МИКРОЭЛЕКТРОНИКА, 2012, том 41, № 6, с. 387-398
= КВАНТОВАЯ ИНФОРМАТИКА ^
УДК 530.145;621.382
КВАНТОВЫЕ ШУМЫ И КОНТРОЛЬ КАЧЕСТВА ЭЛЕМЕНТНОЙ БАЗЫ КВАНТОВЫХ КОМПЬЮТЕРОВ НА СВЕРХПРОВОДНИКОВЫХ
ФАЗОВЫХ КУБИТАХ © 2012 г. Ю. И. Богданов1, В. Ф. Лукичёв1, С. А. Нуянзин1, 2 , А. А. Орликовский1
1 Физико-технологический институт Российской АН 2 Национальный исследовательский университет "МИЭТ" E-mail: bogdanov@ftian.ru Поступила в редакцию 02.02.2012 г.
Предложен общий подход к обеспечению качества и эффективности квантовых информационных технологий, базирующийся на анализе квантовых шумов, возникающих при выполнении квантовых операций. Разработан метод прецизионных квантовых измерений логических вентилей на основе сверхпроводниковых фазовых кубитов. С использованием универсального метода томографии квантовых состояний и процессов проведен детальный анализ точности томографии двухкубитовых вентилей SQiSW, CNOT и CZ, возникающих в результате емкостной связи между кубитами. Предложен метод оптимизации томографии квантовых процессов, обеспечивающий существенно более высокую адекватность и точность по сравнению с ранее известными методами. Рассмотрены примеры моделирования деполяризующего квантового шума, а также процессов амплитудной и фазовой релаксации при выполнении квантовых операций в регистрах.
1. ВВЕДЕНИЕ
В настоящее время активно обсуждаются десятки различных моделей квантовых компьютеров. В числе наиболее перспективных и интересных предложений по реализации квантовых регистров — проекты на ионах в ловушках, на ядерных спинах, на квантовых точках, на фотонах, на зарядовых, потоковых и фазовых состояниях в сверхпроводниковых структурах, на состояниях ридберговских атомов, на квантовых состояниях вакансионных центров в алмазе и др. [1—4]. Основное достижение проведенных до сих пор исследований состоит в практической демонстрации справедливости физических принципов, лежащих в основе идеи квантовых вычислений. Основные препятствия на пути реализации концепции полномасштабных квантовых компьютеров состоят в недостаточной разработке соответствующей необходимым требованиям технологии изготовления квантовых регистров, в трудностях измерения и контроля квантовых состояний и необходимой степени подавления декогерентизации, обусловленной квантовыми шумами. Достигнутая в настоящее время в экспериментах точность реализации, характеризуемая вероятностью совпадения между теоретическим и экспериментальным квантовыми состояниями, составляет всего 60— 80%, в то время как требуемая точность должна быть 99.99% и более.
Одно из наиболее узких мест в развитии квантовых информационных технологий связано с от-
сутствием должной методологии контроля квантовых состояний и процессов. Такая, основанная на квантовых измерениях, методология призвана обеспечить интерфейс между разработкой элементной базы квантовых компьютеров и ее практическим воплощением.
Цель настоящего исследования — разработка общего подхода к обеспечению качества и эффективности квантовых операций и его применение к технологии прецизионных квантовых измерений логических вентилей, сконструированных на базе сверхпроводниковых фазовых кубитов. В основе изложения лежит оригинальный подход к обеспечению прецизионной точности квантовых измерений, развитый первоначально в [5] и примененный практически в [6—8] к исследованию оптических кубитов. В работе представлен анализ точности реализации квантового вентиля (квадратный корень из ь8^АР), а также связанных с ним вентилей СМОТ и CZ. Проведен сравнительный анализ различных протоколов томографии квантовых процессов, представляющих практический интерес для квантовых информационных технологий.
2. КВАНТОВЫЕ ШУМЫ И ТОМОГРАФИЯ КВАНТОВЫХ ПРОЦЕССОВ
Идеальный квантовый логический элемент (вентиль), как известно, обеспечивает унитарное преобразование квантового состояния (матрицы плотности):
Pout = U pinU+. (1)
Реальная эволюция состояния, однако, никогда не бывает идеально унитарной. В более реалистических моделях необходимо учитывать неизбежное взаимодействие квантовой системы с окружением (квантовые шумы). В рамках теории открытых квантовых систем эволюция состояния
задается операторной суммой E (р) = ^ EkpE+
[3, 9—15], поэтому связь между входным и выходным состояниями определяется формулой:
Pout = X EkPinE+, (2)
k
где Ek — элементы преобразования (так называемые операторы Крауса), которые удовлетворяют следующему условию нормировки (для преобразований, сохраняющих след):
X E+Ek = I. (3)
k
Здесь I — единичная матрица.
Представление квантового процесса операторной суммой гарантирует, что если на входе имеется эрмитова, положительно определенная матрица с единичным следом (т.е. матрица плотности), то и на выходе будет настоящая матрица плотности (эрмитова, положительно определенная с единичным следом). Оказывается, что представление операторной суммой гарантирует не просто положительность, а так называемую полную положительность отображения (2) (соответствующее отображение является вполне положительным) [3, 9].
В гильбертовом пространстве размерности s операторы Ek могут быть представлены матрицами размерности s х s. В случае унитарного преобразования в операторной сумме имеется всего одно слагаемое, задаваемое оператором U. Произвольное преобразование можно привести к виду, содержащему не более s2 матриц Ek.
На основе элементов преобразования может быть легко построена так называемая хи-матри-ца, играющая ключевую роль в томографии квантовых процессов. Возьмем матрицу E1 размерности s х s и вытянем ее в столбец e1 длины s2 (при вытягивании второй столбец поместим под первым и т.д.). Полученный столбец e1 будет первым столбцом некоторой матрицы е. Аналогичным образом матрица E2 задаст второй столбец матрицы e и т.д.
На основе полученной матрицы e определим теперь основную матрицу х размерности s2 х s2 по формуле:
X = ее+. (4)
Важно, что матрицу х можно интерпретировать как некоторую матрицу плотности в гильбертовом пространстве размерности s2. Тем самым, любое квантовое преобразование сводится к некоторому состоянию в гильбертовом пространстве большей размерности — так называемый изоморфизм Чоя—Ямилковского (Choi— Jamiolkowski) [9].
Соответствующее состояние можно рассматривать как совместное состояние двух подсистем A и B (каждая размерности s). Учет условия нормировки (сохранения следа) сводится к тому, что редуцированная матрица хА, возникающая при взятии следа по степеням свободы подсистемы B, должна быть равна единичной матрице размерности s х s:
X^ = TrB (х) = I. (5)
При расчете вероятностей различных возможных результатов измерений на выходе хи-матри-ца играет роль, полностью аналогичную матрице плотности. Действительно, пусть на вход подается некоторое чистое состояние, задаваемое вектором состояния cin и соответствующей матрицей плотности pin = cinc+n. Заметим, что матрица плотности pin одновременно является оператором
2 D
проектирования, поскольку pin = pin. В результате квантового преобразования на выходе возникает некоторое состояние р0ut. Пусть при измерении выходного состояния рассматривается проекция на некоторый вектор-столбец cm (соответствующий измерению проектор есть П = cmc+m). Тогда, в соответствии с классическим результатом Борна-фон Неймана, вероятность рассматриваемого результата измерения есть:
P = tr(p 0иП). (6)
Рассмотрим проекционное измерение на некоторое эквивалентное эффективное состояние, задаваемое тензорным произведением от комплексно сопряженного входного состояния на состояние, которое отвечает за измерение на выходе:
cm = cfn ® cm. (7)
Соответствующий этому измерению проектор
есть П = cjH Рассматривая хи-матрицу как некоторую матрицу плотности, введем вероятность для эквивалентного эффективного измерения:
P = НуЛ). (8)
Прямым расчетом можно показать, что обе рассматриваемые вероятности совпадают (P = P). Таким образом, с вероятностной точки зрения квантовый процесс полностью описывается введенной хи-матрицей, которая полностью эквивалентна за-
данию набора элементов преобразования Ek. Полученный результат является ключевым для нашего последующего рассмотрения томографии квантовых операций.
Рассмотренное выше свойство можно выразить в другой эквивалентной форме, представляющей самостоятельный интерес (рис. 1). Это достигается использованием вспомогательной системы (анцилы) и понятия соответствующего состояния ("relative-state method") [14—16]. Пусть рассматриваемое квантовое преобразование E действует на систему A размерности s. Добавим вспомогательную систему B такой же размерности и рассмотрим совместную систему AB, на вход которой подадим максимально запутанное состояние, описываемое следующим вектором состояния:
s
|ф> = т XI j ®l j-
j=i
(9)
Это и есть соответствующее состояние. Здесь первый множитель в тензорном произведении относится к подсистеме В, а второй — к подсистеме А. Пусть в подсистеме В осуществляется тождественное преобразование I. Тогда, в системе АВ будет действовать преобразование (I ® Е).
Оказывается, что если на вход такой системы подается матрица плотности (| Ф)(Ф |), то на выходе автоматически возникает хи-матрица (только нормированная на единицу, как обычная матрица плотности), т.е.
(I ® Е)(|Ф)(Ф|) = рх, где рх = 1 х-
(10)
X = UD-Pl-
(11)
«= UX2-
(12)
B
A
I
| pout
E
В дальнейшем символом х будем обозначать любую хи-матрицу, независимо от ее нормировки.
Мы рассмотрели, как можно построить хи-матрицу по элементам преобразования Ек. Легко решить и обратную задачу: зная матрицу х, можно найти элементы преобразования Ек. Для этого приведем матрицу х к диагональному виду:
Здесь Б% — диагональная матрица, ее диагональ образована собственными значениями матрицы х, все они неотрицательны в силу положительной определенности матрицы х. Условимся располагать собственные значения в порядке убывания (невозрастания). Столбцы матрицы их представляют собой собственные векторы матрицы х. Матрицу е тогда можно вычислить по формуле:
Назовем рангом r квантового преобразования число ненулевых собственных
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.