научная статья по теме КВАТЕРНИОННАЯ РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ В НЕБЕСНОЙ МЕХАНИКЕ И АСТРОДИНАМИКЕ И УПРАВЛЕНИЕ ТРАЕКТОРНЫМ ДВИЖЕНИЕМ. III Космические исследования

Текст научной статьи на тему «КВАТЕРНИОННАЯ РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ В НЕБЕСНОЙ МЕХАНИКЕ И АСТРОДИНАМИКЕ И УПРАВЛЕНИЕ ТРАЕКТОРНЫМ ДВИЖЕНИЕМ. III»

КОСМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2015, том 53, № 5, с. 430-446

УДК 521.1,629

КВАТЕРНИОННАЯ РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ В НЕБЕСНОЙ МЕХАНИКЕ И АСТРОДИНАМИКЕ И УПРАВЛЕНИЕ ТРАЕКТОРНЫМ ДВИЖЕНИЕМ. III

© 2015 г. Ю. Н. Челноков

Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского, Институт проблем точной механики и управления РАН, г. Саратов ChelnokovYuN@gmail.com Поступила в редакцию 22.04.2013 г.

В настоящей статье1 анализируются основные проблемы, возникающие при решении задач оптимального управления траекторным движением КА с помощью принципа максимума (в том числе неустойчивость в смысле Ляпунова решений сопряженных уравнений). Показывается, что использование кватернионных моделей астродинамики позволяет устранить особые точки в дифференциальных фазовых и сопряженных уравнениях и в их частных аналитических решениях; построить новые кватернионные первые интегралы, существенно уменьшить размерности систем дифференциальных уравнений краевых задач оптимизации с одновременным их упрощением за счет использования новых кватернионных переменных, связанных с кватернионными константами движения преобразованиями вращения; построить общие решения дифференциальных уравнений для фазовых и сопряженных переменных на участках пассивного движения КА в наиболее простой и удобной форме, что важно для решения задач оптимальных импульсных перелетов КА; расширить возможности аналитического исследования дифференциальных уравнений краевых задач с целью выявления основных закономерностей оптимального управления и движения КА; улучшить вычислительную устойчивость решения краевых задач; уменьшить необходимый объем вычислений.

DOI: 10.7868/S0023420615050040

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЕМ ЦЕНТРА МАСС КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА

Движение центра масс космического аппарата (материальной точки В переменной массы) будем рассматривать в системе координат ОХг Х2Х3(Х) с началом в центре притяжения О. Координатные оси этой системы координат параллельны осям инерциальной системы координат. Управляемое движение центра масс космического аппарата в центральном ньютоновском поле сил тяготения описывается векторным дифференциальным уравнением второго порядка [4, 5]

й 2г/1И2 + /Иг _3г = р (1.1)

или системой двух векторных дифференциальных уравнений первого порядка

йг/dt = V, йу/dt = -/Иг ~3г + p, (1 2)

p = (Г/ т)е = X/ т,

где г, V — радиус-вектор и вектор скорости центра масс КА в системе координат X, г = |г|, / — гравитационная постоянная, М — масса притягиваю-

1 Статья основана на материалах доклада [1] и является

продолжением работ [2, 3].

щего тела, m = m(t) — масса КА, p — вектор ускорения центра масс КА от тяги двигателя, принимаемый в качестве управления, T = T e — вектор тяги, T и e — величина и единичный вектор направления тяги.

В механике космического полета фундаментальное значение имеет следующая задача оптимального управления движением центра масс КА в ньютоновском гравитационном поле: требуется определить ограниченное по модулю управление p:

0 < p < pmax < да, p = |p|, (1.3)

переводящее КА, движение центра масс которого описывается уравнениями (1.1) или (1.2), из заданного начального состояния

r(to) = r(0) = г0, v(tо) = v(0) = v0, (1.4)

в конечное состояние

rft) = г*, vft) = v* (1.5)

или состояние, принадлежащее некоторому, в общем случае подвижному многообразию, и минимизирующее функционал

ti

J = |(a1 + a2p2(t))dt, a1, a2 = const > 0 (1.6)

0

или функционал

J =

= |(а! + а 2 p(t))dt = а^ + а 2Q(ti),

а1; а2 = const > 0,

(1.7)

а для функционала (1.7)

а = а1 + а2 |p|, а1, а2 > 0.

(1.10)

Система уравнений для сопряженных переменных имеет известный вид:

dyv/dt = -уr, dуr/dt =

где аь а2 — весовые коэффициенты функционала. Время ^ управляемого движения полагается не заданным.

Функционал (1.6) при а! = 0, а 2 = 1 используется в задачах механики космического полета с двигателями малой тяги [6], а функционал (1.7) при тех же значениях постоянных а1 и а 2 — с двигателями большой тяги [5]. Функционал (1.6) характеризует расход энергии на перевод КА из начального в конечное состояние и время, затрачиваемое на этот перевод. Функционал (1.7) характеризует суммарные (в определенной пропорции) затраты времени и характеристической скорости КА на совершение управляемого движения. При а1 = 0, а 2 = 1 минимум функционала (1.7) означает минимум характеристической скорости 0. При а 2 = 0 функционалы (1.6), (1.7) переходят в функционал / = и поставленная задача в этом случае — задача быстродействия. Отметим, что решение задачи оптимального управления движением центра масс КА для функционала (1.7) значительно более трудное, чем решение задачи для функционала (1.6) из-за неаналитичности подынтегральной функции в формуле (1.7), приводящей к трудоемким вычислениям при определении оптимального управления.

Поставленную задачу будем рассматривать с помощью принципа максимума Понтрягина. Введем дополнительную переменную g, удовлетворяющую при минимизации функционала (1.6) дифференциальному уравнению £ = а1 + а2р (?) и начальному условию £(0) = 0, или при минимизации функционала (1.7) дифференциальному уравнению £ = а1 + а 2р(?) и начальному условию £(0) = 0. Введем векторные сопряженные переменные у г и ^, соответствующие векторным фазовым переменным г и V, и скалярную сопряженную переменную у0, соответствующую скалярной фазовой переменной g.

Функция Гамильтона—Понтрягина будет иметь вид:

Н = у + ¥г • V - /Иг • г + ^ • р, (1.8) где для функционала (1.6)

■ r)r,

(1.11)

= fMr-- 3fMr-

dy 0/dt = 0. (1.12)

В соответствии с принципом максимума у0(t1) < 0, поэтому в силу уравнения (1.12) и однородности функции H по сопряженным переменным можно выбрать любое y0(t) = const < 0, переопределив соответственно другие переменные. В дальнейшем в выражении (1.8) для функции H множитель у 0 полагается равным —1.

Оптимальное управление2 p0, найденное из условия максимума функции H, определяемой соотношениями (1.8)—(1.10), по переменной p с учетом ограничения (1.3), имеет вид:

Р

0

Р V

Vlv v

(1.13)

Здесь при минимизации функционала (1.6) в случае а2 > 0

p0 = |(2а 2)-1

t pmax,

в случае а 2 = 0

если (2а2) 1 |yv| < pn если (2а2)-1 v| > pn

(1.14)

(1.15)

0

p =

(1.16)

р ртах.

При минимизации функционала (1.7)

Ртах, если -а2 > 0, 0, если - а2 < 0,

Ур е [0,Ртах], если - а2 = 0.

Отметим, что среди режимов управления имеется режим, соответствующий максимальной величине ускорения р, режим, соответствующий минимальной (нулевой) величине ускорения, а также особый режим, который может возникнуть при выполнении третьего из условий (1.16).

Уравнения (1.2), (1.11) рассматриваемой краевой задачи имеют для оптимального управления и оптимальной траектории (точнее, при любом р|| у , в частности, при выполнении необходимых условий оптимальности (1.13)—(1.16), учитывающих наложенное на модуль управления ограниче-

g = а1 + а 2 p , а1, а 2 > 0,

(1.9)

' Здесь и далее оптимальным управлением называется управление, удовлетворяющее необходимым условиям оптимальности (принципу максимума Понтрягина), а оптимальной траекторией — траектория, отвечающая этому управлению.

0

ние) векторный (1.17) и скалярный (1.18) первые интегралы [7—9]:

((dr/dt) xyv + (dyv/dt) x г) p0 = const, (1.17)

H(r, v,W r ,Wv, p °(Vv)) = 0. (1.18)

Итак, задача оптимального управления движением центра масс КА сводится в случае фиксированного правого конца траектории (при заданных конечных значениях r(t1) и v(t1) радиуса-вектора и вектора скорости центра масс КА) к двухточечной краевой задаче, описываемой (при использовании в качестве управления вектора ускорения центра масс КА p) двенадцатью скалярными нелинейными дифференциальными уравнениями первого порядка (1.2), (1.11), (1.13)—(1.15) в случае минимизации функционала (1.6) или уравнениями (1.2), (1.11), (1.13), (1.16) в случае минимизации функционала (1.7).

При интегрировании уравнений появится двенадцать произвольных постоянных интегрирования, тринадцатым неизвестным будет время управляемого движения t1. Для определения неизвестных постоянных и времени t1 имеем тринадцать условий: двенадцать граничных условий (1.4), (1.5) и равенство

H 0 = H(r,v,¥r ,Р °)| = 0, (1.19)

"1 "1

имеющее место в соответствии с (1.18) для оптимального управления p и оптимальной траектории КА.

В общем случае, когда левый и (или) правый конец траектории принадлежат некоторым многообразиям, размерность краевой задачи может увеличиться (за счет появления дополнительных дифференциальных уравнений, описывающих эти многообразия), к тому же в этом случае при решении задачи возникает необходимость в построении и учете условий трансверсальности. Размерность двухточечной краевой задачи также увеличивается [5] на две единицы (имеет четырнадцатый порядок) при использовании в качестве управления вектора тяги T. Размерность задачи может увеличиться и при использовании других моделей движения центра масс КА.

2. ПРОБЛЕМЫ ОПТИМАЛЬНОГО

УПРАВЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЕМ ЦЕНТРА МАСС КА И ПУТИ ПОВЫШЕНИЯ ЭФФЕКТИВНОСТИ ИХ РЕШЕНИЯ

Основная трудность в задачах оптимального управления движением центра масс КА — решение краевых задач для систем дифференциальных уравнений, построенных с помощью принципа максимума Понтрягина. Укажем основные факторы, делающие решение краевых задач оптимиза-

ции трудной проблемой: нелинейность, высокая размерность систем дифференциальных уравнений краевых задач, а в ряде случаев и их нестационарность; открытость проблемы существования и единственности решения; неустойчивость в смысле Ляпунова решений сопряженных уравнений, т.е. неустойчивость по отношению к неизвестным начальным условиям для сопряженных переменных, которые должны быть найдены в ходе решения задачи; наличие особых точек в дифференциальных уравнениях и в их частных аналитических решениях, в которых уравнения и их решения вырождаются; неаналитичность одного из основных функционалов качества (характеристической скорости), осложняющая численное решение задач; отсутсвие аналитических решений уравнений в большинстве случаев; вычислительная неустойчивость решений систем дифференциальных у

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Космические исследования»