Автоматика и телемеханика, № 1, 2014
© 2014 г. Б.П. ЛЯМПЕ, доктор-инженер (Университет Росток, ФРГ), Е.Н. РОЗЕНВАССЕР, д-р техн. наук (Государственный морской технический университет, Санкт-Петербург)
^-ОПТИМИЗАЦИЯ И ФИКСИРОВАННЫЕ ПОЛЮСА ДЛЯ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ С ОБОБЩЕННЫМИ ЦИФРОАНАЛОГОВЫМИ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЯМИ
Рассматривается задача Ь2-оптимизации стандартной импульсной системы при использовании обобщенного преобразователя цифра-аналог произвольного порядка. Показывается, что решение задачи сводится к проблеме минимизации вырожденного квадратичного функционала, когда решение не единственно. Приводится полиномиальная процедура построения множества оптимальных каузальных дискретных регуляторов и устанавливаются некоторые важные для приложений свойства ¿2-оп-тимальной системы.
1. Постановка задачи
1. Наиболее распространенными критериями оптимизации импульсных (ББ) систем являются Н2- и ¿2-нормы. Проблеме ^-оптимизации ББ систем посвящена обширная литература (см. монографии [1-5] и цитируемую там литературу).
Проблеме ¿2-оптимизации, частным случаем которой является задача слежения, также посвящено значительное число работ (см. например [3-16]). Наиболее известными подходами к рассмотрению различных аспектов проблемы ¿2-оптимизации являются метод лифтинга [2], метод гибридного пространства состояний [17] и метод РИ-оператора [18, 19]. В качестве альтернативы перечисленным методам решения задачи ¿2-оптимизации в работах [3-5] предложен частотно-полиномиальный метод, основанный на применении преобразования Лапласа в непрерывном времени и концепции параметрической передаточной матрицы (ППМ). Ниже этот метод будем называть методом ППМ. В [5] было установлено, что в многомерном случае применение метода ППМ к проблеме ¿2-оптимизации приводит к задаче минимизации вырожденного квадратичного функционала, и предложено специальное полиномиальное преобразование, позволяющее преодолеть это затруднение. Следует отметить, что во всех перечисленных выше исследованиях по ¿2-оп-тимизации ББ систем использовалось предположение о том, что в системе применяется скалярный экстраполятор нулевого порядка. В настоящей работе метод ППМ обобщается на случай применения многомерного обобщенного преобразователя цифра-аналог (ОЦАП) произвольного порядка, что существенно для практических приложений. Идеологически данная статья явля-
ется продолжением работы [20] и в ней сохранены все определения и обозначения из [20].
В статье на основе полученных общих соотношений устанавливаются важные для приложений общие качественные свойства ¿2-оптимальной системы и доказывается существование множества фиксированных полюсов, определяемых только свойствами непрерывных элементов ББ системы и не зависящих от характеристик экстраполятора, а также от характеристик входного сигнала.
В частности установлено следующее.
а. В рассматриваемой постановке задача ¿2-оптимизации является вырожденной.
б. В силу вырожденности ¿2-оптимальный регулятор является не единственным и существует множество ¿2-оптимальных регуляторов.
в. Независимо от конкретного выбора ¿2-оптимального регулятора, ¿2-оп-тимальный переходный процесс является единственным.
г. Практически всегда среди множества полюсов ¿2-оптимальной системы содержится подмножество фиксированных полюсов, не зависящих от вида ОЦАП и свойств входного сигнала. Это обстоятельство определяет некоторые ограничения на выбор непрерывных элементов оптимизируемой системы.
2. В статье рассматривается импульсная система, в которой многомерный непрерывный объект описывается уравнениями состояния
^ = Ау(1) + В1Х(1) + Вми(1), (1Л) *(*) = С^(1) + Бьи(1),
у (г) = ам у(г).
Здесь ь(Ь) - вектор состояния непрерывного объекта х х 1, х(г) - вектор входа I х 1, и(г) - вектор управления т х 1, у(Ь) - вектор выхода объекта п х 1, г(г) - вектор выхода системы г х 1. Кроме того, А, Бг, БN, Сг, СN, - постоянные матрицы соответствующих размеров.
3. Ниже пару постоянных матриц соответствующих размеров будем называть минимальной, если она полностью управляема или полностью наблюдаема. Далее предполагается, что пары А, BN и А, CN минимальны. Пусть
йл(з) = деЬ(зТх - А) = (з - згУ1 ... (в - злУх,
где 1Х - единичная матрица х х х, все числа Зг различны и иг + ■ ■ ■ + ил = х. Ниже везде используется предположение, что
(1.2) е^т = е3к т (г = к; г, к = 1,...,Л).
4. Предполагаем, что непрерывный объект (1.1) управляется цифровой управляющей машиной (ЦВМ), линеаризованная модель которой имеет вид
(1.3) ^ = у(кТ) (к = 0, ±1),
(1.4) аофк +-----+ арфк-р = Мк +-----+ вр^к-р,
р
(1.5) п(Ь) = ^ ]ц(Ь - кТ )фк-г, кТ <г< (к + 1)Т,
г=0
где Т - период квантования. Уравнение (1.3) - это стандартное уравнение аналого-цифрового преобразователя (АЦП). Уравнение (1.4) - это уравнение дискретного алгоритма управления (АЛГ). Кроме того, в (1.4) фк - векторы размеров д х1, аг, вг -постоянные матрицы д хд, д хп. Введем в рассмотрение полиномиальные матрицы д х д, д х п
а(() = ао + +-----+ ®р(р,
в(( )= во + вг( + •• + вр(р,
совокупность которых будем называть регулятором и обозначать через (а(£),в(С)). Ниже везде предполагается, что
(1.6) ао = 0.
При выполнении (1.6) регулятор (а((),в(()) будем называть каузальным. Известно, что реально могут быть осуществлены только каузальные регуляторы. Для каузального регулятора существует рациональная матрица
^(С ) = а-1(С )в(()
размера д х п, которую будем называть его передаточной матрицей.
5. Уравнение (1.5) - это уравнение ОЦАП порядка р. Предполагается, что фигурирующие в (1.5) тхд матрицы Нг(Ь) определены на интервале 0 < £ < Т и их элементы имеют на этом интервале ограниченную вариацию. С помощью матриц Ьг(Ь) можно построить т х д матрицы
т
Рг(в) = ! е-з1Нг(1)йг. о
При этом т х д матрицу
р
(1.7) м*) = Ее-гзт&(*)
г=о
будем называть передаточной матрицей формирующего элемента.
6. Введем в рассмотрение рациональные матрицы
К (в) = С1(з1х - А)-1В1, Ь(з) = С1(з1х - А)-1 Ем + Бь,
(1.8)
М (в) = См (вТх - А)-1В1, N (в) = См (вТх - А)-1 Ем,
имеющие размеры г х I, г х т, п х I, п х т соответственно. Тогда уравнениям непрерывного объекта (1.1) можно сопоставить операторные уравнения
г(г) = к (р)х(ь) + ь(р)п(г), (.) У(Ь) = м (р)х(Ь) + N (р)и(Ь),
где р = (1/(И. В совокупности уравнения (1.3)-(1.5) и (1.9) определяют стандартную ББ систему с ОЦАП, которую ниже будем называть системой Б.
7. Каузальный регулятор (а(С),в(()), при котором система Б асимптотически устойчива, будем называть стабилизирующим. Систему Б, для которой существует стабилизирующий регулятор, будем называть стабилизируемой. Пусть система Б асимптотически устойчива и входной сигнал х(Ь) таков, что при нулевой начальной энергии абсолютно сходится интеграл
с
J = J z'(t)z(t)dt,
где штрих - оператор транспонирования. Тогда число
№3 = \/7
будем называть ¿2-нормой системы Б. Если при входном сигнале х(Ь) абсолютно сходится преобразование Лапласа
Z W = / z(t)e-'dt
то из формулы Парсеваля [21] следует
je
(1.10) J = — í Z'{-s)Z{s)ds.
2nJ J
-je
Здесь и далее j = ■>/—1.
8. Используя введенные понятия и определения, можно сформулировать следующую задачу ^-оптимизации. Заданы матрицы A, B\, Bn, C\, Cn, Dl, матрицы hi(t) и период квантования T. Пусть система S стабилизируема. Требуется найти каузальный стабилизирующий регулятор (a0(Z),в0(Z)), при котором величина ¿2-нормы минимальна.
сс
2. Преобразование Лапласа выхода и его свойства
1. Цель данного раздела - построение преобразования Лапласа Z(в) выхода системы 5 г(Ь) при нулевой начальной энергии, когда при Ь < 0, к < 0 все непрерывные и дискретные переменные обращаются в ноль, и изучение его свойств, необходимых для дальнейшего.
Далее функции (матрицы) Ё(в) и Я(() будем называть ассоциированными, если они связаны соотношениями
(2.1) И(в) = Я(( )1с=е-вт, Я(() = Я(в)\-т=с. По построению
Ё(в) = Ё(в + ]ш), ш = 2п/Т.
Теорема 2.1. Пусть векторный входной сигнал х(Ь) является функцией ограниченной вариации и имеет абсолютно сходящееся преобразование Лапласа X(в). Тогда преобразование Лапласа Z(в) выхода г(Ь) при нулевой начальной энергии определяется формулой
(2.2) Z(в) = Ь(в)ф)Ём(в)Бмх(Т, в, 0) + К(в)Х(в),
где К(в),Ь(в),М(в(в) - передаточные матрицы (1.8) и
1 ™
Омх(Т,з,0) = - £ М{8 + кзш)Х{8 + к]ш).
к=-<х
Кроме того, в (2.2)
(2.3) Ём(в) = \Ёа(в) [Тп - Вм^(Т, в, 0)ТГ^(в)]-1.
Здесь
1 те
где
Dn^(T,s, 0) = - N(s + кзш)ф + kjw)
к=-те
Wd(s) = Wd(0\c=e-sT = a-i(s)f3(s),
a(s) = a0 + a\e-sT +-----+ ape-psT,
P(s)= во + fhe-sT + ••• + epe-psT ■
Доказательство теоремы 2.1 и последующих утверждений приведено в Приложении.
2. В [20] введена в рассмотрение ППМ системы S Wzx(s,t) от входа x(t) к выходу z(t), которая определяется формулой
(2.4) Wzx(s, t) = s, t)Ём(s)M(s) + K(s), где Ём(s) - матрица (2.3) и
те
(2.5) <pLli(T, s,t) = - £ L(s + kjuMs + kjjS;<
T
к=-те
и
Теорема 2.2. Изображение ^(в) связано с ППМ Шхх(8,Ь) формулой т
(2.6)
т
(И-
3. Введем в рассмотрение матрицу
0(з, а, в) =
1х - е-*теАт
—См
Охп 1м -Р(з)
—вТ„АТ
ее
¡М (в)
Оид
а(8)
где
т
¡м(в) = ^ е-г*Т
г=0
е-Ат Вм Ы(т )йт.
В [20] показано, что множество полюсов ППМ Шхх(8,Ь) (2.4) принадлежит множеству собственных чисел матрицы 0(8, а, (3).
4. В последующем изложении предполагается, что ряд
1)Х{Т,8,1) = - Х(8 + к:)ш)е
(в+к]ш)г
т
к=-ж
сходится при всех Ь и вектор
Бх(Т,(,Ь) = Бх(Т, 8, Ь)\е-зт=с
является рациональной функцией аргумента (. В [5] такие изображения X(в) названы псевдорациональными. Там же показано, что псевдорациональные изображения имеют широкие классы входных сигналов, в том числе произвольные сигналы конечной длительности. При сделанных предположениях при 0 < Ь <Т существует несократимое представление
(2.7)
Бх(Т, (, Ь) =
е ст
г=0_
¿х(0 :
где (х(С) - полином и ¡г(Ь) - известные функции. При £ = е яТ из (2.7) получаем
Бх (Т,8,Ь) = Бх (Т,(,Ь)\с=е-вт =
£ е-^т№
г=0_
(Ы«)
где (2.8)
(х (8) = (х(С)|С=е-.Т.
Далее везде предполагается, что полином (х (() не имеет корней в круге \ < 1. В этом случае функция (х (в) не имеет корней в полуплоскости И,е 8 > 0.
V
т
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.