Из истории естествознания
А. Л. АНДРИАНОВ
Л. В. КАНТОРОВИЧ КАК СОЗДАТЕЛЬ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
В данной статье рассмотрена история возникновения линейного программирования из конкретных задач экономики 1930-х гг. в контексте математических исследований Л. В. Канторовича (прежде всего, его работ по функциональному анализу). Особое внимание уделено первой публикации Канторовича на эту тему - работе 1939 г. «Математические методы организации и планирования производства», родившейся в результате решения так называемой «задачи фанерного треста». Проведена оценка этой и других довоенных работ Канторовича с современной точки зрения. Кроме того затронут ряд вопросов, касающихся исследований Леонида Витальевича 1940-1960-х гг., а также развития и применения методов, появившихся в работе 1939 г. Другая обсужденная в статье тема - история признания вклада Канторовича в экономическую науку. Сейчас его приоритет в создании линейного программирования бесспорен, однако так было не всегда. В связи с этим в статье освещены те сложности, с которыми пришлось столкнуться идеям линейного программирования и их автору на пути к признанию как на родине в СССР, так и в рамках мирового научного сообщества.
Ключевые слова: линейное программирование, Л.В. Канторович, оптимизация, разрешающие множители, фанерный трест.
Введение
Одно из отличий капиталистической экономики от социалистической состояло в том, что первая обладает естественным аппаратом, позволяющим определять цены и ренты на все виды товаров и услуг и наблюдать за тенденциями их изменений. Этим аппаратом являются рынки и биржи, считающиеся принципиально стихийными механизмами, параметры которых характеризуют эту экономику и не регулируются искусственно. В социалистической экономике, не обладавшей таким аппаратом, возникала необходимость в некоторых показателях, которые могли бы служить ориентирами при управлении ею. Требовалась разработка научных методов определения этих показателей.
Имелось еще одно важное отличие капиталистической экономики от социалистической. Для первой более характерна оптимизация работы одной отдельно взятой компании, а во второй чаще возникала задача оптимизации функционирования группы предприятий в составе целой отрасли или вообще всей системы взаимосвязанных объектов. Эти обстоятельства сыграли определенную роль в том, что модели и методы линейного программирования
© А. Л. Андрианов. ВИЕТ. 2009. № 4. С. 77-89.
(ЛП) впервые появились в СССР. Они оказались эффективным средством решения экономических задач, что способствовало их разработке в качестве инструмента проведения плановых расчетов.
Первые попытки использования математического и статистического анализа для решения экономических задач в нашей стране датируются 1910-1920-ми гг., когда появились работы Е. Е. Слуцкого 1 и А. А. Конюса 2 по моделям потребления, Г. А. Фельдмана по моделям роста 3, Н. Д. Кондратьева по «длинным циклам» 4, шахматный балансовый анализ экономики, выполненный в ЦСУ СССР 5, впоследствии математизированный и усовершенствованный В. В. Леонтьевым на материале экономики США 6, идея Л. П. Юшкова оптимальных подходов к понятию норматива эффективности 7, впоследствии развитая В. В. Новожиловым 8.
Первые исследования по ЛП можно отнести к 1938-1939 гг., основателем этой принципиально новой для своего времени области математики был Леонид Витальевич Канторович (1912-1986). Они были начаты в Ленинградском университете при решении им «задачи фанерного треста» 9, которая заключалась в оптимальном распределении работы по станкам. Критерием оптимальности плана служило существование так называемых разрешающих множителей для всех ингредиентов продукции и ресурсов. Эти разрешающие множители получили экономическую интерпретацию и позднее были названы объективно обоснованными оценками (ООО) 10.
В разработке этого направления важнейшую роль сыграли идеи предшествовавшего математического творчества ученого, в котором одно из центральных мест занимали исследования по функциональному анализу и, в частности, по изучению полуупорядоченных пространств - еще одному направлению, которое основал Канторович, на этот раз уже в области математики.
В данной статье мы проанализируем пути рождения ЛП из конкретных задач экономики 1930-х гг. в контексте математических исследований Кан-
1 Slutsky, Е. Е. Sulla teoría del bilancio del consumatore // Giomale degli economisti e rivista di statistica. 1915. Vol. 51. № 1. P. 1-26.
2 Конюс А. А. Проблема истинного индекса стоимости жизни // Экономический бюллетень Конъюнктурного института. 1924. № 9-10. С. 64-72.
3 Фельдман Г. А. К теории темпов народного дохода (под углом зрения народного хозяйства СССР) // Плановое хозяйство. 1928. № 11, 12. С. 146-170. № 12, С. 151-178.
4 Кондратьев Н.Д., Опарин Д.И. Большие циклы конъюнктуры. М., 1928.
5 См.: Применение математики в экономических исследованиях / Ред. В. С. Немчинов. М., 1959.
6 Леонтьев В. В. Количественный анализ соотношений «Затраты-Выпуск» в экономической системе США. М., 1936.
7 Юшков Л. П. Основной вопрос плановой методологии // Вестник финансов. 1928. № 10. С. 27.
8 Новожилов В. В. Измерение затрат и их результатов в социалистическом хозяйстве // Применение математики в экономических исследованиях...
9 Канторович Л. В. Математические методы организации и планирования производства. Л., 1939.
10 Канторович Л. В. Экономический расчет наилучшего использования ресурсов. М., 1959.
торовича (прежде всего, по функциональному анализу), затронем его исследования 1940-1960-х гг., коснемся развития ранее зародившихся методов, а также признания вклада Канторовича в экономическую науку.
О математическом творчестве Л. В. Канторовича конца 1920-х - 1930-х гг.
Прежде чем перейти к обсуждению вопросов, связанных с экономической тематикой, дадим краткое описание исследований, с которых начался научный путь Леонида Витальевича.
Научная деятельность Канторовича началась уже на первом курсе Ленин-градскогого университета, где он подготовил доклад об условиях интегрируемости функции по Риману и получил ряд новых результатов. В дальнейшем его работы по дескриптивной теории функций получили успешное продолжение 11.
В 1928-1929 гг. темой исследований Канторовича стали А-множества 12. Затем в быстро расширявшемся круге его интересов оказалась конструктивная теория функций 13.
В начале 1930-х гг. он занимался приближенными методами анализа 14, а также предложил новый метод вариационного подхода, существенно обобщающий метод Ритца. Многие его результаты были включены в работы 1933 и 1936 гг. 15, где также рассматривался метод коллокации в применении к уравнениям с частными производными, основанный на замене исходного уравнения системой, заданной на отдельных линиях, что равносильно требованию удовлетворения приближенного решения исходному уравнению только на указанных линиях.
11 Kantorovitch, L. V. Sur les suites des fonctions rentrant dans la classification de M. W. H. Young // Fundamenta mathematica. 1929. Vol. 13. P. 178-185; Канторович Л. В. Об обобщенных производных непрерывных функций // Математический сборник. 1932. Т. 39. Вып. 4. С. 153-170; Канторович Л. В. Об универсальных функциях // Журнал Ленинградского физико-математического общества. 1929. Т. 2. Вып. 2. С. 13-21; Kantorovitch, L. V. Sur les suites des fonctions presque partout continues // Fundamenta mathematica. 1930. Vol. 16. P. 25-28; Kantorovitch, L. V. Un exemple d'une fonction semicontinue universelle pour les fonction continues // Fundamenta mathematica. 1932. Vol. 18. P. 178-181.
12 Kantorovitch, L. V. Sur les ensembles projectifs de la deuxième classe // Comptes rendus hebdomadaires des séanses de l'Académie des sciences de Paris. 1929. T. 189. № 27. P. 1233-1235.
13 Канторович Л. В. О некоторых разложениях по полиномам в форме С. Н. Бернштейна // Доклады АН СССР. Серия А. 1930. № 21. Ч. 1. С. 563-568; № 22. Ч. 2. С. 595-600; Канторович Л. В. О сходимости последовательности полиномов С. Н. Бернштейна за пределами основного интервала // Известия АН СССР. Отд. математических и естественных наук. 1931. № 8. С. 1103-1115; Канторович Л. В. Несколько замечаний о приближении к функциям посредством полиномов с целыми коэффициентами // Известия АН СССР. Отд. математических и естественных наук. 1931. № 9. С. 1163-1168.
14 Канторович Л. В. Применение интеграла Стилтьеса к расчету балки, лежащей на упругом основании // Труды Ленинградского института инженеров промышленного строительства. 1934. Вып. 1. С. 17-34.
15 Смирнов В. И., Крылов В. И., Канторович Л. В. Вариационное исчисление. Л., 1933; Канторович Л. В., Крылов В. И. Методы приближенного решения уравнений в частных производных. М.; Л., 1936.
В тех же 1930-х гг. Канторович приступил к исследованиям по функциональному анализу - области математики, в которой впоследствии он стал одним из крупнейших в мире авторитетов. В работе 1935 г. он ввел в рассмотрение полуупорядоченные пространства 16. Затем Канторович занялся аналитическим представлением линейных операций, преобразующих одно пространство в другое, и исследованием функциональных уравнений в линейных пространствах. На языке полуупорядоченных пространств он сформулировал принцип мажорант и ряд общих теорем, ввел пространства, нормированные элементами полуупорядоченных пространств, получил новые результаты по сходимости, оценкам приближенного решения и его характеристикам 17.
Разработанный им общий подход к построению приближенных методов основан на такой идее: пространство, где задано исходное уравнение, отображается на более простое пространство, где исследуется приближенное уравнение. Были доказаны общие теоремы, устанавливающие разрешимость приближенного уравнения и сходимость приближенного решения к точному в зависимости от свойств исходного уравнения, теоремы, устанавливающие на основе разрешимости приближенного уравнения существование точного решения исходной задачи и определяющие область его расположения. Эта новая область математики получила название «доказательные вычисления» 18.
У метода множество применений, в
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.