ИЗВЕСТИЯ РАН. ТЕОРИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ, 2015, № 2, с. 50-55
УПРАВЛЕНИЕ В СТОХАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ ^^^^^^ И В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
УДК 510.56, 510.647
КВАНТОВЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ И НЕКЛАССИЧЕСКИЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
© 2015 г. В. Ю. Игнатьев, И. И. Мороз, Н. Н. Попов, В. И. Цурков
Москва, ВЦ РАН Поступила в редакцию 21.10.14 г.
Описываются квантовые случайные процессы со счетным множеством элементарных ортогональных событий, управляющие работой квантового компьютера. Выписываются выражения для апостериорных квантовых вероятностей для случая чистых состояний. Исследуются свойства переходных квантовых вероятностей для стационарных и нестационарных квантовых случайных процессов со счетным множеством состояний. Дается метод нахождения апостериорных квантовых вероятностей. Представлен аналог уравнения Колмогорова для квантовых случайных процессов.
DOI: 10.7868/S0002338815020067
Введение. Фейнман в 1982 г. [1] показал, как квантовый компьютер может быть использован в исследовании сложных квантово-механических процессов. Позднее в 1985 г. Дьют, развивая идеи Фейнмана, установил, что любой процесс в принципе может быть смоделирован квантовым компьютером. Сама работа квантового компьютера описывается некоторым стохастическим квантовым процессом. В частности, в [2] было показано, что работа N-кубитного квантового регистра может быть представлена квантовым марковским случайным процессом с конечным 2N числом квантовых состояний, т.е. процессом с отсутствием последействия.
В предлагаемой работе эти результаты получают дальнейшее развитие и распространяются на общий класс квантовых марковских процессов с не более чем счетным множеством квантовых состояний и непрерывным временем. Для переходных квантовых вероятностей выводится основное дифференциальное уравнение, аналогичное уравнению Колмогорова в теории классических марковских процессов со счетным множеством состояний. Изучаются их свойства и дается эффективный алгоритм вычисления переходных вероятностей, сводящийся к решению конечной системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами в случае стационарных квантовых марковских процессов с конечным числом состояний.
1. Квантовые процессы со счетным множеством ортогональных событий. Прежде чем приступить к исследованию квантовых случайных процессов, введем несколько математических объектов, без которых невозможно дальнейшее описание. Пусть Y = {1,2,...} — счетное множество элементарных событий, Z — линейное упорядоченное множество, Zn — n -я степень множества Z,
тогда Л — множество всех конечных упорядоченных наборов элементов из Zn, ® — ст-алгебра, порождаемая всевозможными наборами элементарных событий пространства Y .
Процедура измерения SE характеризуется некоторым отображением E, которое является ортогональной проекторнозначной мерой на (Y, <Щ, действующей в гильбертовом пространстве состояний Ж. Математически процедура измерения осуществляется за счет действия некоторого самосопряженного оператора E(A), A е ?Л, соответствующего физической наблюдаемой, на некоторый нормированный вектор у. Каждый нормированный вектор у из Ж порождает некоторое квантовое состояние р, которое представляет собой линейный положительный функционал, заданный на множестве ортогональных проекторнозначных операторов. После применения процедуры измерения квантовый регистр переходит в новое состояние. Наряду с квантовым состоянием р используется квантовая вероятность pE) (A), которая определяется следующим образом: pE) (A) = (ур, E(A)y р), где Q — скалярное произведение в гильбертовом пространстве H .
Определение. Пусть задано поле (У, Ж, Е, р). Два непересекающихся события А, В е такие, что А + В е называются взаимно ортогональными в состоянии р или р-ортогональными в условиях применения квантовой процедуры БЕ, если имеет место равенство
РЕ) (А + В) = р® (А) + рРЕ) (В).
Если равенство не выполняется, то события называются взаимно интерферирующими в состоянии р.
В случае ортогональных квантовых событий квантовый случайный процесс, который представляет собой некоторую стохастическую функцию £,('), определяется семейством согласованных квантовых вероятностей вида
(«, 1) = и р п Ек цк )П Е-р, с1.1)
ЛЕ,) 'р (1,1
\ к = 1 к = 1
где 1 = (,1,..., 'п) — моменты времени при проведении измерений, 1 = (г\,..., ¡п) — набор элементарных событий, наблюдаемых в моменты времени ,1,..., 'п, (1,1) = ('1,4,..., 'п,'п), Е( (4) — самосопряженный оператор, соответствующий элементарному событию 1к в момент времени 'к, вектор ур задает векторное состояние р = р¥р. Величина ррЕ' ^ (', 1) интерпретируется как вероятность регистрации событий 1 = (4,..., 1п) в моменты времени 1 = ('1,..., 'п) при проведении измерения SE в состоянии р.
Именно с представлением квантового случайного процесса в виде всевозможных наборов квантовых вероятностей вида (1.1) будем работать в дальнейшем.
2. Апостериорные квантовые вероятности для чистых состояний. В силу того, что Е является ортогональной проекторнозначной мерой, действующей в гильбертовом пространстве Ж, можно ввести апостериорные квантовые вероятности по формуле
р ((.....„)(' г г ' ' ) — Р(Е.....") ( , *1 ,..., 'п , 'п )
рр (1ю1п I '1 , '1 , ..., ' п—1 , 'п—1)— ( ) • ■ \,
рр .....п-1 ('1,'\, ..., ' п—1, ' п—1 )
где р(РЕ'1.....'п^ ('п,1п | '1,г\,..., 'п-1,1п-1) — вероятность регистрации значения 1п в момент времени 'п квантовой случайной функции %(') в условиях проведения процедуры измерения Б^ , если в моменты времени '1 < ... < 'п-1 при проведении последовательно процедур измерений БЕ ,..., БЕ, 1 были зафиксированы соответственно значения .., 1п-1 и система в начальный момент '0 = 0 находилась в состоянии р. Момент времени '0 = 0 соответствует началу эволюции случайного квантового процесса, а момент '1 — проведения первого измерения.
Если Е(')у р = V р для некоторого ' е У, то состояние р, соответствующее вектору у р, будет называться чистым.
Те о р е м а 1. Если р — чистое состояние, то апостериорная квантовая вероятность
рр п) ('п,'пI'1, '1, — , 'п-1,'п-1)
не зависит от состояния р, от результатов измерений в моменты '1,..., 'п-2 и определяется соотношением
Р{Е.....'п} (п,'п1'1,'1,...,'п-1,'п-1) = Тг ( ('п)Е'п-1('п-1)), (2.1)
где Тг (Еп ('п )Е,п1(1п-1)) - след операторной матрицы Еп(ОЕ^'п-х).
Подробное доказательство теоремы 1 представлено в [3].
Следствие. Из результата теоремы 1 непосредственно следует, что
Рр Ь ) ('п, 'п1 '1, '1, ..., 'п-1, 'п-1 )= рр п1,п ) ('п, 'п1 'п-1, 'п-1).
Из теоремы 1 в качестве следствия получаем следующий вариант теоремы умножения [2] апостериорных квантовых вероятностей для случая чистых состояний.
^) (1,1) = П р('к-1Лк'к-1, 4-1)
к = 1
при этом Е( (г0)ур = ур, '0 = 0, т.е. процесс, находясь в чистом состоянии р в момент времени '0 = 0, при измерении остается в состоянии.
Из формулы (2.1) следует, что квантовый процесс, задаваемый квантовой случайной функцией в широком смысле, в случае чистых состояний полностью определяется семейством квантовых переходных вероятностей
{ррЕ^ (',г\т,к),г,к е У,т,' е К+}.
Отметим, что из результата теоремы 1 следует также, что условные квантовые вероятности на счетном множестве ортогональных событий обладают свойством отсутствия последействия. Однако определяемые ими квантовые процессы не являются марковскими в классическом вероятностном смысле [4] в силу неаддитивности квантовой вероятности
РЕ1.....*) (мь..., ¿п,1п)
по каждому из аргументов г1,..., 1п_х, в отличие от аргумента 1п, по которому аддитивность квантовой вероятности следует из формулы (1.1).
3. Метод нахождения апостериорных квантовых вероятностей в случае конечного множества сильно ортогональных событий. Рассмотрим задачу о нахождении переходной квантовой вероятности рРЕт''-1 (, г\т, к) для случая стационарных квантовых процессов с конечным числом квантовых состояний. Если квантовый процесс стационарен и состояние р чистое, то
р^') (( к | т, г) = Тг (Е-т(к)р(г)) = р{рЕ°'( - т, к).
В силу теоремы Стоуна существует самосопряженный оператор Н такой, что
г ин г -ин Е' = е Ее ,
где г в показателе экспоненты — мнимая единица. Пусть (у г} — ортонормированный базис в конечномерном гильбертовом пространстве Ж р, построенный из собственных векторов семейства ортогональных проекторов {Е (г)}, и Н — самосопряженный оператор с областью определения В(Й). Положим Нк = ,г,к е У. В общем случае Нгк не определено, если уг,ук £ Б(Н).
Те о р е м а 2. Пусть рРЕт,') (',г\т,к) — переходная квантовая вероятность стационарного квантового процесса со счетным множеством ортогональных элементарных событий. Если р — чистое
состояние и уг е Б (Н) для любого г е У, то
¿Е'] (', г\т, к) = \угк (( -т)2,
где угк (') — непрерывно дифференцируемая функция по параметру ' е К + для любых г, к е У, удовлетворяющая одновременно двум конечным системам линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
г"7/гк (') = Х — ('),
г'1 ^У* (') = X Уг- (') нд, (зл)
] еУ
Угк (0) = 8гк, г, к е У, 8гк — символ Кронекера.
п
Доказательство. В силу определения квантовой переходной вероятности и чистоты состояния р имеем
pE} (t, к|т, r) = Tr (Et _T(k)p(r)} = (¥,, Et _T(k)¥ r).
ПУсть Угк (t) = (yr,¥k (t)) = <¥r,ek), тогда P?v) (t,k|t,r) = (yr, vk(t -t))(vk(t -т), vл = = |yrk (t - т)2 и yrk (0) = 5rk. Так как yr, yk e £(H) для любых r, k e 7, то функция yrk (t) — комплексная, непрерывно дифференцируема по параметру t е R и
Jtyrk (t) = r, HV k (t )) . Учитывая, что
(y r, HV k (t)) = X (HV r, ¥ y) (v j, V k (0) = X Hrjyjk (t)
j e 7 j e 7
получаем первую систему линейных дифференциальных уравнений. Аналогично, учитывая, что
Ht = e He, получаем вторую систему линейных дифференциальных уравнений. Теорема доказана.
В качестве примера рассмотрим однокубитный квантовый регистр, который может находиться в одном из двух ортогональных состояний {0}, {1}. Тогда, решая систему дифференциальных уравнений
i_1 dyrk (t) = Hkkyrk (t) + Hrkyrr (t), dt
i_1 dyrr (t) = Hrryrr (t) + Hkryrk (t), dt
где r, k = 0,1, r Ф k, с помощью преобразования Лапласа, получаем следующие формулы: pf-}
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.