Письма в ЖЭТФ, том 101, вып. 10, с. 799-804
© 2015 г. 25 мая
Квантовые особенности угловых распределений параметрического рентгеновского излучения релятивистских каналированных
электронов в кристалле
К. Б. Коротченко1\ Ю. Л. Пивоваров
Кафедра теоретической и экспериментальной физики, Национальный исследовательский томский политехнический
университет, 634050 Томск, Россия
Поступила в редакцию 18 февраля 2015 г. После переработки 6 апреля 2015 г.
Прогнозируется возникновение резких скачкообразных изменений (квантовый скачок) в угловом распределении параметрического рентгеновского излучения от каналированных электронов, связанное с появлением каждого нового квантового состояния каналированного электрона при соответствующем увеличении энергии электронного пучка.
БО!: 10.7868/80370274X15100136
1. Введение. Последние экспериментальные результаты по угловым распределениям параметрического рентгеновского излучения (РХИ) каналированных 255 МэВ электронов (РХИС)2' [1] выявили отклонение от углового распределения обычного РХИ (классическая теория без учета каналирования электронов). Наблюдаемые отклонения объясняются проявлением эффекта, связанного с "поперечным" форм-фактором каналированного электрона. Важны два параметра: угол падения электронов по отношению к кристаллографическим плоскостям и энергия электронного пучка. Последний из этих параметров определяет число поперечных связанных состояний -квантовых состояний при каналировании (или подба-рьерных зон). Первый же отвечает за населенность этих состояний. В настоящей работе мы теоретически и численно изучали эволюцию угловых распределений РХИС с увеличением энергии электронного пучка для различных кристаллов и исследовали его квантовые особенности - изменение углового распределения РХИС с появлением каждого нового квантового состояния при каналировании.
2. Матричный элемент РХИС и его угловое распределение были впервые рассмотрены в работе [2]. Затем в работах [1, 3, 4] этот матричный элемент был модифицирован для того, чтобы учесть зонную структуру поперечных энергетических уровней кана-
Че-таП: korotchenko@tpu.ru Аббревиатура РХЯС для параметрического рентгеновского излучения при каналировании была впервые введена в работе [2]). В русскоязычной литературе общепринятой аббревиатуры для такого вида излучения нет.
лированных электронов и избежать дипольного приближения. Как и в [1, 3, 4], мы будем использовать следующую формулу для углового распределения РХИС, испускаемого каналированным электроном, захваченным в квантовое состояние п:
сЩ
<РНП
РХИС
(Шх(Шу(1г
<глгрхк \рп
(1)
Здесь (1Мрхк ~ обычное угловое распределение РХИ:
ас^в
1б7гсзт 6>в
1 + ^2 1 + ^2
(2)
^гт — матричный элемент, описывающий вероятность спонтанного внутризонного перехода (для зоны п) каналированного электрона с излучением фотона в Брэгговском направлении. Следуя [2], будем называть матричный элемент Рпп форм-фактором.
В уравнении (1) а = е2/Не - постоянная тонкой структуры, с1 - расстояние между плоскостями каналирования, во = агс1ап(р^/рц) - угол падения по отношению к кристаллографической плоскости, Р\\ = Рг и = Нку = ру - продольная и поперечная компоненты импульса электрона, влетающего в кристалл.
Мы будем рассматривать РХИС при плоскостном каналировании и предположим, что плоскости каналирования параллельны плоскости {XZ), продольное движение электрона происходит вдоль оси Z, а поперечное связанное (каналированное) - в плоскости (YZ) вдоль оси У.
Форм-фактор Рпп, введенный в уравнении (1), для случая плоскостного каналирования может быть представлен как [1, 3, 4]
I Fn
d/2
Фп(у)е^р(-^вбуу/с)фп(у)с1у
-d/2
(3)
Необходимо подчеркнуть, что фактически Рпп является функцией релятивистского фактора электрона 7 = Е^/тс2 (где Е\\ - начальная энергия электрона, влетающего в кристалл): волновая функция фп{у) с поперечным волновым вектором ку определяется из решения уравнения Шредингера с релятивистской массой 7т (см., например, [5]).
Согласно [2]
WT
1
2 \Xg\Pr
R-
\2Pf
R
R — Ol + Ol +
92 02 -
7kin' kin — i
1X0 I:
Pk = cos20B, Pa = 1, T = (ir,<
(4)
где хо и Хд ~ фурье-компоненты диэлектрической восприимчивости кристалла, г - вид поляризации РХИС-фотона (я-- или а-поляризация). Следуя [2, 6], мы ввели угловые координаты 9Х и 9У, описывающие отклонение волнового вектора РХИС-фотона от брэгговского направления: 6Х^У = с(к — =
9Х, 6у)ш-в/с (см. рис. 1). Здесь с^в =
Рис. 1. Геометрия формирования PXRC: ко - волновой вектор каналированного электрона, к - волновой вектор PXRC-фотона, и - вектор, описывающий отклонение PXRC-фотона от брэгговского направления (направление вектора к-в), g - вектор обратной решет-
= сд /2sin0B - частота рентгеновского фотона, удовлетворяющая условиям Брегга, кв = WBv/i'2+g, v -вектор продольной скорости электрона (см. рис. 1), д = |g| = 2п/dp, dp - расстояния между плоскостями дифракции.
Нитта [2] предположил, что форм-фактор кана-лпрованных состояний, входящий в уравнение (1), приблизительно равен 1 ("дипольное приближение"):
|^пп|2-1. (5)
В таком случае согласно (1) разность между РХИС (для любого квантового состояния п) и РХИ пренебрежимо мала. В противовес этому, как в наших работах [3, 4], мы не будем использовать приближение (5). Будем рассчитывать угловое распределение РХИС от всех электронов, захваченных в режим каналирования, используя формулы из [3, 4]:
с^Жрхнс
dBxdOydz
dNpxR Y^pn{0o,ky)\Fn
(6)
Рп
A)- d
Здесь Рп(9о,ку) - вероятность того, что электрон, влетевший в кристалл, будет захвачен на подбарьер-ный уровень п (начальная заселенность ??-го энергетического уровня), которая определяется как
о
а/ 2
J ^{гкувоу)фп{у)йу . (7)
-<1/2
Согласно уравнению (6) угловое распределение РХИС содержит две ключевые величины: форм-фактор \Fnnl и начальную заселенность Рп(ва,ку) п-го квантового состояния при каналировании. Формула (6) означает, что даже если все А„|2 = 1, угловое распределение РХИС должно отличаться от РХИ, поскольку общая начальная заселенность всех подбарьерных состояний меньше 1 (исключая случай
£>„(00А) <
(8)
3. Как мы уже отмечали выше, целью нашей работы является изучение изменений в угловых распределениях параметрического рентгеновского излучения каналированных электронов (РХИС), связанных с появлением каждого нового квантового состояния при каналировании вследствие увеличения энергии электронного пучка. Если угол падения относительно кристаллографических плоскостей 0о = 0, то только релятивистский фактор 7 определяет количество связанных квантовых состояний при каналировании, входящих в уравнение (6).
Ниже мы будем называть квантовым скачком совокупность явлений, происходящих в условиях, при которых количество квантовых состояний при каналировании увеличивается вследствие возрастания энергии (релятивистского фактора 7) электронов. В случае (220)-каналирования в такая ситуация возникает, например, когда 7 =3 465 —> 467 (см.
-0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03
% (rad)
Рис. 2. Угловое распределение интенсивности РХРС вблизи квантового смещения: до (7 ~ 465) и после (7 ~ 467)
одиночные линии, а достаточно широкие зоны. На графиках (см. рис. 3-5) максимумов угловых распределений РХИС мы будем изображать это
рис. 2). Соответственно из численного решения уравнения Шредингера с релятивистской массой в периодическом потенциале плоскостей (220) 81, выполненного согласно процедуре, описанной в [7, 8], получим, что это квантовые состояния с п = 13 и 14. Угловое распределение РХИС, рассчитанное по формуле (6), представлено на рис. 2. Видно, что основная разница значений интенсивностей РХИ и РХИС возникает в максимумах, в то время как поведение крыльев распределений почти совпадает. Поэтому мы сосредоточимся именно на данном различии.
Для количественного описания различий РХИ и РХИС заметим, что согласно [2] угловое распределение РХИ достигает максимума в тех точках 6™ах в плоскости 9Х = 0, для которых \¥а « 0. Согласно [9] из уравнений (2) и (4) можно получить оценку
птах , У
|Х0 + Xg ~ 1
— 2 i
(9)
Из уравнения (6) несложно получить формулу для максимумов углового распределения интенсивности РХИС вдоль угловой координаты ву (при условии 9Х =0):
^pxrc — ^PXR ky)\Fnn\~,
где
rmax JPXR
W„
асов
167rcsin2 0R 1 + '
(10) (11)
Rn
(12)
одинадцатью линиями (внутри каждой зоны), соответствующими десяти значениям (в пределах первой зоны Бриллюэна) поперечного волнового вектора ку электрона при плоскостном каналировании.
Первые измерения разницы между РХИС и РХИ [1] в БАСА-ЬЗ (7 = Е\\/тс2 « 499) показали, что эта величина составляет около 6-8%. По нашим расчетам, она может оказаться намного больше, если проводить измерения вблизи "квантового скачка", т.е. при значениях энергии электронного пучка, при которых появляется каждый новый нечетный уровень подбарьерной энергии (зоны).
На рис. 3 релятивистские факторы 7, соответствующие "квантовым скачкам", отмечены вертикальными линиями. Видно, что для 255 МэВ электронов (т.е. при 7 « 499: экспериментальные условия, существующие на БАСА-ЬЗ) относительная разность между максимумами угловых распределений Р XI! и РХИС
Угловые распределения PXRC, описываемые уравнениями (6) и (10), представляют собой не
Д
rmax _ rmax
PXR PXRC rmax PXR
(13)
0 100 200 300 400 500
Y
Рис.3, (a) - Максимумы (вдоль плоскости 6X = 0) PXRC и PXR (пунктирная линия) как функция 7 при (220) Si каналировании (дифракция на плоскостях (111)). (Ь) - Количество N связанных состояний при каналировании как функция 7
В 200
g ±318.1%
200 300 У
Рис. 4. (а) - Максимумы (вдоль плоскости 0Х = 0) РХИС и РХИ (пунктирная линия) как функция 7 при (220) С каналировании (дифракция на плоскостях (111)). (Ь) - Количество N связанных состояний при каналировании как функция 7
19.5%
200 300
У
Рис. 5. (а) - Максимумы (вдоль плоскости 0Х = 0) PXRC и PXR (пунктирная линия) как функция 7 при (111) LiF каналировании (дифракция на плоскостях (220)). (Ь) - Количество N связанных состояний при каналировании как функция 7
изменяется от 4.4 до 10.5% в зависимости от положения точек перехода внутри э
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.