КОСМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2013, том 51, № 5, с. 389-401
УДК 521.1;629
КВАТЕРНИОННАЯ РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ В НЕБЕСНОЙ МЕХАНИКЕ И АСТРОДИНАМИКЕ И УПРАВЛЕНИЕ ТРАЕКТОРНЫМ ДВИЖЕНИЕМ. I1
© 2013 г. Ю. Н. Челноков
Саратовский ГУ им. Н.Г. Чернышевского, Институт проблем точной механики и управления РАН, г. Саратов Поступила в редакцию 20.03.2012 г.
Рассматриваются проблемы регуляризации в небесной механике и астродинамике. Приводятся основные регулярные кватернионные модели небесной механики и астродинамики. Показывается, что эффективность аналитического исследования и численного решения краевых задач оптимального управления траекторным движением космических аппаратов может быть повышена за счет использования кватернионных моделей астродинамики.
В первой части статьи рассматривается проблема регуляризации в небесной механике и астродинамике, заключающаяся в. устранении особенности, возникающей в уравнениях задачи двух тел при соударении второго тела с центральным телом. Излагается кватернионный метод регуляризации уравнений возмущенной пространственной задачи двух тел, предложенный автором; дается его сравнение с ^^-регуляризацией Кустаанхеймо—Штифеля. Приводятся наглядные геометрические и кинематические интерпретации регуляризующих преобразований. Рассматриваются кватернионные регулярные уравнения задачи двух тел, обобщающие регулярные уравнения Кустаанхеймо— Штифеля, а также регулярные уравнения в кватернионных оскулирующих элементах и кватернионные регулярные уравнения возмущенного центрального движения материальной точки. Дается краткий анализ публикаций по кватернионной регуляризации в небесной механике и астродинамике.
Б01: 10.7868/80023420613050026
1. ПРОБЛЕМА РЕГУЛЯРИЗАЦИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВОЗМУЩЕННОЙ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ЗАДАЧИ ДВУХ ТЕЛ
В основе небесной механики и астродинамики лежит векторное ньютоновское дифференциальное уравнение возмущенной пространственной задачи двух тел
й2 г/йг2 + /(т + М) г- г = р (г, г, йг/йг), (1)
где г — радиус-вектор центра масс второго (изучаемого) тела, проводимый из центра масс первого (центрального) тела; г = |г|, т, М — массы второго и первого тел;/— гравитационная постоянная; р — вектор возмущающего ускорения центра масс второго тела (или вектор, равный сумме возмущающего и управляющего ускорений центра масс второго тела), ? — время.
Это уравнение вырождается при соударении второго тела с центральным телом (при равенстве нулю расстояния г между телами), что делает ис-
1 Статья носит обзорный характер и основана на материалах пленарного секционного доклада "Кватернионная регуляризация в астродинамике и управление траекторным движением", сделанного на X Всероссийском Съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики [1] (секция I "Общая и прикладная механика").
пользование этого уравнения неудобным при изучении движения второго тела в малой окрестности центрального тела или его движения по сильно вытянутым орбитам. Сингулярность в начале координат создает не только теоретические, но и практические (вычислительные) трудности.
Проблема устранения указанной особенности, известная в небесной механике и астродинамике как проблема регуляризации дифференциальных уравнений возмущенной задачи двух тел, восходит к Л. Эйлеру [2] и Т Леви-Чивита [3—5], давшим решения одномерной и двумерной задачам о соударении двух тел (в случаях прямолинейного и плоского движений). Наиболее эффективная регуляризация уравнений пространственной задачи двух тел, так называемая спинорная или ^^-регуляризация, была предложена П. Кустаанхеймо и Е. Штифелем [6, 7]. Она представляет собой обобщение регуляризации Т. Леви-Чивита уравнений плоского движения и наиболее полно изложена в широко известной монографии Е. Штифеля и Г. Шейфеле [8].
2. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ КУСТААНХЕЙМО— ШТИФЕЛЯ
В основе регуляризации Кустаанхеймо-Шти-феля лежит нелинейное неоднозначное преобра-
зование декартовых координат изучаемого тела, так называемое ^¿-преобразование, обобщающее преобразование Леви-Чивита и имеющее вид
(
(
Ы1 —Ы2 —Ы3 Ыо
Ы2 Ы1 —Ыо —Ы
Ы3 Ыо Ы1 Ы2
Ыо —Ы3 Ы2 —Ы
\
(
V и0 У
(2)
= L (u*S)
V и0 У
2
2
2
Xi — Ыс\ + Ы1 — ^2 — Ы
x2 — 2 ( ы1ы2 — ы0 ы3 ), x3 — 2 ( ы1 ы3 + ы0 ы2 )
(3)
и с точностью до перестановки индексов совпадает с отображением Хопфа [9].
Регулярные уравнения Кустаанхеймо—Шти-феля возмущенной пространственной задачи двух тел имеют в скалярной записи вид [8]
d2 Uj/dт2 — (h/2) Uj — (r/2) qj (j = 0, 1, 2, 3),
dh/d т — 2( q0 du0/dT + q1du1/dT +
+ q2du2 / d т + q3 du3/d т),
2222 dh/dт — r, r — |r| — ы0 + ы1 + ы2 + ы3;
(4)
(5)
(6)
qo — ыор* — Ы3Р* + Ы2Р*,
q1
Ы1Р* + Ы^2* + Ы3Р*,
д2 = -ир + + Ы()р*,
4з = -и^^Г - ир* + ир*.
Здесь т — новая независимая переменная, называемая фиктивным временем и связанная со временем ? дифференциальным уравнением (6); к — дополнительная переменная, имеющая смысл кеплеровской энергии, р* (к = 1, 2, 3) — проекции возмущающего ускорения р центра масс второго тела на оси инерциальной системы координат.
Эти уравнения образуют систему десяти обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений относительно переменных Кустаанхеймо— Штифеля и, кеплеровской энергии к и времени Уравнения (4) эквивалентны матричному уравнению
22
d Uкs/dт — (h/2)uKS — (r/2)L(uKS)PKS,
(7)
где хк (к = 1, 2, 3) — координаты центра масс изучаемого тела в инерциальной системе координат X, имеющей начало в центре масс центрального тела и координатные оси, направленные на удаленные звезды; и, (/ = 0, 1, 2, 3) — новые переменные (КЗ-переменные), Ь(иК^ — обобщенная матрица Леви-Чивита, называемая К5-матрицей, содержащая в левом верхнем углу двумерную квадратную матрицу Леви-Чивита.
В скалярной записи преобразование (2) имеет вид
где uss — четырехмерный вектор KS-переменных; Uss = (ub u2, u3, u0); Pss — четырехмерный вектор, сопоставляемый трехмерному вектору ускорения
р: Pss = (Р*, Р**, Р*, 0).
Отметим следующие основные достоинства уравнений Кустаанхеймо—Штифеля [8, 10—15]:
— они, в отличие от ньютоновских уравнений, регулярны в центре притяжения,
— линейны для невозмущенных кеплеровских движений и имеют в этом случае вид
d2Uj/d т2 — ( h/2) Uj — 0,
h — const, (j = 0, 1, 2, 3)
(для эллиптического кеплеровского движения, когда кеплеровская энергия h < 0, эти уравнения эквивалентны уравнениям движения четырехмерного одночастотного гармонического осциллятора, квадрат частоты которого равен половине кеплеровской энергии, взятой со знаком минус);
— позволяют выработать единый подход к изучению всех трех типов кеплеровского движения;
— близки к линейным уравнениям для возмущенных кеплеровских движений;
— позволяют представить правые части дифференциальных уравнений движения небесных и космических тел в полиномиальной форме, удобной для их решения с помощью ЭВМ.
Эти обстоятельства позволили разработать эффективные методы нахождения решений в аналитической или численной форме таких трудных для классических методов задач как исследование движения вблизи притягивающих масс или движения по орбитам с большими эксцентриситетами. Так, Е. Штифелем, Г. Шейфеле, Т.В. Бордови-цыной и др. [8, 11, 12] показано, что использование регулярных уравнений в переменных Кустаанхеймо—Штифеля позволяет повысить точность численного решения ряда задач небесной механики и астродинамики (например, задачи о движении ИСЗ по орбитам с большими эксцентриситетами) от трех до пяти порядков по сравнению с решениями, полученными при использовании классических (ньютоновских) уравнений. Кроме того, эти уравнения, а также их кватернионные аналоги и уравнения в кватерни-онных оскулирующих элементах позволили построить эффективные решения ряда задач оптимального управления орбитальным движением
КА (Я.Г. Сапунков, Ю.Н. Челноков, В.А. Юрко [1, 13-19]).
В основе регуляризации Кустаанхеймо-Шти-феля, как уже отмечалось, лежит нелинейное неоднозначное преобразование декартовых координат (3). Причем это преобразование состоит в переходе от трехмерного пространства декартовых координат хк к четырехмерному пространству новых координат и.. Поэтому по мнению Е. Шти-феля и Г. Шейфеле прямой вывод регулярных уравнений в трехмерном (т.е. пространственном) случае невозможен. В своей книге [8] они постулируют матричное регулярное уравнение пространственной задачи двух тел (7), записанное ими по аналогии с матричным регулярным уравнением Леви-Чивита плоского движения, и с помощью нескольких теорем доказывают, что при этом удовлетворяется старое векторное ньютоновское уравнение (1). Такой подход к построению регулярных уравнений пространственной задачи двух тел является во многом искусственным и мало наглядным.
Вскоре после открытия ^^-преобразования было рассмотрено использование кватернионов (четырехмерных гиперкомплексных чисел) и четырехмерных кватернионных матриц для регуляризации уравнений пространственной задачи двух тел. Однако в своей книге Е. Штифель и Г. Шейфеле полностью отвергли эту идею, написав ([8], с. 29), что "Любая попытка заменить теорию КБ-матриц более популярной теорией кватернионных матриц приводит поэтому к неудаче или, во всяком случае, к очень громоздкому формализму". Это утверждение было впервые опровергнуто автором статьи, показавшим в конце 70-х и начале 80-х годов в работах [20-23], что в действительности кватернионный подход к регуляризации позволяет дать прямой и наглядный вывод регулярных уравнений в переменных Кустаанхеймо-Штифе-ля, делает более естественными и наглядными основные положения, лежащие в основе КБ-регуля-ризации, позволяет построить теорию, обобщающую КБ-регуляризацию.
3. КВАТЕРНИОННАЯ РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ЧЕЛНОКОВА
Укажем основные этапы построения кватер-нионных регулярных уравнений пространственной задачи двух тел, предложенного автором статьи в [20-23].
1) Записываем исходные ньютоновские уравнения возмущенной пространственной задачи двух тел во вращающейся системе координат п, начало которой помещено в центр масс второго тела. Ось п1 этой системы координат направляем вдоль радиуса-вектора г центра масс второго тела. Для описания углового движения системы коо
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.