Письма в ЖЭТФ, том 101, вып. 8, с. 583-588
© 2015 г. 25 апреля
Квазидвумерная и трехмерная турбулентность во вращающихся
сферических слоях жидкости
Д. Ю. Жиленко1\ О. Э. Кривоносова
Институт механики МГУ им. Ломоносова, 119192 Москва, Россия
Поступила в редакцию 16 января 2015 г.
После переработки 23 марта 2015 г.
Экспериментально и численно исследованы турбулентные течения вязкой несжимаемой жидкости, развивающиеся в слое между вращающимися концентрическими сферами под действием модуляции скорости одной из сфер. Установлена возможность формирования турбулентности, спектры которой качественно подобны спектрам, полученным в результате измерений в верхних слоях атмосферы: с наклоном, близким к —3 на меньших частотах и наклоном, близким к —5/3 на больших, с отрицательной продольной структурной функцией скорости третьего порядка. Показано, что такие спектры формируются в тех областях течения, которые подвергаются сильной синхронизации под действием модуляции скорости вращения.
БО!: 10.7868/80370274X15080044
1. Введение. Крупномасштабные течения атмосферы происходят в условиях быстрого вращения Земли, и их свойства принято объяснять концепцией "двумерной" турбулентности [1,2]. В двумерной турбулентности принято выделять два инерционных интервала, соответствующих переносу энергии при меньших волновых числах и переносу энстрофии при больших волновых числах [3]. Подвод энергии и энстрофии к течению происходит за счет внешних сил с волновыми числами, расположенными между этими интервалами. Инерционный интервал переноса энергии от больших к меньшим волновым числам (обратный каскад) описывается таким же, как и в трехмерной турбулентности, соотношением Колмогорова [4] для зависимости энергетического спектра Е{к) от волнового числа к: Е(к) ~ /г~5/3. В инерционном интервале переноса энстрофии от меньших волновых чисел к большим (прямой каскад) такая зависимость имеет вид Е(к) ~ к~3. Направление каскада определяется знаком продольной структурной функции скорости третьего порядка [5], определяемой как Dlll = ([м(0 — м(0]3)) гДе u ~ скорость в пространственно разнесенных точках I и /', угловые скобки означают осреднение по ансамблю реализаций. При этом Dlll < 0 соответствует прямому каскаду, a -Dlll >0 - обратному. Положения теории двумерной турбулентности, в том числе формирование спектров с наклоном —5/3 при больших и —3 при меньших масштабах, нашли подтверждение
^e-mail: jilenko@imec.msu.ru
в многочисленных результатах, обзоры которых приведены в [6, 7]. В то же время по данным проведенных в течение нескольких лет измерений горизонтальной скорости ветра в верхних слоях атмосферы Земли обнаружено аномальное расположение спектральных участков, не соответствующее теории двумерной турбулентности. Так, спектры турбулентности с наклоном —3 начинаются на масштабах более 700 км и ограничены сильным пиком на масштабе 104км. Спектры же с наклоном —5/3 выявлены на малых масштабах, менее 500 км [1]. Из проведенного в [2] анализа структурных функций третьего порядка установлено, что только один из участков спектра - с наклоном —3 - соответствует "двумерной" турбулентности. Отсюда можно сделать вывод о прямом каскаде передачи энергии на обоих рассматриваемых участках спектра. Несмотря на существующие объяснения [1,8,9], вопросы о причинах обратного расположения спектральных участков и о возможности воспроизведения этого явления в лабораторных условиях пока остаются открытыми.
Двумерности турбулентных течений в атмосфере препятствуют как вязкая диссипация [10], так и вертикальные движения, являющиеся частью крупномасштабной циркуляции [6]. Крупномасштабная циркуляция существует и в турбулентных течениях, вызванных вращением границ сферического слоя, что приводит в движение заключенную между ними вязкую несжимаемую жидкость [11]. Именно поэтому с целью качественной имитации процессов в атмосфере в данной работе рассматривается модельное
сферическое течение Куэтта. По аналогии с работой [12], в которой переходы между двух- и трехмерной турбулентностью изучались в присутствии встречной вращению цилиндров азимутальной струи, для исследований нами был выбран случай встречного вращения сфер. При стационарных граничных условиях в меридиональной плоскости такого течения формируются вихри противоположного направления с линией раздела между ними (см. рис. 1, который
\ 4 ^ч. \ у Ч\ v2 \ ч \ V
vA\
\ '"^ч У Л \
1 * * \ II 1 1 -____' \ III
Рис. 1. Расчетные значения функции тока ф (в м3 • с-1) (см. [13]) в меридиональной плоскости осесимметрич-ного стационарного течения при Re2 = —900, Reí = 414: V'max = 6 • Ю-6, V'min = -6 • 10"6 , Д^'тах = 6 • Ю"6. Отрицательные значения уровня обозначены штриховыми линиями. Точки 1-7 расположены на относительном расстоянии I = (г — ri)/(r-2 — г i) = 0.135, 0.246, 0.359, 0.484, 0.611, 0.7, 0.803 от внутренней сферы (где '"i, '"2 - радиусы внутренней и внешней сфер) с отклонением 0.2067Г от плоскости экватора
аналогичен фиг. 1,в из [13]). Аналогичная циркуляция может наблюдаться в случае вращения только внутренней сферы при неоднородном по широте внешнем подогреве [14], характерном для атмосферы. В сферических слоях формирование турбулентности с высоким уровнем корреляционной размерности происходит как при увеличении скорости вращения одной из границ [11,15], так и при модуляции скорости их вращения [16]. В последнем случае спектр развитой турбулентности зависит от параметров силового воздействия [17].
В данной работе экспериментально и численно установлена зависимость вида спектров азимутальной скорости от частоты и амплитуды модуляции скорости вращения одной из сфер. Показана возможность формирования в сферическом слое турбулент-
ных течений, спектры которых качественно подобны полученным ранее при натурных измерениях в атмосфере спектрам.
2. Методика расчета и эксперимента, область исследования. Изотермическое течение вязкой несжимаемой жидкости описывается уравнениями Навье-Стокса и неразрывности: Щ- = U х rot U —
— grad ^ + Hr^j — v rotrot U, div?7 = 0, где U, p, v, p - скорость, давление, вязкость и плотность жидкости. При численном решении используется сферическая система координат с радиальным (/•), полярным (в) и азимутальным (92) направлениями, для которой условия непротекания и прилипания на границах имеют вид i/v(r = Tfc) = Qk{~t)rk sin в, ur(r = = rk) = 0, ue{r = rk) = 0, A: = 1, 2, где u^, ur, ив - азимутальная, радиальная и полярная компоненты скорости, k = 1 соответствует внутренней сфере, к = 2 - внешней. Используемый алгоритм численного решения [18] базируется на консервативной конечно-разностной схеме дискретизации уравнений Навье-Стокса по пространству и полунеявной схеме Рунге—Кутты 3-го порядка точности интегрирования по времени. Дискретизация по пространству проводится на неравномерных по г и в сетках со сгущением вблизи границ и плоскости экватора и общим количеством узлов 5.76 • 105. Вопросы чувствительности результатов к параметрам сетки подробно рассмотрены в [13,19]. Данный алгоритм использовался при расчетах в случае как стационарных [11], так и периодических [19] граничных условий. Получено соответствие экспериментальных и расчетных результатов, в том числе для интегральных свойств турбулентных течений. В данной работе спектры пульсаций квадрата азимутальной компоненты скорости и^ (с вычетом средней величины, определяемой по всей выборке) рассчитывались в точках 1-7, показанных на рис. 1 (в и ip одни и те же, меняется только г). Для этого вычислялись временные ряды и^ длиной не менее 72000 точек с шагом по времени At = (0.015—0.025) с. Для вычисления -Dlll рассчитывалась зависимость и^ от азимутального угла ¡р в течение шестнадцати периодов вращения (0 < <р < 32л"). Все расчеты проводились для начальных и граничных условий, соответствующих условиям проведения экспериментов.
Экспериментальная установка представляет собой две коаксиальные сферы. Наружный радиус внутренней сферы ri = 0.075 м, а внутренний радиус внешней сферы го = 0.150м. Зазор между сферами заполнен силиконовым маслом с вязкостью V = 50 • 10~6м2/с при температуре рабочей жидко-
Квазидвумерная и трехмерная турбулентность во вращающихся сферических слоях укидкости
585
сти 22°С, в которое для визуализации течения добавлена алюминиевая пудра. Скорость вращения периодически изменяется по закону flk{t) = + + Ak sin(27r/fcf + Ф/с)] с погрешностью не более 0.5 % (где Af¡, fk ~ амплитуда и частота модуляции, ГДо -средняя угловая скорость вращения, начальное значение фазы Ф^ произвольно). Частоты модуляции Д = (0.01-0.1) Гц и Д = (0.01-0.02) Гц не превышали средних величин частот вращения сфер (Qw/2tt = = 0.59 Гц, ÍÍ2o/27r = 0.32 Гц). Измерения uv проводились лазерным анемометром СДС 01.11 с допустимым интервалом скорости 0.005-1 м/с, частота сбора данных 20.16 Гц. Точка измерения располагалась около внешней сферы на расстоянии 0.078 м от плоскости экватора и 0.105 м от оси вращения (вблизи точки 7 на рис.1). Эксперименты проводились при числах Гейнольдса Reí = íliorf/v = 412.5 ± 0.5, Re2 = í^qí'I/^ = —900 ± 1. При указанных числах Гейнольдса в отсутствие модуляции в слое формируется периодическое течение с частотой Д = = 0.0376 Гц, в дальнейшем называемое исходным, которое является результатом взаимной синхронизации отдельных линейных мод [13]. Исходное течение представляет собой бегущие азимутальные волны с волновым числом гп = 3. Модуляция скорости вращения одной из границ ведет к вынужденной синхронизации течения. С увеличением амплитуды модуляции при ее фиксированной частоте происходит разрушение исходного течения. При переходе от взаимной синхронизации к вынужденной формируется турбулентность [16]. Более подробное описание установки и условий проведения экспериментов представлено в [16].
3. Результаты. Обработка результатов измерений uv показала, что вблизи порога формирования турбулентности вид спектров квадрата пульсаций азимутальной скорости не зависит от частоты модуляции. В этом случае спектры имеют постоянный наклон в интервале частот, ограниченном снизу наибольшей из величин /о и fk-
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.