ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2013, том 451, № 3, с. 278-282
= МЕХАНИКА
УДК 539.3:624.131
КВАЗИСТАЦИОНАРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА В СЫПУЧЕМ ГРУНТЕ ПРИ РАЗВИТОЙ КАВИТАЦИИ
© 2013 г. В. Л. Котов, В. В. Баландин, А. М. Брагов, Вл. Вл. Баландин
Представлено академиком С.С. Григоряном 11.02.2012 г. Поступило 01.03.2012 г.
БО1: 10.7868/80869565213210081
Изучение процессов взаимодействия твердых тел с грунтовыми средами представляет собой комплексную проблему, требующую для своего решения привлечения экспериментальных [1—4], численных [4—5] и теоретических методов на основе известных моделей грунтов [6—10]. Существующие аналитические и полуэмпирические решения удовлетворительно описывают квазистационарное проникание конусов в грунтовые среды [6—8]. Однако для тел более сложной формы (в частности, сферической) решение задачи затрудняется отрывом потока грунтовой среды от криволинейной поверхности проникающего тела. Для решения данной задачи требуется широкий круг экспериментальных исследований, результаты которых необходимы также для верификации приближенных теоретических и расчетных моделей [4, 10, 11].
В экспериментах по прониканию конусов в песок [1] было выявлено наличие критической скорости (Кк ~ 100 м/с), при которой сила сопротивления претерпевает разрыв, связываемый с переходом от квазиупругого к неупругому взаимодействию ударников с песком. В работе [2] приведены результаты измерения конечных глубин внедрения стальных шариков в сухой песок. На зависимости глубины проникания от скорости удара выделены характерные интервалы изменения; наличие одного из них связывается со скоростью звука в песке (~120 м/с).
Ранее [4] были представлены экспериментальные результаты определения сил сопротивления, действующих на полусферический ударник на нестационарной стадия внедрения в сухой песок. Однако ограниченные размеры контейнера с грунтом из-за отражений от стенок контейнера волн нагрузки не позволили измерить интегральные силы на квазистационарном участке внедре-
Научно-исследовательский институт механики Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского
ния. Существующие экспериментальные работы других авторов [11] в основном посвящены изучению проникания конических тел в пластичные глинистые среды. В целом можно отметить, что вопрос о движении сферических тел в песчаных средах экспериментально и теоретически исследован недостаточно. Данная работа призвана восполнить этот пробел.
ПОСТАНОВКА ЭКСПЕРИМЕНТА
Для определения основных закономерностей проникания сферических ударников в сухой песок проводили серию экспериментов на установке, описанной в [12]. Для разгона ударников до 350 м/с использовали газовую пушку калибра 20 мм, регистрация процесса соударения производилась цифровой высокоскоростной камерой Н8РСрго. В опытах использовали цилиндрические ударники диаметром 19.8 мм и общей длиной 100 мм с полусферическими оголовками (радиус полусферы 10 мм). Ударники с массами 60 ± 0.5, 80 ± 0.5 и 96 ± 0.5 г изготавливались из стали с НЯС40. В качестве мишени использовали сухой песок естественного состава (влажность менее 0.1%), засыпанный в стальной контейнер. Перед экспериментом песок просеивали для удаления частиц размерами более 1 мм и менее 0.1мм. Средняя плотность песка составляла 1750 ± 10 кг/м3. Контейнер представляет собой стальной цилиндр с внутренним диаметром 130 мм и длиной 350 мм. Толщина его стенок и дна составляет 5 мм. Для предотвращения высыпания песка его свободная поверхность фиксировалась с помощью полиэтиленовой пленки толщиной 0.01 мм.
В экспериментах регистрировалась зависимость глубины проникания от времени при скоростях внедрения ударников V* в сухой песок от 50 до 350 м/с. Погрешность определения перемещения заднего торца ударника составляла Ах* = = 0.15 мм.
Внешний вид ударников после испытаний (рис. 1) свидетельствует о том, что с ростом скорости удара (V* > 100 м/с) происходит дробление частиц песка. Раздробленные частицы песка затем компактируются на лобовой части ударников, образуя присоединенный конус. В экспериментах не было обнаружено следов взаимодействия грунта с цилиндрической поверхностью ударника и частью примыкающей к ней полусферы. Это свидетельствует о кавитационном характере обтекания используемых ударников сухим песком. Вероятно, это также приводит к изменению параметров, описывающих закон проникания.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
Уравнение движения задавалось в форме
-х = а (х )2, (1)
где х, х, х — ускорение, скорость и глубина внедрения ударника, а — неизвестный коэффициент. Момент начала интегрирования I = 0 уравнения (1) выбирался так, чтобы исключить влияние начальной нестационарной стадии внедрения, и приблизительно соответствовал моменту погружения головной части ударника в мишень. Скорость V0 и координата х0 в момент времени I = 0 также являются неизвестными и подлежат определению V не равно скорости удара).
При начальных условиях х^ = 0) = ¥0, х(1 = 0) = х0 имеем следующие выражения для глубины и скорости проникания:
хЦ) = 11п (а¥0( + 1) + х0, х(0 = —V—. (2) а аУ01 +1
Неизвестные величины а, V0, х0 представлены далее в виде вектора коэффициентов © = [а,К0, х0 ]т.
Компоненты вектора © определяли итерационно методом Ньютона из системы уравнений
Дх^ = ХкА©к+1, к = 0,1,2,...,
Дх = {х* - х,}, X = \~х' + , ^, 1},
[а V, \ (3)
, = 1, 2,..., И, © к+1 = © к + Д© к+1, |Д© < б,
где х* и XI — соответственно значения глубин проникания, полученные в эксперименте и по формуле (2) в моменты времени I ,, N > 4 — число зарегистрированных в экспериментах моментов времени, е — требуемая точность, к — номер итерации.
Для решения переопределенной системы уравнений (3) относительно компонент вектора
приращений А© = [Да, АК0, Дх0]т на каждой итерации применялся метод наименьших квадратов
Д© = (ХтХ)-1 Хт Дх. (4)
Погрешности определения компонент вектора
коэффициентов 0 = [а,У0, х0 ]т также определяли в результате решения системы уравнений (4) при
А х = ±А х *, где Дх* — погрешность эксперимента. Решением считались такие величины А© — интервалы изменения вектора параметров ©, которые при подстановке в (2) давали среднеквадратичное возмущение решения не более (Дх*)2.
ЧИСЛЕННАЯ ВЕРИФИКАЦИЯ
Для верификации представленной методики проводили численные расчеты проникания в песчаный грунт ударника массы т с начальной скоростью V*. В расчетах определялся временной интервал, на котором изменение силы сопротивления пропорционально квадрату скорости внедрения. Для этого необходимо было оценить длительность нестационарной стадии изменения силы сопротивления внедрению, а также время, начиная с которого будет существенным влияние на силу сопротивления волн сжатия, отраженных от стенок контейнера.
Численные расчеты проводили с использованием математической модели динамики грунтовой среды Григоряна [13], которая записывается в цилиндрической системе координат в виде системы дифференциальных уравнений, выражающих законы сохранения массы, импульса и максимальной плотности, достигнутой в процессе активного нагружения грунта, а также уравнений теории пластического течения с условием пластичности Мизеса [4, 5, 10]. Замыкается система конечными соотношениями [13], определяющими динамическую сжимаемость и сопротивление сдвигу грунтовой среды:
p = Яр,р*)Н(р* - р)Н(Р0 - р),
ij ^ 2 2 „ (5) SijS < - ат, ат =f2 (p),
где H — функция Хевисайда, р0, р и р* — начальная, текущая и максимальная плотность, достигнутая в процессе нагружения, p — давление, стт — предел текучести, по повторяющимся индексам производится суммирование.
Контактный алгоритм "непроницаемости" по нормали со "скольжением по касательной с сухим трением" формулируется в соответствии с законом трения [14]:
us = u
qs = qs =
, qs = -qs, qs, Ы ^ Ы,
k\q^sign(qs), \qs\ > k\q^,
(6)
где иа, да — компоненты векторов скорости перемещений и контактного давления в местном координатном базисе (а = s, %), s — направление касательной, 2, — нормали; к — коэффициент трения скольжения; знаки один и два штриха обозначают соответствующие величины по разные стороны контакта. Применение условия (6) необходимо при расчете проникания сферического тела, для которого экспериментально показано наличие пе-
рехода застойной зоны в окрестности лобовой точки ударника к скольжению с образованием кавита-ционной полости за счет срыва потока грунта.
Осесимметричные расчеты проводили на основе модифицированного метода Годунова [5] в постановке, соответствующей натурному эксперименту, при массе ударника т = 80 г и скоростях удара V* = 100, 150 и 200 м/с. Функции /1 и /2 модели грунтовой среды Григоряна (5) принимались в виде
fi(P> - ^.
(1 - be) fi(p)
e -1 -р0, Р
№
1 + Ир/^м
что при значениях параметров р0 = 1.75 г/см3, а = = 400 м/с, Ь = 2.3, ст0 = 0, | = 1.14, стМ = 0.275 ГПа соответствует среде типа песка [3, 4, 15], к = 0.4. В расчетах получено, что длительность неста-
п
ционарной стадии —* = —, где Я — радиус цилин-
V *
дрической части ударника. Влияние стенок жесткого контейнера сказывается при I = 6?*и 9?*при ¥*= 100 и 200 м/с соответственно.
На рис. 2а пунктирной, штриховой и сплошной линиями приведены расчетные безразмерные сила
сопротивления внедрению — (—* = 0.5pV*2пЯ2),
скорость проникания — (У*= 200 м/с) и глубина V *
внедрения — в зависимости от безразмерного вре-
х*
t
мени —. Величина х* соответствует значению глу-
—*
бины внедрения с начальной скоростью 200 м/с на
момент времени — = 9, искомый интервал внед-
—*
а, 1/м Ф
14
т О 80 г
■ 96 г
А 60 г
*
20 120 220 V0, м/с
Рис. 3. Зависимость коэффициента а от V) для ударников различной массы.
рения 1 < - < 9 или 50—450 мкс. Темными маркерами выделены значения глубины проникания, которые в качестве "экспериментальных" использовали для определения коэффициентов уравнения движения (1), светлыми маркерами — соответствующие значения скорости и силы сопротивления.
На рис. 2б линиями 1,2 и 3 приведены расчетные
' Г
безразмерные силы сопротивления внедрению
ч
2 2 I
Ч = 0.5р V пЯ I в зависимости от скорости проникания, отнесенной к V* = 100, 15
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.