МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА <2 • 2008
УДК 532.516-2
© 2008 г. С. М. ДРОЗДОВ
КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ-СТОКСА, ИНДУЦИРОВАННЫЕ КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКОЙ ФОРМОЙ ГРАНИЦ ДВУМЕРНОЙ ОБЛАСТИ ТЕЧЕНИЯ
В бесконечном двумерном слое с квазипериодической формой границ численно получены стационарные квазипериодические решения уравнений Навье-Стокса в диапазоне чисел Рей-нольдса 0 < Яе* < 200. Применен спектрально-конечно-разностный метод расчета, основанный на представлении квазипериодических решений в форме сходящихся двойных рядов Фурье. Проведено исследование свойств таких решений, особенностей их спектра, показаны принципиальные отличия от периодических решений. Обсуждена возможность применения квазипериодических решений для моделирования течений во фрактальных слоях.
Ключевые слова: пространственная квазипериодичность, фрактальный слой, численное моделирование течений, кратные ряды Фурье.
В однородном поле внешних сил картина стационарного течения жидкостей или газов при малых числах Рейнольдса (Яе ^ 1) определяется геометрией области. В частности, линии тока жидкости, движущейся в бесконечном слое под действием внешнего постоянного градиента давления О, повторяют форму поверхностей, ограничивающих слой. Если поверхности плоские, то возникает плоское течение Пуазейля, зависящее только от одной переменной г. Если поверхности имеют периодическую (волнообразную) форму с длиной волны X, то при Яе ^ 1 реализуется периодическое по пространству течение с тем же периодом X. Теоретически такая же ситуация должна иметь место и в случае квазипериодических границ слоя. Первичная мода течения, определяемая формой границ слоя, должна существовать при любых числах Яе, причем при Яе ^ 0 она устойчива и единственна в силу единственности решений не особой краевой задачи для линейной системы, в которую превращаются уравнения Навье-Стокса в пределе Яе ^ 0. С возрастанием Яе > 1 в уравнениях Навье-Стокса становятся существенными нелинейные инерционные члены и, при некотором критическом числе Яе = Яе1, первичное решение теряет устойчивость с рождением либо других ветвей стационарных решений, либо заменяется на нестационарное течение.
Главная цель настоящей работы состоит в том, чтобы получить и исследовать стационарные квазипериодические решения уравнений Навье-Стокса, индуцированные квазипериодической формой границ двумерной области течения. Прикладная задача работы - попытка применить принцип пространственной квазипериодичности для моделирования течений в тонких фрактальных слоях и других видах пористых сред.
Исторически одной из первых простейших моделей течений жидкостей и газов сквозь пористые среды была модель прямых капилляров (каналов), где использовался закон закон Дарси - линейной связи между перепадом давления и расходом жидкости сквозь среду [1]. Однако, с точки зрения гидродинамики, эта модель далека от реальной пористой среды, важнейшим свойством которой являются пространственная нерегулярность и чередование расширений и сужений внутренних каналов. Кроме того, она совершенно не описывает факт возрастания сопротивления при появлении инерционных эффектов Яе >1.
С развитием численных методов появилась возможность прямого численного моделирования двумерных и даже трехмерных течений в порах. Разумеется, точно воспроизвести все хитросплетения внутренней геометрии пористой среды невозможно и, может быть даже не нужно. Задача состоит в том, чтобы построить максимально простую геометрию, которая демонстрировала бы основные качественные и количественные характеристики течений в пористых средах. В качестве такой модели было рассмотрено обтекание упорядоченных периодических систем твердых тел в форме прямоугольников или дисков для плоской и сфер для пространственной геометрии пористой среды [2-4]. Такой подход оказался более плодотворным и близким к реальности. В частности, получены отрывные эффекты и существенное возрастание сопротивления при Яе > 1. Однако принцип строгой периодичности не характерен для реальных пористых структур. Бесконечная (или очень протяженная) область течения здесь заменяется на бесконечную цепочку абсолютно одинаковых фрагментов. Канал с квазипериодическими границами является, по-видимому, первым примером неограниченной области с нерегулярной формой, поэтому важно и интересно понять, как квазипериодическая форма границ области отражается на течении жидкости.
1. Постановка задачи и математическая модель течения
Рассматривается двумерное стационарное течение жидкости в двумерной области (фиг. 1) бесконечной протяженности по координате х и ограниченной по координате у
криволинейными поверхностями у1 (х) и у2 (х) (штрихом обозначены размерные величины). Предполагается, что функции у1 (х) и у2 (х) и их первые производные непрерывны и ограничены на всей действительной оси, а зазор 5' между поверхностями слоя никогда не исчезает
5'(х) = у2( х) - у1(х)> 0
(1.1)
< у!) = lim
L
L\y\(x)dx = 0; <у2) = Ит^ L(x)dx
о' v о
Плотность р и вязкость ц жидкости постоянные. Течение в слое вызвано приложенным извне градиентом давления, средняя величина которого есть
G = lim fX У> - x + L' У> | = const
Для приведения уравнений Навье-Стокса к безразмерному виду геометрические размеры нормируются на средний зазор в слое Н (1.1) х = х'/Н, у = у'/Н, давление - на масштаб 8р = ОН, а скорости - на масштаб
^ЧрН = он2
12 ц = 12 ц
Sv = 7P77 = (1.2)
L
Без ограничения общности давление может быть представлено в виде градиентного члена и ограниченной функции P(x, y): P = Gh[P(x, y) - x]. В итоге система уравнений Навье-Стокса примет вид
Re
д u du u z— + v-zr-dx dy
1211-dp\ + d x
^2 л2 ^
d u + d u
dx2 dy2
Re
du du u + Ut—
dx dy_
= - 12d-p + d y
22 d_--+d_uu
dx2 dy2
(1.3)
d u + d U = о
dx dy
Re =
= P-— = pGh3 12ц2
На твердых поверхностях у1(х) и у2(х) ставятся условия прилипания, и в одной внутренней точке области фиксируется давление. Все функции системы (1.3) остаются непрерывными и ограниченными внутри области при любом х е [-«>; Одной из важнейших характеристик течения является интегральный поток через поперечное сечение слоя
q
y2 з
s-h J udy = s-hQ = GhQ; R = Q
y1
Q
(1.4)
где Q - безразмерный поток, а его обратная величина Я есть безразмерный коэффициент сопротивления слоя. Масштабы (1.2) выбраны так, что для слоя, ограниченного двумя параллельными плоскостями (течение Пуазейля), Q = Я = 1. Наряду с формальным числом Яе (1.3) используется расходное число Рейнольдса Яе* = Q ■ Яе.
С помощью замены переменных (х, у) ^ (!;, п) сложная внутренняя область слоя приводится к прямоугольной полосе < < 0 < п < 1
у - У1 (х) у - У1(х)
q = x: п
[y2(x) - yi(x)]
S( x)
(1.5)
После замены переменных (1.5) в (1.3) и умножения уравнения неразрывности на 5©, а уравнений импульса - на 52(^) система уравнений Навье-Стокса примет вид
Re
2 du du
о u----- + 5(u-F1 u) =т— dq 1 dn_
1202 (1 -^ ) +125 F1^ +
2 d2u du d2u 2d2u
+ (1 + F1) — + F2^ -25F1 dnfö +
Re
dn
2 du du о u---+ o(U-F1u)--—
dq 1 dn
dq2
= -12 5 dn + dn
(1.6)
, M , d2U „ du OSl7 d2U s2d2U
+ (1 + F1) —- + F2----25 F1=—-T--7 + 5 —-
1 dn2 2 dn 1 dndq
du f du + о du = о
dn 1 dn dq
dq2
c граничными условиями n = 0: u = u = 0 , P(0, 0) = 0; n = 1: u = u = 0.
В (1.6) введены функциональные множители
Fx = У1 + n§; = 2 5 + 2n52- ft 5 - n55
Точка над функцией означает производную по аргументу. Выражение для расхода У 2 1
имеет вид Q = J u (x, y)dy = J u (£, n)5©dn = const.
y 1 0
2. Периодическое течение в канале периодической формы. Пусть поверхности, ограничивающие слой - периодические функции с одинаковым периодом X = 2n/s: У1© = У1Й ± X), У2(^) = У2(^ ± X), 5© = 5(£ ± X).
Эти функции представимы в виде сходящихся рядов Фурье
У1(^) = £ Anexp(ins£), У2ф = £ Bnexp(ins£) (2.1)
n = —го n = —го
X
<У1>n = An = J- JУ1(^) exP (—ins^)d^
0
к
<У2)n = Bn = 1JУ2Фexp(-¿яф4; Cn = (5)„ = An - Bn
X.
0
В определенном диапазоне чисел Рейнольдса 0 < Яе* < Яе* существует и устойчиво
стационарное периодическое решение уравнений (1.6) с тем же периодом X = и оно тоже представимо в виде сходящихся рядов Фурье:
^ X
«(Ъ,П) = X иехр(ins£,); и(п)„ = х-1и(Ъ,П)ехр(йЪ, (2.2)
п = -го 0
Остальные компоненты и, Р решения (1.6) и их коэффициенты Фурье Уп, Рп имеют аналогичное представление. Подстановка (2.1) и (2.2) в (1.6) дает бесконечную систему зацепляющихся обыкновенных дифференциальных уравнений относительно комплексных амплитуд гармоник. Все члены системы (1.6) представляются в явном виде через коэффициенты Фурье (2.1) и (2.2). Поскольку такой подход к решению уравнений Навье-Стокса хорошо известен [5], запись системы амплитудных уравнений можно опустить.
Для возможности численного решения полученной амплитудной системы во всех рядах оставляются члены порядка не выше N > 1. Корректность обрывания рядов следует из их быстрой сходимости при достаточно большом N. В частности, при сделанных предположениях ряды (2.1) сходятся не хуже, чем 1/п3, а если функции у^х) и у2(х) аналитические, то сходимость рядов (2.1), (2.2) экспоненциальная.
Краевая задача для системы уравнений относительно комплексных амплитуд гармоник решалась конечно-разностным методом с использованием полностью неявной схемы центральных разностей второго порядка точности. В расчетах число учитываемых гармоник по каждой компоненте варьировалось от N = 10 до 70, причем установлено, что во всех исследованных случаях достаточно N = 15. По вертикальной координате п проводилось равномерное разбиение на 50, 100 шагов.
С целью последующего сравнения периодических и квазипериодических решений были выполнены расчеты течения в слое с гармонической формой поверхностей у^х)
Я
3
2
0 80 Яе* 160
Фиг. 2. Зависимости коэффициента сопротивления Я от числа Яе*: 1,2 - периодическое течение с X = 2 при йХ = 0 и йХ = Я/2; 3, 4 - периодическое течение с X = 242 при йХ = 0 и йХ = Х/2; 5 - квазипериодическое течение д1
Фиг. 3. Спектр трения на стенке слоя (п = 0) при Яе* = 151: 1 - периодическое течение с X = 2, 2 - квазипериодическое течение д1
и у2(х). Рассмотрено два значения длины волны: Х1
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.