КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ОТКРЫТЫХ СИСТЕМ НА ОСНОВЕ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ОБОБЩЕННОГО ЛАНЖЕВЕНОВСКОГО (НЕВИНЕРОВСКОГО) ТИПА
А. М. Башаров*
Национальный исследовательский центр «Курчатовский институту 123182, Москва, Россия
Поступила в редакцию 18 ноября 2011 1".
Показано, что представление эффективного гамильтониана, как оно формулировалось в работах автора, служит основой для выделения в широкополосном окружении открытой квантовой системы независимых шумовых источников, которые через генерируемые ими стационарные квантовые винеровские и пуассо-новские процессы в марковском приближении определяют эффективный гамильтониан и уравнение для оператора эволюции открытой системы и ее окружения. Получены общие стохастическое дифференциальное уравнение обобщенного ланжевеновского (невинеровского) типа для оператора эволюции и кинетическое уравнение для матрицы плотности открытой системы, позволяющие исследовать динамику широкого класса сосредоточенных открытых систем в марковском приближении. Основной отличительной чертой динамики открытых квантовых систем, описываемых предложенным образом, являются эффекты стабилизации возбужденных состояний по отношению к коллективным процессам и дополнительный частотный сдвиг спектра открытой системы. В качестве иллюстрации развитого общего подхода рассмотрена динамика фотонов в одномодовом резонаторе без потерь на зеркалах, содержащем вну-трирезонаторные одинаковые атомы, связанные с внешним вакуумным электромагнитным полем. При определенных атомных плотностях фотоны резонаторной моды «запираются» внутри резонатора, демонстрируя тем самым новый эффект пленения излучения и невинеровскую динамику.
1. ВВЕДЕНИЕ
В работах [1 4] для разных моделей взаимодействия ансамбля одинаковых атомов с окружающим вакуумным электромагнитным полем без фотонов установлены новые иевииеровские особенности динамики атомных систем. В зависимости от начального состояния ансамбля одинаковых атомов его переход в состояние с меньшим на единицу возбуждением в атомной системе носит экспоненциальный характер, описываемый функцией типа ехр{^"„\\ Л,,/} с дополнительным иевииеровским множителем 7„ил который при некоторых значениях числа атомов Лга может обращаться в нуль. Здесь 7 константа обычного радиационного распада одного атома, а состояния атомного ансамбля считаются симметричными по перестановкам атомов. Для случая однократно возбужденного атомно-
* Е-та11: ЬакЬагоуй^таП.сот
го ансамбля (так называемое "\¥-состояние [5,6], являющееся примером искусственной частицы с сильным штарковским взаимодействием [2,3]) параметр 7пИ' = 7пцг определяется выражением [1,3]
(1) _2(1-со8 (Ду//1У))
(1)
»/.«И = |П1(«21)| -5-, "12
где П-21 частота атомного перехода с матричным элементом оператора дипольного момента йг2, П!(П21) стандартный параметр, определяющий штарковский сдвиг нижнего атомного уровня [7].
Два основных новых эффекта характеризуют невинеровскую динамику. Первый состоит в подавлении коллективного спонтанного излучения и стабилизации возбужденного состояния по отношению к коллективным процессам релаксации. Это происходит на фоне сверхизлучательного эффек-
та Дико [8,9], который в рассматриваемом примере сосредоточенного в малом объеме ансамбля атомов характеризуется множителем Лга в экспоненте ехр{ — ТТ^и-^а*}• Из формулы (1) видно, что при критических значениях числа атомов в ансамбле, определяемых условием = 2тт, п = 1,2,...,
скорость перехода из возбужденного состояния становится равной нулю. Причиной эффекта стабилизации возбужденного состояния является интерференция реального перехода (с излучением фотона) в квантовое состояние атомного ансамбля, характеризуемое меньшим числом возбуждений, и виртуальных переходов без изменения квантового состояния и излучения фотонов [10]. Виртуальные переходы определяются штарковским взаимодействием атомов с вакуумным электромагнитным полем. Будучи малой величиной (второго порядка по константе связи с вакуумным полем), штарковскоо взаимодействие растет в ансамбле одинаковых атомов [3,4] и начинает при определенных атомных плотностях играть упомянутую роль.
Чтобы получить аналитически осцилляторную зависимость (1) в экспоненте стандартными методами квантовой электродинамики резонансных сред, основанными на диаграммной технике Константинова Переля Келдыша для функций Грина [11 13], необходимо просуммировать все диаграммы по штарковскому взаимодействию с вакуумным электромагнитным полем без фотонов. Это представляется крайне затруднительным, как и при использовании цепочек Боголюбова Борна Грина Кирквуда Ивона [14,15], в которых на определенном этапе необходимо обрывать иерархию цепочек. В методе [16,17] штарковским взаимодействием и вовсе проноброгаотся, а приложения метода Цванцига [18] с похожими (на осцилляторную зависимость в экспоненте) результатами автору неизвестны. В работах по коллективному излучению сфо-ричоски-симмотричного ансамбля одинаковых атомов [19,20] численным расчетом продемонстрированы специфические случаи, в которых можно говорить о частичном подавлении излучения.
Вторым новым эффектом, характеризующим новиноровскую динамику, является дополнительный частотный сдвиг, который является следствием релаксационной динамики и в работах [1 4,10] целиком обусловлен штарковским взаимодействием, представленным как квантовый пуассоновский процесс, и соответственно тесно связан с эффектом подавления коллективного спонтанного излучения. Дополнительный частотный сдвиг как обобщенный лэмбовский сдвиг обсуждался в недавних работах
[21,22], однако он никак не увязывался с эффектом подавления коллективного спонтанного излучения.
В работах [1 4,10] формулы, подобные приведенной выше с множителем в экспоненте (1), весьма просто получаются аналитически благодаря автоматическому суммированию бесконечного ряда теории возмущений в марковском приближении в результате использования техники, основанной на квантовых стохастических дифференциальных уравнениях (КОДУ) новиноровского типа. С точки зрения теории квантовых случайных процессов [23 27] штарковскоо взаимодействие в работах [1 4,10] представлено квантовым пуассоновским процессом, алгебраические свойства которого, выраженные алгеброй Хадсона Партасарати [23], позволяют отказаться от каких-либо представлений диаграммной техники и во многих интересных случаях получать аналитические результаты при главном допущении лишь о марковости рассматриваемых процессов и сосредоточенности в малом объеме атомной подсистемы.
В данной статье обобщен подход работ [1 4,10] и сформулированы принципы общего описания в марковском приближении различных сосредоточенных открытых систем, частным случаем которых являются модели [1 4,10] на основе КСДУ новиноровского типа, формулируемых в представлении эффективного гамильтониана. Выведено общее КСДУ для оператора эволюции открытой системы и ее широкополосного окружения, представляемого квантованным полем бозонного типа с пулевой плотностью бозонов. На основе полученного КСДУ определены операторы Линдблада, характеризующие кинетическое уравнение для матрицы плотности открытой системы. Установлены ограничения на использование кинетических уравнений, получаемых в рамках какой-либо теории, в частности, некорректность рассмотрения в кинетических уравнениях всякого рода дисперсионных пределов. Развитая теория применена для описания динамики фотонов одномо-дового резонатора без потерь на зеркалах с вну-трирезонаторными атомами, связанными с внешним вакуумным электромагнитным полем без фотонов. Показано, что динамика фотонов резонаторной моды при достаточной плотности внутрирозонаторных атомов также имеет невинеровский тип и его характерные черты подавление исхода фотонов из резонатора (захват фотонов) и дополнительный частотный сдвиг. Таким образом, продемонстрировано, что невиноровские особенности динамики носят весьма общий характер и могут проявляться в открытых подсистемах разного типа, например бозонного или фермионного.
Статья имеет следующую структуру. В разд. 2 обсуждается понятие открытой системы. В разд. 3 рассмотрены математические особенности описания открытых систем в марковском приближении. Раздел 4 посвящен обсуждению представления эффективного гамильтониана. Подчеркиваются отличия введенного определения эффективного гамильтониана от известных и вытекающие из него важные следствия для построения КСДУ. В разд. 5 анализируется структура слагаемых эффективного гамильтониана, которые в разд. 6 представлены стационарными квантовыми случайными процессами. В разд. 7 получен общий вид КСДУ новиноровского типа, на основе которого в разд. 8 выведены кинетические уравнения новиноровского типа для матрицы плотности открытой системы. В разд. 9 представлен пример применения развитой теории к изучению динамики фотонов одномодового резонатора с вну-трирезонаторными нерезонансными атомами. Раздел 10 посвящен обсуждению основных черт невине-ровской динамики открытых систем на рассмотренном примере одномодового резонатора. В Заключении рассмотрены границы применимости развитой теории и возможные ее обобщения за рамки сделанных предположений, где, по-видимому, сохранятся те или иные невинеровские особенности развитой теории.
2. ПОНЯТИЕ ОТКРЫТОЙ КВАНТОВОЙ СИСТЕМЫ
Задачи квантовой оптики, такие как спонтанное излучение атома или ансамбля одинаковых атомов, динамика высокодобротных микрорезонаторов с потерями на зеркалах, взаимодействие фотонов высокодобротной резонаторной моды и внешнего широкополосного электромагнитного поля с внутри-резонаторными атомами, дают примеры открытых квантовых систем, взаимодействующих с окруженном [28 34]. Для открытых систем характерно, что их взаимодействие с окружением является достаточно слабым, чтобы представление об изолированной системе (в отсутствие взаимодействия с окруженном) было хорошим «пулевым» приближением для открытой системы. Кроме того, окружение представляется многомодовым (широкополосным) и в некотором смысле однородным, так что влиянием открытой системы на состояние окружения можно пренебрегать.
Со спектральной точки зрения открыту
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.