научная статья по теме L 2-ОПТИМИЗАЦИЯ И ФИКСИРОВАННЫЕ ПОЛЮСА ДЛЯ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ С ОБОБЩЕННЫМИ ЦИФРОАНАЛОГОВЫМИ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЯМИ Автоматика. Вычислительная техника

Текст научной статьи на тему «L 2-ОПТИМИЗАЦИЯ И ФИКСИРОВАННЫЕ ПОЛЮСА ДЛЯ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ С ОБОБЩЕННЫМИ ЦИФРОАНАЛОГОВЫМИ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЯМИ»

Автоматика и телемеханика, № 1, 2014

© 2014 г. Б.П. ЛЯМПЕ, доктор-инженер (Университет Росток, ФРГ), Е.Н. РОЗЕНВАССЕР, д-р техн. наук (Государственный морской технический университет, Санкт-Петербург)

^-ОПТИМИЗАЦИЯ И ФИКСИРОВАННЫЕ ПОЛЮСА ДЛЯ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ С ОБОБЩЕННЫМИ ЦИФРОАНАЛОГОВЫМИ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЯМИ

Рассматривается задача Ь2-оптимизации стандартной импульсной системы при использовании обобщенного преобразователя цифра-аналог произвольного порядка. Показывается, что решение задачи сводится к проблеме минимизации вырожденного квадратичного функционала, когда решение не единственно. Приводится полиномиальная процедура построения множества оптимальных каузальных дискретных регуляторов и устанавливаются некоторые важные для приложений свойства ¿2-оп-тимальной системы.

1. Постановка задачи

1. Наиболее распространенными критериями оптимизации импульсных (ББ) систем являются Н2- и ¿2-нормы. Проблеме ^-оптимизации ББ систем посвящена обширная литература (см. монографии [1-5] и цитируемую там литературу).

Проблеме ¿2-оптимизации, частным случаем которой является задача слежения, также посвящено значительное число работ (см. например [3-16]). Наиболее известными подходами к рассмотрению различных аспектов проблемы ¿2-оптимизации являются метод лифтинга [2], метод гибридного пространства состояний [17] и метод РИ-оператора [18, 19]. В качестве альтернативы перечисленным методам решения задачи ¿2-оптимизации в работах [3-5] предложен частотно-полиномиальный метод, основанный на применении преобразования Лапласа в непрерывном времени и концепции параметрической передаточной матрицы (ППМ). Ниже этот метод будем называть методом ППМ. В [5] было установлено, что в многомерном случае применение метода ППМ к проблеме ¿2-оптимизации приводит к задаче минимизации вырожденного квадратичного функционала, и предложено специальное полиномиальное преобразование, позволяющее преодолеть это затруднение. Следует отметить, что во всех перечисленных выше исследованиях по ¿2-оп-тимизации ББ систем использовалось предположение о том, что в системе применяется скалярный экстраполятор нулевого порядка. В настоящей работе метод ППМ обобщается на случай применения многомерного обобщенного преобразователя цифра-аналог (ОЦАП) произвольного порядка, что существенно для практических приложений. Идеологически данная статья явля-

ется продолжением работы [20] и в ней сохранены все определения и обозначения из [20].

В статье на основе полученных общих соотношений устанавливаются важные для приложений общие качественные свойства ¿2-оптимальной системы и доказывается существование множества фиксированных полюсов, определяемых только свойствами непрерывных элементов ББ системы и не зависящих от характеристик экстраполятора, а также от характеристик входного сигнала.

В частности установлено следующее.

а. В рассматриваемой постановке задача ¿2-оптимизации является вырожденной.

б. В силу вырожденности ¿2-оптимальный регулятор является не единственным и существует множество ¿2-оптимальных регуляторов.

в. Независимо от конкретного выбора ¿2-оптимального регулятора, ¿2-оп-тимальный переходный процесс является единственным.

г. Практически всегда среди множества полюсов ¿2-оптимальной системы содержится подмножество фиксированных полюсов, не зависящих от вида ОЦАП и свойств входного сигнала. Это обстоятельство определяет некоторые ограничения на выбор непрерывных элементов оптимизируемой системы.

2. В статье рассматривается импульсная система, в которой многомерный непрерывный объект описывается уравнениями состояния

^ = Ау(1) + В1Х(1) + Вми(1), (1Л) *(*) = С^(1) + Бьи(1),

у (г) = ам у(г).

Здесь ь(Ь) - вектор состояния непрерывного объекта х х 1, х(г) - вектор входа I х 1, и(г) - вектор управления т х 1, у(Ь) - вектор выхода объекта п х 1, г(г) - вектор выхода системы г х 1. Кроме того, А, Бг, БN, Сг, СN, - постоянные матрицы соответствующих размеров.

3. Ниже пару постоянных матриц соответствующих размеров будем называть минимальной, если она полностью управляема или полностью наблюдаема. Далее предполагается, что пары А, BN и А, CN минимальны. Пусть

йл(з) = деЬ(зТх - А) = (з - згУ1 ... (в - злУх,

где 1Х - единичная матрица х х х, все числа Зг различны и иг + ■ ■ ■ + ил = х. Ниже везде используется предположение, что

(1.2) е^т = е3к т (г = к; г, к = 1,...,Л).

4. Предполагаем, что непрерывный объект (1.1) управляется цифровой управляющей машиной (ЦВМ), линеаризованная модель которой имеет вид

(1.3) ^ = у(кТ) (к = 0, ±1),

(1.4) аофк +-----+ арфк-р = Мк +-----+ вр^к-р,

р

(1.5) п(Ь) = ^ ]ц(Ь - кТ )фк-г, кТ <г< (к + 1)Т,

г=0

где Т - период квантования. Уравнение (1.3) - это стандартное уравнение аналого-цифрового преобразователя (АЦП). Уравнение (1.4) - это уравнение дискретного алгоритма управления (АЛГ). Кроме того, в (1.4) фк - векторы размеров д х1, аг, вг -постоянные матрицы д хд, д хп. Введем в рассмотрение полиномиальные матрицы д х д, д х п

а(() = ао + +-----+ ®р(р,

в(( )= во + вг( + •• + вр(р,

совокупность которых будем называть регулятором и обозначать через (а(£),в(С)). Ниже везде предполагается, что

(1.6) ао = 0.

При выполнении (1.6) регулятор (а((),в(()) будем называть каузальным. Известно, что реально могут быть осуществлены только каузальные регуляторы. Для каузального регулятора существует рациональная матрица

^(С ) = а-1(С )в(()

размера д х п, которую будем называть его передаточной матрицей.

5. Уравнение (1.5) - это уравнение ОЦАП порядка р. Предполагается, что фигурирующие в (1.5) тхд матрицы Нг(Ь) определены на интервале 0 < £ < Т и их элементы имеют на этом интервале ограниченную вариацию. С помощью матриц Ьг(Ь) можно построить т х д матрицы

т

Рг(в) = ! е-з1Нг(1)йг. о

При этом т х д матрицу

р

(1.7) м*) = Ее-гзт&(*)

г=о

будем называть передаточной матрицей формирующего элемента.

6. Введем в рассмотрение рациональные матрицы

К (в) = С1(з1х - А)-1В1, Ь(з) = С1(з1х - А)-1 Ем + Бь,

(1.8)

М (в) = См (вТх - А)-1В1, N (в) = См (вТх - А)-1 Ем,

имеющие размеры г х I, г х т, п х I, п х т соответственно. Тогда уравнениям непрерывного объекта (1.1) можно сопоставить операторные уравнения

г(г) = к (р)х(ь) + ь(р)п(г), (.) У(Ь) = м (р)х(Ь) + N (р)и(Ь),

где р = (1/(И. В совокупности уравнения (1.3)-(1.5) и (1.9) определяют стандартную ББ систему с ОЦАП, которую ниже будем называть системой Б.

7. Каузальный регулятор (а(С),в(()), при котором система Б асимптотически устойчива, будем называть стабилизирующим. Систему Б, для которой существует стабилизирующий регулятор, будем называть стабилизируемой. Пусть система Б асимптотически устойчива и входной сигнал х(Ь) таков, что при нулевой начальной энергии абсолютно сходится интеграл

с

J = J z'(t)z(t)dt,

где штрих - оператор транспонирования. Тогда число

№3 = \/7

будем называть ¿2-нормой системы Б. Если при входном сигнале х(Ь) абсолютно сходится преобразование Лапласа

Z W = / z(t)e-'dt

то из формулы Парсеваля [21] следует

je

(1.10) J = — í Z'{-s)Z{s)ds.

2nJ J

-je

Здесь и далее j = ■>/—1.

8. Используя введенные понятия и определения, можно сформулировать следующую задачу ^-оптимизации. Заданы матрицы A, B\, Bn, C\, Cn, Dl, матрицы hi(t) и период квантования T. Пусть система S стабилизируема. Требуется найти каузальный стабилизирующий регулятор (a0(Z),в0(Z)), при котором величина ¿2-нормы минимальна.

сс

2. Преобразование Лапласа выхода и его свойства

1. Цель данного раздела - построение преобразования Лапласа Z(в) выхода системы 5 г(Ь) при нулевой начальной энергии, когда при Ь < 0, к < 0 все непрерывные и дискретные переменные обращаются в ноль, и изучение его свойств, необходимых для дальнейшего.

Далее функции (матрицы) Ё(в) и Я(() будем называть ассоциированными, если они связаны соотношениями

(2.1) И(в) = Я(( )1с=е-вт, Я(() = Я(в)\-т=с. По построению

Ё(в) = Ё(в + ]ш), ш = 2п/Т.

Теорема 2.1. Пусть векторный входной сигнал х(Ь) является функцией ограниченной вариации и имеет абсолютно сходящееся преобразование Лапласа X(в). Тогда преобразование Лапласа Z(в) выхода г(Ь) при нулевой начальной энергии определяется формулой

(2.2) Z(в) = Ь(в)ф)Ём(в)Бмх(Т, в, 0) + К(в)Х(в),

где К(в),Ь(в),М(в(в) - передаточные матрицы (1.8) и

1 ™

Омх(Т,з,0) = - £ М{8 + кзш)Х{8 + к]ш).

к=-<х

Кроме того, в (2.2)

(2.3) Ём(в) = \Ёа(в) [Тп - Вм^(Т, в, 0)ТГ^(в)]-1.

Здесь

1 те

где

Dn^(T,s, 0) = - N(s + кзш)ф + kjw)

к=-те

Wd(s) = Wd(0\c=e-sT = a-i(s)f3(s),

a(s) = a0 + a\e-sT +-----+ ape-psT,

P(s)= во + fhe-sT + ••• + epe-psT ■

Доказательство теоремы 2.1 и последующих утверждений приведено в Приложении.

2. В [20] введена в рассмотрение ППМ системы S Wzx(s,t) от входа x(t) к выходу z(t), которая определяется формулой

(2.4) Wzx(s, t) = s, t)Ём(s)M(s) + K(s), где Ём(s) - матрица (2.3) и

те

(2.5) <pLli(T, s,t) = - £ L(s + kjuMs + kjjS;<

T

к=-те

и

Теорема 2.2. Изображение ^(в) связано с ППМ Шхх(8,Ь) формулой т

(2.6)

т

(И-

3. Введем в рассмотрение матрицу

0(з, а, в) =

1х - е-*теАт

—См

Охп 1м -Р(з)

—вТ„АТ

ее

¡М (в)

Оид

а(8)

где

т

¡м(в) = ^ е-г*Т

г=0

е-Ат Вм Ы(т )йт.

В [20] показано, что множество полюсов ППМ Шхх(8,Ь) (2.4) принадлежит множеству собственных чисел матрицы 0(8, а, (3).

4. В последующем изложении предполагается, что ряд

1)Х{Т,8,1) = - Х(8 + к:)ш)е

(в+к]ш)г

т

к=-ж

сходится при всех Ь и вектор

Бх(Т,(,Ь) = Бх(Т, 8, Ь)\е-зт=с

является рациональной функцией аргумента (. В [5] такие изображения X(в) названы псевдорациональными. Там же показано, что псевдорациональные изображения имеют широкие классы входных сигналов, в том числе произвольные сигналы конечной длительности. При сделанных предположениях при 0 < Ь <Т существует несократимое представление

(2.7)

Бх(Т, (, Ь) =

е ст

г=0_

¿х(0 :

где (х(С) - полином и ¡г(Ь) - известные функции. При £ = е яТ из (2.7) получаем

Бх (Т,8,Ь) = Бх (Т,(,Ь)\с=е-вт =

£ е-^т№

г=0_

(Ы«)

где (2.8)

(х (8) = (х(С)|С=е-.Т.

Далее везде предполагается, что полином (х (() не имеет корней в круге \ < 1. В этом случае функция (х (в) не имеет корней в полуплоскости И,е 8 > 0.

V

т

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком