nsc.ru; егажн^еа^гй'дтаП.сот
|.1'| + (1
Первый из этих потенциалов возникает в задаче о плавном р /¿-переходе в графене. Второй вид потенциала применим к задаче о состояниях на кулонов-ской примеси в нанотрубке. Для этих потенциалов точно рассчитаны коэффициенты прохождения, фазы прохождения и отражения, рассмотрены критические случаи, проведено сравнение с квазиклассическим приближением и теорией возмущений. Для потенциала 1'(х) = — [7/(|.г-| + й) найдены энергии связанных и квазистационарных состояний.
Вблизи конических точек волновые функции Ф квазичастиц в графене подчиняются уравнению Шредингера с гамильтонианом
Н = нар + Г(х.ц).
где й скорость Ферми, р = (рг<ру) оператор импульса, а = (с7х,(Ту) матрицы Паули. Плотность потока частиц j в состоянии Ф определяется оператором скорости
как
V = — |Я,г| = на
] = ф^гф = д'Ф^сгФ.
(1)
В дальнейших вычислениях будем полагать Н = 1,
Л' = 1.
Отделяя движение по у, т.е. Ф(х, у) = = Ф(.(;)ехр(¿ку), и умножая уравнение Шредингера на матрицу <т3,, получим
Чь = №)
£■) (Т3,ф + ¿К(Т-Ф.
Здесь Е значение энергии электрона. Легко видеть, что при к = 0 полученное уравнение независимо от вида потенциала V(х) имеет аналитическое решение, которое представляется в виде бегущих воли со сложной фазой:
Ф(.г) = .91 ^ | ^ 0ХР ^ ! (Е ~ +
ехр I (Е - I?(.>:)) (1.^ , (2)
.92
-1
где .91 н .92 произвольные константы. Видно, что решение (2) невозможно локализовать каким-либо потенциалом 11(х). Коэффициент прохождения в этом случае равен единице. Отметим, что величина Е — и(х) играет роль импульса частицы и меняет знак при переходе через точки остановки х,, где и(х{) = Е, при этом поток частиц сохраняется всюду, в том числе в этих точках.
Решая задачу с произвольным значением параметра к, возьмем решение (2) за основу, положив в нем с)1 и <72 новыми неизвестными функциями координаты х. После элементарных преобразований волновая функция представляется в виде
Ф(х) = ехр
V(х)) (1х ) х
УМ
-1
.9'(•!••)
(3)
.</'(.,:) + 2/ (Е - Г(.г)).</(,•) - к2д(х) = 0. (4)
Таким образом, задача сводится к решению дифференциального уравнения (4), которое линейно по потенциалу и не зависит от его производных.
Отметим, что состояния электронов в углеродной нанотрубке могут быть описаны с помогцыо тех же уравнений, если считать одну из координат, например у/, циклической переменной. Такой подход применим к рассмотрению нанотрубок в приближении огибающих. В такой задаче величина к оказывается квантованной: к = т/<1, <1 радиус нанотруб-ки, гп целое число.
2. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ
2.1. Разложение по малости поперечного импульса
Рассмотрим задачу об отражении от потенциального барьера при \Е\ > к. Если импульс к —¥ 0, коэффициент отражения остается малым. В этом пределе можно получить приближенную формулу для коэффициента отражения. При к = 0 из (2) можно выбрать решение с = 1, д-2 = 0, когда во всем пространстве существует только одна волна ехр (г / (Е — и(х)) (1х). Если к ф 0, то функция д(х) в (3) зависит от координаты х и появляется отраженная волна. Решая (4) последовательными приближениями
д(х) = 1+д{1Цх
получим:
х I]
,9(1)М = *2 I I охр | 211 (Е - и (О) <К \
— ОО СЮ V. 7] )
х/Ли/,™.«)«.
Коэффициент отражения определяется квадратом модуля коэффициента к_1.д'(х):
к = и-у^ос)!" =
= к"
ж I 1
I ехр Ы ! (£-£/(ОМСМС
• О)
11 ЖЭТФ, выи. 4 (10)
785
Если потенциал мал, а именно,
Щ О'-К
■с 1,
то из (5) следует, что
П- —
Е2
(6)
Формулу (5) можно использовать для оценки коэффициента отражения при прохождении под произвольным барьером. При наличии точек поворота X} можно найти асимптотику интеграла (5) по методу стационарной фазы. В случае одной точки поворота Хо- лежащей на действительной оси, получаем искомую оценку коэффициента отражения:
Я:
ехр {¿Е(х — .Го)2} <1х
■к к"
1л
(7)
где
Г =
£Ю_ дх
Критерием применимости формул (5) и (7) является малость коэффициента отражения, откуда из (7) следует условие к2 -С \Е\ ~ Щ/а, где Щ и а характерная амплитуда и пространственный масштаб потенциала.
В случае барьера с симметричными асимптотиками {/(±оо) 0 имеются, как минимум, две точки остановки, например, .1:1 и л;2. В этом случае также рассмотрим асимптотическую оценку формулы (5):
что обеспечивает разность фаз ¿>Ф = 2Ф0. Кроме того, в точках остановки набирается квазиклассическая фаза ±тг/4. Отметим, что в указанном приближении при
Г 2
Г 7Г
/ — и(х) | (1х = — + пп
коэффициент отражения обращается в нуль согласно (8), т.е. прохождение носит резонансный характер.
2.2. Квазиклассическое приближение
Восстановим размерность в уравнении Шродин-гера:
гЛ— = —*-<т3.Ф + %р а. Ф.
ах и
Постоянную Планка устремим к нулю, Н 0, при таком предельном переходе импульс и его компоненты сохраняют своп значения неизменными. Поэтому введем в этом разделе обозначение для поперечного импульса ру = Нк.
Представив волновую функцию в виде
Ф(х) =
' С1 I Л \
ехр I — а(х)
ехр ( — ¡Цх)
где
а(х) = а о (х) + - м | (.'•) + ()(1г
Н « 7ГК"
1
шг
1
X БШ
I I
1 а-2 >
2 I\Е - 1'(х)| (1х
(8)
Таким образом, формула (8) учитывает интерференцию между волнами, отраженными от различных точек поворота. Действительно, прошедшая и отраженная волны между точками поворота набирают фазу
Г 2
Фо = I (Е- и(х)) (1.к,
8(х) = 80(х) + - /?1(х) + 0(Н2
приходим к связанным уравнениям для функций а(х) и В(х):
а'(х) + Iру = ——охр I ^ (/?(.г) — о.(.(;)) 5 I п
З'(х)—гру = ——^ ^ ехр (,В(х)—о.(х)) 5 I п
О)
В правой части системы (9) стоят быстро осциллирующие экспоненты. Из разложения функций а(х), 8(х) следует, что ао(х) = 80(х). Дальнейшее решение системы (9) последовательными приближония-
ми позволяет установить следующий вид квазиклассической волновой функции:
Ф(.г) = —ехр ( ^ J pxdx ) х
( / п \1/2 \ 1
\
Рх
1 + Э
Рх
1/2
(10)
Рх = ±
U НУ
СРу
Квазиклассическое рассмотрение неприменимо в области, где продольный импульс близок к нулю, так как волновая функция имеет особенность 1 / у/р
Условие применимости квазиклассического приближения получим из требования |a:g(.i;)|
|Йа^(.(;)|. Введем в рассмотрение величину Л = h/px. Тогда условие применимости квазиклассического приближения имеет вид
U(x)
(IX Е — < -
(IX Н'Ру
или после подстановки величин в явном виде
HpyU'(x)
sPi
■С 1.
(П)
(12)
Квазиклассическая волновая функция в графене имеет те же особенности в точках поворота (точки, где рх = 0), что и квазиклассическая волновая функция частиц с квадратичной дисперсией, поэтому условия сшивки и правило квантования Бора Зоммерфельда будут идентичными [16].
3. ТОЧНО РЕШАЕМЫЕ ЗАДАЧИ 3.1. Гладкая ступенька
В графене р '/¿-переход может быть модельно описан с помощью потенциала в виде ступеньки и(х) = 1ЛЪ(х/и), см. рис. 1. В пределе малой толщины перехода этот потенциал переходит в ступеньку Клейна, а при А в -С о, где А в ~ 2тг / (£" + и) длина волны де Бройля, задача становится квазиклассической и барьер можно заменить однородным полем Е = II/и. Приближение однородного поля применимо для энергий, удовлетворяющих условиям £+[/> 2л/и и V -к> Е > к - и.
Проведя в уравнении (4) подстановку
д(х) eikx-'iiE+u)xF^x)
R
-4 0 2 4
Е
Рис. 1. На вставке: энергетическая диаграмма в задаче о р-/?-переходе, моделируемом гладкой ступенькой и(х) = [гШ(;г/а); график потенциала изображен пунктирной линией, сплошные линии соответствую
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.