КВАРКОВЫЕ АНСАМБЛИ С БЕСКОНЕЧНОЙ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ДЛИНОЙ
Г. М. Зиновьев", С. В. Молодцовь>€*
" Институт теоретической физики им. Н. Н. Боголюбова Национальной академии наук Украины.
ОЗЦЗ, Киев. Украина
ь Объединенный институт ядерных исследований Ц1980, Дубна, Московская обл., Россия.
'"Институт теоретической и экспериментальной физики 117259, Москва, Россия
Поступила в редакцию 19 мая 2014 г.
Рассматривается ряд точно интегрируемых (кварковых) моделей квантовой теории поля с бесконечной корреляционной длиной. Отмечается неустойчивость стандартного вакуумного кваркового ансамбля — моря Дирака (в случае пространственно-временной размерности выше трех), связанная с сильной вырожденностью состояния, которая обусловлена характером распределения по энергии. При стремлении параметра обрезания по импульсу к бесконечности распределение становится бесконечно узким, приводящим к большим (неограниченным) флуктуациям. Проводится сравнение различных вакуумных ансамблей: моря Дирака, нейтрального ансамбля, цветового сверхпроводника и БКШ-состояния. В случае цветового кваркового взаимодействия делается однозначный выбор в пользу БКШ-состояния как основного состояния кваркового ансамбля.
DOI: 10.7868/S0044451015010058 1. ВВЕДЕНИЕ
На первый взгляд может показаться, что идея рассматривать квантовую теорию поля с бесконечной корреляционной длиной в корне противоречит одному из исходных постулатов теории, связанному с лоренц-пуанкаре-инвариантностыо. Кажется, однако, правдоподобным, что в случае сильных взаимодействий проявляется естественный масштаб в виде шкалы Лqcd (в электродинамике масса электрона, в электрослабой теории масштаб бозона Хиггса). Свидетельство того, что корреляционная длина вакуумного ансамбля (физического вакуума), скорее всего, конечна, приходит из опыта в лице феноменологии сильных взаимодействий и из решеточных вычислений. Если отвлечься от многих других деталей, то именно возникновение естественного масштаба, по-видимому, и является ключевым вопросом построения правильной теории (см., например, [1]). Обретенные недавно результа-
* E-mail: molodtsov'fflitpp.ru
ты работы Большого адронного коллайдера (ЬНС), по-видимому, существенно отодвигают (закрывают) сценарий суперсимметрии как способ борьбы с бесконечностями теории, преследующими ее с момента обнаружения расходимостей в начале тридцатых годов прошлого века. А что, если, вместо того чтобы искать решение этих проблем напрямую, получить подсказки, анализируя следствия, которые могут проявиться в квантовой теории поля, если масштаб возник. В случае сильных взаимодействий оправданным представляется рассмотреть модель с «бесконечной» корреляционной длиной, которая в данном конкретном случае определяется размером характерного (вакуумного) бокса Ь ~ ^осп- ^ ДРУ" гом контексте эти модели известны, и плодотворны в физике конденсированного состояния [2], и мы называем их моделями ККБ (по фамилиям авторов работ [2]). С чисто технической стороны мы получим существенное упрощение при рассмотрении кварковых ансамблей, поскольку, как выясняется, интересующие нас модели оказываются точно интегрируемыми (согласно работам Тирринга, Латтинжера). Это свойство, как известно, играет огромную роль в
понимании проблем квантовой теории поля (см., например, [3]) н позволяет существенно продвинуться за рамки теории возмущений. Фактически мы уже пользовались этим приемом в наших предыдущих работах [4] при сопоставлении модели ККБ со случаем «точечного» взаимодействия, т.е. модели Нам-бу Иона-Лазинио (НИЛ). Отметим также, что на основе моделей с бесконечной корреляционной длиной возможно оцепить роль только квантовых корреляций, когда формально в системе как бы отсутствует силовое воздействие в обычном понимании, как это имеет место, например, в классической динамике или электродинамике. Кроме того, нас будет интересовать проблема описания реакции системы на внешнее воздействие, и было бы желательно провести сравнение с результатами, получаемыми в рамках одночастичной теории возмущений (картина, которую подразумевают, иногда даже неосознанно, при описании системы, находящейся во внешнем поле).
Действие интересующего нас ансамбля может быть записано в виде
5= (М(1°.1:х
q(id - in )ч - ■- ./•;;
dDy j'l F(x,y)
■ (1)
Здесь = (¡1°"/,^ кварковый ток с соответствующими операторами кварковых полей (¡, (] = ¿/оо, взятых в пространственной точке х (переменные со штрихом относятся к точке у), т токовая масса кварка, 1а = А°/2 генераторы цветовой калибровочной группы Б!! (Д>); //. = 0,1,2,3,..., £>; д частные производные по времени I и координатам х, натянутые на соответствующие 7-матрицы. Цветовая форма взаимодействия кварков сыграет ниже очень важную роль, но мы начнем обсуждение с более простого, абелева варианта. В двумерном случае (одна временная компонента, другая пространственная О = 1) этот ансамбль, как известно, соответствует модели Тирринга, Латтинжера [3]. ^(.г,представляет собой формфактор, который для простоты будем полагать трансляционно-инвариантным, Р(х,у) = Р(х — у), и по определению безразмерным, выделив соответствующую константу д. В интересующем нас случае «бесконечной» корреляционной длины никакая пространственная точка не выделена (сила, которая определяется как градиент потенциала, равна нулю), и именно это мы подразумевали, говоря об отсутствии силового воздействия. Формально формфактор можно даже просто положить
равным единице, F(x) = 1. Тогда фурье-образ форм-фактора
F(p) = / duxe",rF(x) = 6(р)
имеет размерность [F(p)] = LD. Размерность кварковых полей равна [у] = L~D/2. Константа связи оказывается размерной: [д] = L^1, и поэтому в случае сильных взаимодействий ее естественно измерять, например, в мегаэлектронвольтах. В дальнейшем будем интересоваться плотностями «измеримых» величин, например, энергии: С = Е/LD, где Е полная энергия ансамбля. Чтобы не загромождать формулы коэффициентами L~D/2, мы не будем включать их в определение фермнонных полей, поскольку, во-первых, они легко восстанавливаются, а во-вторых, в наблюдаемых они проявляются в виде соответствующего множителя объема бокса V = LD. Характерной и непривычной особенностью принимаемой формы взаимодействия оказывается формальное отсутствие рассеяния. В процессе рассеяния входящий импульс кварка совпадает с импульсом па выходе.
Следует, видимо, напомнить, каким образом, в принципе, нз квантовой хромодинамики (КХД, QCD) может появиться эффективная форма взаимодействия вида (1). Предполагается, что кварки находятся под действием сильных стохастических вакуумных глюонных полей. Тогда, применяя процедуру усредненного описания квазистационарного состояния кваркового ансамбля, можно получить интересующее нас произведение кварковых токов, связанных соответствующим коррелятором глюон-ного поля В простейшей форме он является
еннглетным по цветовым индексам. Для простоты мы ограничимся контактным по времени взаимодействием (без запаздывания)
[А*АЧ) = G 6аЬ 6,u,F(x - у)
(2)
(в эту формулу мы не включили соответствующую дельта-функцию по времени). Кроме того, допустимы члены, натянутые на вектор относительного расстояния х — у. Понятно, что эта простейшая корреляционная функция является лишь фрагментом соответствующей упорядоченной экспоненты, и помимо четырехфермнонного взаимодействия возникает также сопутствующий бесконечный набор мульти-фермнонных вершин [5].
67
5*
2. МОДЕЛЬ В ДВУМЕРНОМ СЛУЧАЕ
Модели вида (1) интенсивно изучались в двумерном случае и послужили основой целого направления исследований [3], они являются, по существу, тем единственным источником, из которого можно получить достоверную информацию (вне рамок од-ночастичной теории возмущений) об описании реакции системы на внешнее воздействие, именно как системы. Курьезным представляется то, что интересующий нас случай доминирования корреляций систематически исключался из рассмотрения посредством применения вычитательной процедуры, отбрасывающей вклад Р(0). Не менее курьезно то, что им пренебрегали в силу примитивности этого случая. Ведь с точки зрения теории рассеяния эту константу можно трактовать как некоторый ничего не значащий сдвиг фазы, который легко устраняется соответствующим сдвигом энергии. В двумерном случае аналог спиновых переменных вводится посредством дублета полей ц = (щ, ц-2) (хотя можно рассмотреть и полноценные спиноры, но для наших целей это не понадобится). Пока мы ограничимся абелевой формой взаимодействия и опустим в действии (1) генераторы цветовой группы . Гамма-матрицы возьмем в виде 7о = а-2, 71 = га\, где сг\, <7-2 матрицы Паули. В результате плотность лагранжиана можно привести к форме, типичной для моделей [31
£ = (]({д - т)ч - д{ч\ч1 ч'\ч'2 + ч1ч~2 ч'\ч[)- (3)
Чтобы не загромождать формулы, мы не приводим знак интеграла по координате у, подразумевая его и поставив штрихи над соответствующими ферми-онными полями. Плотность гамильтониана рассматриваемой системы можно представить в виде
Н = р Ц1 - Ц| р Ц2 + 'т (ц1ц2 + ц\ц1 ) +
+ д(ч1ч1 ч'\Л + 4ч-2 ч'ЬА), (4)
р = гдх. Вслед за Тиррингом введем опорное вакуумное состояние |0), аннулируемое компонентами фермпонных полей Ц1Х |0) = ¿/2з-|0) = 0. Поскольку рассматривается система в боксе конечной длины, подразумевается, что это условие выполняется в соответствующих дискретных пространственных точках для фермнонов с периодическими граничными условиями. Рассмотрим сначала систему в кираль-ном пределе (т = 0), и определим два фурье-образа дублета ферми-поля:
'О
•Д,
■А,.' ■
ч,1. = / (1хе
-гкх
чь
(Их = / ¿к с
к = к/2тт. Когда это понятно из контекста, иногда не будем указывать пространственную точку (в приведенной выше формуле х) для сокращения записи формул. Тогда плотность свободного гамильтониана и плотность члена взаимодействия можно записать в виде
Но = к «1 к'Чк ~ X] к ч1,,ч->1.-
к к
V = 2.д X и\ка1к X ¿4«2/
(6)
к I
(точнее, последнее выражение должно быть сим-метрпзовано, но это не играет существенной роли для дальнейшего рассмотрения). Фермионные антиперестановочные соотношения приводят, как известно [3], к стандартной картине оператор
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.