ПОВЕРХНОСТЬ. РЕНТГЕНОВСКИЕ, СИНХРОТРОННЫЕ И НЕЙТРОННЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2015, № 3, с. 65-73
УДК 539.12/14
КВАНТОВО-МЕХАНИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ЧАСТИЦ И ЯДЕР СО СПИНОМ 1/2, КАНАЛИРУЕМЫХ В ИЗОГНУТЫХ КРИСТАЛЛАХ
© 2015 г. А. Я. Силенко
Объединенный институт ядерных исследований, 141980Дубна, Россия Научно-исследовательское учреждение Институт ядерных проблем Белорусского государственного университета, 220030 Минск, Беларусь E-mail: alsilenko@mail.ru Поступила в редакцию 10.07.2014 г.
Представлено общее квантово-механическое описание релятивистских частиц и ядер со спином 1/2, каналируемых в изогнутых кристаллах, при использовании цилиндрической системы координат. Ранее выведенное уравнение Дирака в этой системе дополнено слагаемыми, характеризующими аномальные магнитные и электрические дипольные моменты. Для общего случая выполнено преобразование к представлению Фолди—Ваутхойзена, получены квантово-механические уравнения движения частиц и их спина и найден их классический предел. Определена физическая природа основных особенностей описания частиц и ядер в цилиндрической системе координат.
Ключевые слова: спин, каналирование, изогнутые кристаллы. DOI: 10.7868/S0207352815030178
ВВЕДЕНИЕ
Актуальной проблемой является строгое кван-тово-механическое описание релятивистских частиц и ядер со спином 1/2, каналируемых в изогнутых кристаллах [1]. При таком описании весьма важен учет спиновых эффектов. Известно, что при плоскостном каналировании в изогнутых кристаллах происходит поворот спина частиц и ядер на достаточно большой угол. Этот эффект был впервые найден в работах Барышевского [2, 3], в которых также было предложено использовать его для определения магнитных моментов короткоживущих частиц. Простая зависимость между углами поворота частиц и их спина в изогнутых кристаллах была найдена Любошицем [4]. В таких кристаллах центробежная сила, действующая на движущиеся по искривленной траектории частицы или ядра, компенсируется силой Кулона, что приводит к появлению достаточно сильного электрического поля, вращающего спин. Эффект вращения спина экспериментально наблюдался в [5, 6].
Хотя во многих случаях каналирование частиц и ядер может быть адекватно описано методами классической теории, углубленный квантово-ме-ханический анализ проблемы также является необходимым. Так, для релятивистских позитронов (электронов) весьма часто существенной является дискретность энергетического спектра. Для корректного определения данного спектра требуется адекватный учет спиновых эффектов для ре-
лятивистских частиц. Как известно, в уравнении Дирака, как и в уравнении Дирака—Паули, учитывающем аномальный магнитный момент, ди-раковские матрицы определяют проекции спина на оси декартовой системы координат. Использование такой системы координат удобно только для каналирования в прямых кристаллах, а для изогнутых кристаллов (если радиус изгиба сохраняется приблизительно постоянным) естественным является выбор цилиндрической системы координат.
В [7] было представлено квантово-механиче-ское описание частиц (ядер) со спином 1/2 при плоскостном каналировании в прямых и изогнутых кристаллах. Особое внимание было уделено определению динамики спина. В этой работе решалось уравнение Дирака (дополненное слагаемыми, описывающими аномальный магнитный момент) в представлении Фолди—Ваутхойзена, строилось операторное уравнение движения спина и рассчитывалось среднее значение частоты его прецессии. Результаты, полученные при помощи квантово-механического описания, были в полном согласии с соответствующими классическими результами. В [7] использовалась не цилиндрическая, а декартова система координат, а наличие изгиба кристалла формально учитывалось путем включения в оператор Гамильтона в представлении Фолди—Ваутхойзена добавочной потенциальной энергии, определяющей поправку на центробежную силу.
5
65
Естественно, такой подход не является строгим, хотя он и приводит к разумным результатам. В настоящей работе в качестве исходного уравнения используется уравнение Дирака в цилиндрической системе координат, выведенное в [8]. Оно дополняется слагаемыми, описывающими аномальный магнитный и электрический дипольный моменты, и выполняется преобразование к представлению Фолди—Ваутхойзена методом, разработанным в [9]. Полученный оператор Гамильтона в этом представлении используется для вывода общих уравнений, описывающих движение частиц и ядер и эволюцию спина.
Мировые и пространственные индексы в четырехмерном пространстве—времени обозначены греческими и латинскими буквами, а, ц, V,... = 0,1,2,3 и I, у, к,... = 1,2,3 соответственно. При использовании аппарата общей теории относительности тетрадные индексы обозначаются начальными буквами латинского алфавита а,Ь,с,... = 0,1,2,3. Временные и пространственные тетрадные индексы выделены
шляпками. Сигнатура имеет вид (+----). В работе
используется система единиц Н = 1, с = 1. В нек-которых случаях для большей ясности изложения постоянная Планка включена в соответствующие формулы. Обозначения [...,...] и {...,...} определяют коммутаторы и антикоммутаторы соответственно.
УРАВНЕНИЕ ДИРАКА-ПАУЛИ В ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ
Стандартное уравнение Дирака-Паули (в декартовой системе координат) имеет вид:
YX - т + 2 ^Fv
¥ = 0,
(1)
где уц и = /(уцуУ - уУу ц)/2 — дираковские матрицы, = (Е, В) — тензор электромагнитного поля, — АММ, а = Шц = Л (д/дх^) - вА)г Здесь Е,
В и Ац — электрическая напряженность, магнитная индукция и четырехпотенциал электромагнитного поля. В [10] это уравнение было дополнено слагаемым, описывающим электрический дипольный момент й:
ГЧ - т + F^v + dv^v
¥ = 0,
(2)
2 2 где G^v = (—B, E) — тензор, дуальный F^v.
В принципе можно перейти к цилиндрическим координатам, не меняя определения дира-ковских матриц, а используя соотношения
YР = Y' ер = Y * cos Ф + YУ sin Ф,
YФ = Y' еф = -Y* sin ф + yy cos ф.
Естественно, такой путь весьма неудобен, и последующие преобразования сопряжены с весьма громоздкими вычислениями. Конечно, все необходимые расчеты можно производить в декартовой системе координат. Однако для задания внешнего поля, учитывая симметрию задачи, гораздо удобнее использовать именно цилиндрические координаты.
Удобный вид уравнения Дирака в цилиндрической системе координат был найден в [8]. В этой работе была использована фундаментальная теорема Паули [11], определяющая связь между различными наборами матриц Дирака, удовлетворяющими необходимым коммутационным и антикоммутационным соотношениям. Выведенное в [8] уравнение Дирака (для ц' = 0) имеет очень простой вид и формально совпадает с исходным уравнением:
(уX - т) ¥ = 0.
(3)
Матрицы — это обычные дираковские матрицы. Однако здесь индексы 1, 2, 3 соответствуют цилиндрическим координатам р, ф, г, а
(П1,П2,П3 ) =
ih— - eAp, ih - — - eA„, ih — - eAz dp p дф dz
(4)
Обычно используется контравариантный векторный потенциал А, компоненты которого равны —А,-.
Из уравнения (3) следует, что оператор п, содержит оператор набла в цилиндрической системе координат. Аналогичными свойствами обладает уравнение Дирака в сферической системе координат [8]. Результат, полученный в [8], является совершенно естественным и демонстрирует, что преобразование к цилиндрическим и сферическим координатам, сохраняющее вид дираковских матриц уц, не нарушает ковариантности уравнения Дирака.
Этот факт используется для включения в уравнение членов, пропорциональных аномальному магнитному и электрическому дипольному моментам. Такое включение будет дополнительно обосновано в следующем разделе путем сравнения с результатами, получаемыми в рамках общей теории относительности.
Ковариантность уравнения (3) не нарушается, если его обобщение записать в виде (2), где матрицы имеют обычный вид, а индексы ц, V соответствуют цилиндрической системе координат. Компоненты тензоров и Оцу и, соответственно, электрического и магнитного полей Е и В также определяются в этой системе координат. По-
лученное уравнение удобно помножить на матрицу у0 и представить в гамильтоновой форме:
= WV, Ж = а • п + ßm + еФ +
dt
+ ц'(-П • B + iy • E) - d(П • E + iy • B), п = -iK4 - еА,
(5)
где Ф = А — скалярный потенциал, п = = - (п р, п ф, п г) — оператор кинетического импульса в цилиндрической системе координат. В отличие от декартовой системы координат различные компоненты операторов п и V в общем случае не коммутируют между собой.
Уравнение (5) является исходным для последующего перехода к представлению Фолди—Ваут-хойзена. Тем не менее, полученный результат нуждается в дополнительном обосновании, поскольку слагаемые, описывающие аномальный магнитный и электрический дипольный моменты, включались не в стандартное уравнение Дирака, а в полученное в результате трансформации уравнение (3). Такое обоснование может быть получено в рамках теории гравитации. Использование теории гравитации позволяет также сравнительно просто понять физическую сущность различия динамики частиц в декартовой и цилиндрической системах координат.
ВЫВОД ГАМИЛЬТОНИАНА ДИРАКА-ПАУЛИ ДЛЯ ЧАСТИЦЫ В ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ МЕТОДАМИ ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИИ
Корректность произведенного выше обобщения уравнения (3), позволяющего учесть возможное наличие у частицы аномального магнитного и электрического дипольного моментов, может быть подтверждена анализом ковариантного уравнения Дирака в теории гравитации. Это уравнение описывает электромагнитное взаимодействие дира-ковской частицы в римановом пространстве-времени и имеет вид [12, 13]:
(ihyaDa - m) у = 0, a = 0,1,2,3. В уравнении (6)
Da = еа\д ц + + т ГbCr baa,
i baT -Г
4
(6)
(7)
где Г aba = -Г baa — коэффициенты вращения Риччи [14], имеющие следующий вид:
гaba 2(Caba Cbaa Caab)' C I = е це V (д е -д е )
^aba ^a^byy ^ av ^v^ a^J-
(8)
Здесь — тетрадные коэффициенты, определяющие тетрадные компоненты ковариантной производной (Ба = е^Б^) и других четырехвекторов.
Общее уравнение (6) можно использовать для цилиндрических и других криволинейных координат. Переход от х, у, г к р, ф, z в выражении для квадрата бесконечно малого интервала ds2 дает следующий ви
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.