ИЗВЕСТИЯ РАН. ТЕОРИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ, 2014, № 3, с. 38-45
ОПТИМАЛЬНОЕ ^^^^^^^^^^^^^^ УПРАВЛЕНИЕ
УДК 62-50
КВАЗИОПТИМАЛЬНОЕ ТОРМОЖЕНИЕ ВРАЩЕНИЙ НЕСИММЕТРИЧНОГО ТЕЛА В СОПРОТИВЛЯЮЩЕЙСЯ СРЕДЕ*
© 2014 г. Л. Д. Акуленко, Д. Д. Лещенко, А. Л. Рачинская
Москва, ИПМех РАН, Одесса, ОГАСА, ОНУ Поступила в редакцию 20.03.13 г., после доработки 14.01.14 г.
Исследована задача об оптимальном по быстродействию торможении вращений свободного твердого тела под действием малого управляющего момента с неравными близкими коэффициентами, такая задача может считаться квазиоптимальным управлением. Кроме того, на твердое тело действует малый тормозящий момент сил вязкого трения. Считается, что тело динамически несимметрично. Определены квазиоптимальный закон управления для торможения вращений твердого тела в форме синтеза, время быстродействия и фазовые траектории. Проведено исследование квазистационарных движений.
БО1: 10.7868/80002338814030020
Введение. Развитие исследований задач динамики и управления движением твердых тел вокруг неподвижной точки состоит в учете того обстоятельства, что тела не являются абсолютно твердыми, а близки к указанным идеальным моделям. Необходимость анализа влияния различных неидеальностей обусловлена ростом требований к точности решения задач космонавтики, гироскопии и др. Влияние неидеальностей может быть выявлено на основе асимптотических методов нелинейной механики (сингулярных возмущений, усреднения и др.). Оно сводится к наличию дополнительных слагаемых в уравнениях движения Эйлера некоторого фиктивного твердого тела. Анализу пассивных движений твердого тела в среде с сопротивлением посвящен ряд работ [1—5]. Проблема управления вращениями квазитвердых тел (тело содержит полость, целиком заполненную вязкой жидкостью, действие которой учитывается внутренним моментом сил вязкой жидкости) с помощью сосредоточенных моментов сил, имеющая значение для приложений, менее исследована.
Ниже рассматривается задача квазиоптимального торможения вращений динамически несимметричного тела. На твердое тело действует тормозящий момент сил линейного сопротивления среды. Управление вращениями производится с помощью момента сил, ограниченного по модулю. Компоненты управляющих моментов представлены в виде произведений гЬщ1, * = 1, 2, 3, где выражения Ь, I = 1, 2, 3, имеют размерность момента сил, е — малый параметр, щ ~ 1, I = 1, 2, 3 — безразмерные управляющие функции, подлежащие определению. Отметим, что в [6] рассмотрена аналогичная задача при Ь1 = Ь2 = Ь3 = Ь Ф 0.
В монографии [7] получены приближенные решения возмущенных задач оптимального торможения вращений твердого тела относительно центра масс, имеющих приложения в динамике космических аппаратов. Исследованы задачи стабилизации тел с внутренними степенями свободы. Изучено торможение вращений твердого тела, близкого к сферическому, под действием момента сил линейного сопротивления среды.
1. Постановка задачи. Рассматривается динамически несимметричное твердое тело, моменты инерции которого удовлетворяют неравенствам А1 > А2 > А3. На основе подхода [7] уравнения управляемых вращений в проекциях на оси, связанной с твердым телом системы координат (уравнения Эйлера), записываются в виде [2, 3, 7]
6 + ю х С = М" + Мг. (1.1)
* Работа выполнена при финансовой поддержке третьего совместного конкурса Государственного фонда фундаментальных исследований Украины и РФФИ (грант № 953.1/010).
Здесь G — кинетический момент тела, ы = (юь ю2, ю3)т — вектор абсолютной угловой скорости; J = diag(A1, А2, А3) — постоянный тензор инерции тела, М" — вектор управляющего момента сил; Мг — вектор момента сил диссипации.
Кинетический момент определяется известным образом
0 = / ы, в = (ОьО2,О3 )т, в1 = А , 1 = 1,2,3, О = |в| = О + О22 + О32)1/2. (1.2) В работе предполагается, что момент сил диссипации пропорционален кинетическому моменту
Мг = -Х' в. (1.3)
Здесь А' — постоянный коэффициент пропорциональности, зависящий от свойств среды. Сопротивление среды предполагается слабым порядка малости е : X' = гХ. При этом проекции момента на главные оси инерции тела являются величинами еХО1, , = 1, 2, 3, е ^ 1 [2, 3].
Величина управляющего момента сил М" предполагается малой порядка е . Компоненты управляющих моментов представлены в виде произведений постоянных Ъ, имеющих размерность момента сил, на малый параметр е и безразмерные управляющие функции и,, подлежащие определению:
МЦ = 6 Ьц. (1.4)
Произведения б Ь, , = 1, 2, 3, характеризуют эффективность системы управления по соответствующей оси связанной системы координат.
Уравнения управляемого движения (1.1) в проекциях на главные центральные оси инерции в данной постановке задачи имеют вид
01 + О3ю2 - О2ю3 = еЬ1и1 - еХОь
О + С1ю3 - С3ю1 = еЬ2и2 - еХО2, (1.5)
О3 + С2ю1 - С1ю2 = еЬ3и3 - еХО3.
Для системы (1.5) требуется найти оптимальные управления и ( = ц ю1; ю2, ю3), , = 1, 2, 3, которые удовлетворяют ограничению
ц2 + щ + и32 < 1 (1.6)
и переводят систему (1.5) за минимальное время из произвольного начального состояния ы(?0) = ы0 в состояние покоя ы(Т) = 0.
В случае Ь1 = Ь2 = Ь3 = Ь (Ь > 0), где параметр Ъ может быть функцией времени, оптимальное управление имеет вид и = в/ О, где и — вектор, проекции которого на главные оси инерции тела суть ц1; ц2, и3 [7, 8]. Если величины Ъ, близки, то указанное управление можно считать квазиоптимальным [7, 9].
Для прикладных задач представляет интерес исследование движения твердого тела с заданным законом управления достаточно простого вида [7, 9]:
МЦ = еЪц, ц = -0, , = 1, 2, 3. (1.7)
О
Подставляя (1.7) в (1.5), получим замкнутую систему уравнений управляемого движения в проекциях на главные центральные оси инерции, поэтому кинематические соотношения не выписываем.
2. Решение задачи квазиоптимального торможения. Домножим первое уравнение (1.5) с учетом (1.7) на 01, второе — на 02, третье — на 03 и сложим. Получим скалярное произведение (О • в. Учитывая
свойство производной скалярного квадрата в • в = й |в|2/(2 сИ) = ОО, после его деления на О получим скалярное уравнение
3
О = -еХО £ Ь02 (2.1)
0 1=1
Домножим первое уравнение (1.5) с учетом (1.7) на ю1; второе — на ю2, третье — на ю3 и сложим. Согласно известному интегралу энергии, кинетическая энергия твердого тела определена
2 2 2
равенством Н = (Л1а1 + Л2ю2 + Лзюз )/2. В результате имеем выражение для производной от кинетической энергии
3
Н = -2гХН - £ ^ЬЛ ю2. (2.2)
О I=1
Рассмотрим невозмущенное движение (б = 0). При отсутствии возмущений вращение тела будет движением Эйлера—Пуансо. Переменные О, Нявляются постоянными, а углы Эйлера ф, у, 0 — некоторыми функциями времени Медленными переменными в возмущенном движении (е ф 0) будут О, Н, а быстрыми — углы Эйлера. В рассматриваемой постановке задачи торможения вращений, как отмечено выше, угловые переменные отсутствуют; они могут быть вычислены на основе совместного интегрирования динамических и кинематических уравнений.
Рассмотрим движение при условии 2НЛ1 > О > 2НЛ2, соответствующем траекториям вектора кинетического момента, охватывающим ось наибольшего момента инерции . Введем величину
,2 _ (Л2 - Лз)[2Н(/)Л - О2(0] 2
(Л1 - Л2)[О2(0 - 2Н(ОЛз]
к2 (0 < к2 < 1), (2.3)
являющуюся в невозмущенном движении постоянной — модулем эллиптических функций, описывающим это движение, однозначно связанным с величиной кинетического момента О и кинетической энергией Н.
Для построения усредненной системы первого приближения подставим функции ю;, I = 1, 2, 3, из невозмущенного движения Эйлера—Пуансо [10] в правую часть уравнений (2.1), (2.2) и проведем усреднение по периоду этого движения. При этом для медленных переменных О, Н сохраняются прежние обозначения. В результате для т = st е [0, Т] получим
^ = -2ХН к (Л2 - Лз)Ек) + Ь2 (Л1 - Лз)Щк) + Ьз (Л1 - Л2)(к2 - W(k)),
а т Л (к) [ К (к) }
^ = -ХО - -1-|ь1 Л1 (Л2 - Лз)Ек) + ЬЛ (Л1 - Лз) W(k) + ЬзЛз (Л, - Л2))к2 - W(k))}, (2.4)
а т Л (к) [ К (к) }
Л (к) = Л1 (Л2 - Лз) + Лз (Л1 - Л2 )к2, W (к) = 1 - ^
К (к)
Здесь Х(к) и Е(к) — полные эллиптические интегралы первого и второго рода соответственно [11]. Из первого уравнения (2.4) следует, что под влиянием сопротивления среды и управляющего момента происходит эволюция кинетической энергии тела Н. Выражение, стоящее в фигурных скобках в правой части первого уравнения (2.4), положительно (при Л1 > Л2 > Лз), так как справедливы неравенства [11]
(1 - к2)К < Е < К. (2.5)
2
Поэтому аН/ат < 0, поскольку Н > 0, т.е. переменная Н строго убывает для любых к е [0,1]. Аналогично показывается, что кинетический момент тоже убывает.
3. Исследование квазистационарных движений. Дифференцируя выражение для к2 (2.3) с учетом (2.4), получим дифференциальное уравнение
ак2 = 1 кк2 Ек) + Ь2(к2 - 1^(к) + Ь^(к) - к2)1. (3.1)
ат О { К (к) ]
Заметим, что уравнение (3.1) при О ^ 0 имеет существенную особенность.
Значению к2 = 1 отвечает равенство 2НЛ2 = О2, соответствующее сепаратрисе для движения Эйлера—Пуансо. Уравнение (3.1) описывает усредненное движение конца вектора кинетического момента G на сфере радиуса О. Отметим, что на эволюцию к2 оказывает влияние как управ-
ляющий момент, так и момент сил диссипации. Уравнение (3.1) для £2(х) допускает стационар—, причем кроме к— = 0 и к—
ные точки к *, причем кроме к* = 0 и к\ = 1 также имеют место значения
к* = (( - Ьъ )Ж(к—)
Е(к—)
(Ь1 - Ь+ - Ь3)
(3.2)
В случае квазистационарных движений твердого тела, которые отвечают стационарным точкам к*2, движение вектора G будет в общем случае суммироваться только из движения по траектории Эйлера—Пуансо и уменьшения длины вектора G с течением времени.
При каждом значении к—, отличном от 0 и 1, можно ввести обозначения для безразмерных величин
Х1
Ь1
Ь2
Х2 = ~т
(3.3)
и переписать выражение (3.2) в виде к* = (Х2 - 1}^(к*)
Е(к—)
(Х1 -Х2+ (Х2 - 1)
К(к—)
Отсюда следует
Х1 = X 2 "
Ж(к1) + к1 Дк2) + к— к— - Ж(к—) --+
к—Р (к*2)
к—-Р (к*2)
(3.4)
(3.5)
2 2 2
где Е(к—) = Е(к—)/К(к—). Выражение (3.5) представляет собой линейную зависимость, для которой должны выполняться условия х1 > 0 и х
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.